数分题库11_数分试题

数分题库11由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数分试题”。

（三十四）数学分析试题（二年级第一学期）

一 叙述题（每小题10分，共30分）叙述第二类曲线积分的定义。2 叙述Parseval等式的内容。叙述以2为周期且在[,]上可积函数f(x)的Fourier系数﹑Fourier级数及其收敛定理。

二 计算题（每小题10分，共50分）

1．求I(xy)ds，此处l为联结三点O(0,0), A(1,0), B(1,1)的直线段。

l2．计算二重积分

I(x2y2)dxdy。

其中 是以yx,yxa,ya和y3a(a0)为边的平行四边形。

3．一页长方形白纸，要求印刷面积占A cm2，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为h cm，左部与右部之和为r cm，试确定该页纸的长(y)和宽(x)，使得它的总面积为最小。

4．计算三重积分

IVx2y2z2(222)dxdydz。abcx2y2z2其中V是椭球体2221。

abceaxebx dx(ba0)的值。5．计算含参变量积分0x三 讨论题（每小题10分，共20分）

2u2ux1 已 知uarccos，试确定二阶偏导数与的关系。

xyyxy2 讨论积分

数学分析试题（二年级第一学期）答案

一 叙述题（每小题10分，共30分）设L为定向的可求长连续曲线，起点为A，终点为B。在曲线上每一点取单位切向量(cos,cos,cos)，使它与L的定向相一致。设 xcosxdx的敛散性。

xpxqf(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

是定义在L上的向量值函数，则称fdsP(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)cosds

LL为f定义在L上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。

2．函数f(x)在[,]可积且平方可积，则成立等式

2a01222 anbnf(x)dx。

2n13 若f(x)是以2为周期且在[,]上可积的函数，则 an bn11f(x)cosnxdx(n0,1,2,)

f(x)sinnxdx(n1,2,)

称为函数f(x)的Fourier系数，以f(x)的Fourier系数为系数的三角级数

a0 (ancosnxbnsinnx)

2n1称为函数f(x)的Fourier级数，记为

a0 f(x)~(ancosnxbnsinnx)。

2n1收敛定理：设函数f(x)在[,]上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则f(x)的Fourier级数在x收敛于

f(x)f(x)。

2（1）f(x)在某个区间[x,x](0)上是分段单调函数或若干个分段单调函数之和。

（2）f(x)在x处满足指数为(0,1]的Holder条件。二 计算题（每小题10分，共50分）

1。解 I(xy)dslOAABBO(xy)ds。

在直线段OA上y0, dsdx得

OA(xy)dsxdx011 2在直线段AB上x1, dsdy得AB(xy)ds(1y)dy013 2在直线段BO上yx, ds2dx得

10BO(xy)ds2x2dx2

所以 I22。

2．解 22(xy)dxdydya3ayya(x2y2)dx14a4.3．解 由题意，目标函数与约束条件分别为Sxy与xr, yh,(xr)(yh)A.作Lagrange函数Lxy[(xr)(yh)A],则有

Lxy(yh)0, Lyx(xr)0, L(xr)(yh)A0.由此解得

rhAh.x, y, 111r于是有

x并且易知它是极小值点.4．解 由于 I其中

Arr, yhAhh.rVx2dxdydz2aVy2dxdydz2bVz2dxdydz，2cVx2dxdydz2ax2dxdydz，aa2Da这里D表示椭球面

y2z2x22122bcay2z2x22c(12)a

或

x22b(12)a1。

它的面积为

x2x2x2 (b12)(c12)bc(12)。

aaa于是 Vx2dxdydza2abcax24x(1)dxabc。

15a2a22同理可得

Vy24dxdydzabc，215bz24dxdydzabc。

15c2

V所以 I3(44abc)abc。155eaxebxdx(ba0)的值。5．计算含参变量积分 0xbeaxebxbeaxebxxyedy，dx dxexydy。解 因为所以 注意到exya00axx在域：x0, ayb上连续。又积分

0exydx对ayb是一致收敛的。事实上，当x0, ayb时，0exyeax，但积分

0eaxdx收敛。故积分

0exydx是一致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得 从而得

0dxexydydybaab0exydx。

0eaxebx dx xabdy0exydxbadybln。ya三 讨论题（每小题10分，共20分）当0xy时，uarccosxarccosyxy。

ux11xy12xy12x(yx)，uyx3x12y2y1x，22y(yx) 4 2uxy14x(yx)32，2u1yx4xy2(yx)2u2u于是，当0xy时。xyyx当0xy时，uarccos2．首先注意到

x4y(yx)3214x(yx)32，xarccosyxy。

x(1p)xp(1q)xq p。qpq2xxxxxx0若max(p,q)1，则当x充分大时p，从而当充分大时函数是递xqpqxxxx减的，且这时

xlimx0。

xpxq又因AcosxdxsinA1（对任何A），故xcosxdx收敛。pqxxxx0若max(p,q)1，则恒有p，故函数在x上是递增的。于是，qpqxxxx正整数n，有

42n2nxcosxdx

xpxq42 2 2n2nxdx pqxx2p q422常数0，pq8 

故不满足Cauchy收敛准则，因此

xcosxdx发散。

xpxq（三十五）数学系二年级《数学分析》期末考试题一（满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义: 1 二元函数f(x,y)在区域D上一致连续.2 二重积分.二．（满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题：

xy21 f(x,y).求limlimf(x,y)和limlimf(x,y).极限limf(x,y)是否

x0x0y0y0x0xyy0存在 ? 为什么 ? xy22 , xy0 ,222 f(x,y)xy 验证函数f(x,y)在点(0 , 0)处连续 ,22 0 , xy0.偏导数存在 , 但不可微.三．（满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题：

2z2z1 设函数f(u,v)可微 , zf(x , xy).求 2 和 2.xy2 f(x,y,z)xxyyz, l为从点P0(2 , 1 , 2)到点P , 1 , 2)的方向.1(1求fl(P0).3 设计一个容积为4m的长方体形无盖水箱 , 使用料最省.4

322xydxdy, D: yD11x , y2x , xy1 , xy3.2x8x25 求积分I dx.lnx06 eDy2dxdy，其中D是以点(0 , 0)、(1 , 1)和(0 , 1)为顶点的三角形域.7 计算积分(2xsinLy2)dxx2cosy2dy.其中L为沿曲线yex1从

点(0 , 0)到点(ln2 , 1)的路径.8 V :xy2x , xyz2(xy).为V的表面外侧.计算积分 3223(xyz)dydz(xycosz)dzdx(xy22222232z)dxdy.2四．（满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题：1 f(x,y)y.证明极限limf(x,y)不存在.2x0xyy02 设函数u(x,y)和v(x,y)可微.证明 grad(uv)u gradvv gradu.3 设函数f在有界闭区域D上连续.试证明: 若在D内任一子区域DD上 都有

（三十六）二年级 《数学分析》考试题

一 计算题 : 1 求极限 f(x,y)dxdy0, 则在D上f(x,y)0.D(x,y)(0,0)limsin(x2y2)1xy122.1222(x2y)sin , xy0 ,22xy2 f(x,y)

0 , x2y20.求fx(0 , 0)和fy(0 , 0).3.设函数f(u,v)有连续的二阶偏导数 , zf(xy , x2y2).求

zz、xy2z和.xy4 f(x,y,z)xyz , 点P0(1 , 1 , 1), 方向l:(2 , 2 , 1).求gradf(P0)和f沿l的方向导数fl(P0).5 曲线L由方程组

222 2x3yz9 , 2 22 z3xy 23确定.求曲线L上点P0(1 , 1 , 2)处的切线和法平面方程.6 求函数f(x,y)xy在约束条件满足极值充分条件)二.证明题 :

111之下的条件极值.(无须验证驻点 xyx2y1 f(x,y)4.试证明在点(0 , 0)处f(x,y)的两个累次极限均存在 , 但 2xy二重极限却不存在.xy22 , xy0 ,222 f(x,y)xy 证明函数f(x,y)在点(0 , 0)处连续,  x2y20. 0 , 偏导数存在 , 但却不可微.223 设 zlnxy, 验证该函数满足Laplace方程

2z2z 220.xy4 设函数f(x,y)在点(0 , 0)的某邻域有定义 , 且满足条件|f(x,y)|  x2y2.试证明 f(x,y)在点(0 , 0)可微.（三十七）数学系二年级《数学分析》考试题

一（满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义: 1 二元函数f(x,y)在区域D上一致连续.2 二重积分.二．（满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题：

xy21 f(x,y).求limlimf(x,y)和limlimf(x,y).极限limf(x,y)是否

x0x0y0y0x0xyy0存在 ? 为什么 ?

xy , x2y20 ,222 f(x,y)xy 验证函数f(x,y)在点(0 , 0)处连续 , x2y20. 0 , 偏导数存在 , 但不可微.三．（满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题：

2z2z1 设函数f(u,v)可微 , zf(x , xy).求 2 和 2.xy , 1 , 2)的方向.2 f(x,y,z)xxyyz, l为从点P0(2 , 1 , 2)到点P1(1求fl(P0).3 设计一个容积为4m的长方体形无盖水箱 , 使用料最省.4

322xydxdy, D: yD1x , y2x , xy1 , xy3.28 x8x25 求积分I dx.lnx06 yedxdy，其中D是以点(0 , 0)、(1 , 1)和(0 , 1)为顶点的三角形域.D217 计算积分(2xsinLy2)dxx2cosy2dy.其中L为沿曲线yex1从

点(0 , 0)到点(ln2 , 1)的路径.8 V :x2y22x , x2y2z2(x2y2).为V的表面外侧.计算积分

3223(xyz)dydz(xycosz)dzdx(xy32z)dxdy.2四．（满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题： 1 f(x,y)y.证明极限limf(x,y)不存在.2x0xyy02 设函数u(x,y)和v(x,y)可微.证明

grad(uv)u gradvv gradu.3 设函数f在有界闭区域D上连续.试证明: 若在D内任一子区域DD上 都有

（三十八）二年级《数学分析Ⅱ》考试题

一 计算下列偏导数或全微分（共18分，每题6分）： f(x,y)dxdy0, 则在D上f(x,y)0.Dxff2f1 设f(x,y)xy，求，；

xyyxy2 设zsin(xcosy)，求全微分dz；

z3 求由方程x2yz2xyz0所确定的隐函数的偏导数，xz。y二 求函数分）zxe2y在点P(1,1)处从P(1,1)到Q(2,1)方向的方向导数。（12 9 三（14分）设

1,xysin2f(x,y)xy20,1 求

x2y20;x2y20.fx(0,0)，fy(0,0)；

f(x,y)在点（0，0）处可微。2 证明：四 求曲面3x22y22z10在点P(1,1,2)处的切平面和法线方程。（16分）

五 证明：半径为R的圆的内接三角形面积最大者为正三角形。（14分）

六（14分）计算下列重积分 ：

1、22xydxdyx1,x1,x2yx其中D为直线及曲线围成的区D域。

2、xdxdydz其中为由曲面zx2y2，三个坐标平面及平面xy1围成的区域。

七（12分）求函数

f(x,y,z)xyz2 在约束条件

xyz0及x2y2z21下的最大值和最小值。

（三十九）二年级《数学分析Ⅱ》考试题

一（15分）设x,y为欧氏空间中的任意两个向量，证明“平行四边形定理”：

||xy||2||xy||22(||x||2||y||2)

二 计算下列极限：（10分）(x,y)(1,0)limlog(xey)xy22 ；(x,y)(0,0)lim(x2y2)x2y4；

二（10分）设隐函数

y(x)由方程

y(x0)y2xarctanx定义，求 y' 及 y''。三 计算下列偏导数：（10分）

xyzue（1）；

（2）zarcsin(x1x2xn)；

222

四 计算下列积分（20分）：（1）（2）I[0,];sin(xy)dxdy,I2 I[0,2];(xy)dxdy,Ixa(tsint),（3）ydxdy, D由旋轮线 0t2 与y0围成；

ya(1cost),D2（4）0exdx。2

五 计算下列曲线积分（10分）：

（1）(x2y2)nds, :xacost,yasint,0t2,其中nN;（2）(xy)ds, :顶点为（0，0），（1，0），（0，1）的三角形边界;

六（10分）设为单位球面x2y2z21，证明：

1f(axbycz)d2f(a2b2c2t)dt.1七（15分）利用Gaus公式计算曲面积分：

xdydzydzdxzdxdy,2222为球面xyza的外侧。

（四十）二年级《数学分析Ⅱ》考试题

一（16分）：设zxexy3z,求； 2xy2222 设向量场xiyjzk，求 div及rot。二（15分）：0exdx； x2(e1)11 2 21dx。3x(lnx)三 求下列二元函数的极限（16分）：limx0y0sin[(y1)x2y2]xy22；

xy22 lim2。2x0xyy0四 判断下列级数的敛散性（15分）：n1n； n22 (1)nn1n；

n13 cos2n。nn1五 试求幂级数n1(1)n1xn1的收敛

n(n1)半径、收敛域以及和函数（14分）。六 证明：函数项级数(1x)n02xn在[0，1] 上一致收敛（14分）。七 设an1n收敛，数列{nan}收敛，证明：

n(an2nan1)收敛（10分）。

（四十一）二年级《数学分析Ⅱ》考试题

一（10分）设x,y为欧氏空间中的任意两个向量，证明“平行四边形定理”：

||xy||2||xy||22(||x||2||y||2)

二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。（10分）三 证明：Rn 中任意有界的点列中必有收敛的子点列。（10分）四 计算下列极限：（9分）

sin(xy)lim1(x,y)(0,0)x2(x,y)(0,0)；

x2y4lim(xy)22；(x,y)(1,0)limlog(xex)x2y2；

五 计算下列偏导数：（10分）

（1）u（2）ex(x2y2z2)；

zlog(x1x2xn)；

六（10分）计算下列函数 f 的Jacobian Jf：（1）（2）f(x,y,z)x2ysin(yz)；

2221/2f(x1,x2,,xn)(x1x2xn)；

七（10分）设隐函数 八（11分）在椭球 y(x)由方程 y2xarctg(y/x),x0 定义，求 y' 及 y''。

x2y2z22212abc内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？

九、（10分）求椭球面

x2y2z22212abc过其上的点p(x0,y0,z0)处的切平面的方程。

十、（10分）设函数f(x,y),g(x,y)是定义在平面开区域G内的两个函数，在G内均有连续的一阶偏导数，且在G内任意点处，均有

fgfgxyyx又设有界闭D0G，试证：在 D 中满足方程组 f(x,y)0

g(x,y)0的点至多有有限个。

（四十二）二年级《数学分析Ⅱ》考试题一（10分）设x,y为欧氏空间中的任意两个向量，θ是这两个向量之间是夹角，证明“余弦定理”：

||xy||2||x||2||y||22||x||||y||cos).二 计算下列偏导数：（10分）

xyzue（1）；

（2）zarcsin(x1x2xn)；

AxByCz0

222三（10分）求用平面

x2y2与圆柱相交所成椭圆的面积。221

ab四 计算下列积分（16分）：

（1）（2）（3）sin(xy)dxdy, I[0,];

I2 I[0,2];(xy)dxdy,2I2ydxdy, D由旋轮线 Dxa(tsint), 0t2 与y0围成； ya(1cost),（4）0exdx。2五 计算下列曲线积分（14分）：

（1）(x2y2)nds, :xacost,yasint,0t2,其中nN;（2）(xy)ds, :顶点为（0，0），（1，0），（0，1）的三角形边界;六（10分）设常数a,b,c满足acb0, 计算积分：

2xdyydx, 22ax2bxycy 其中为反时针方向的单位圆周。七（10分）设为单位球面x2y2z21，证明：

1f(axbycz)d21f(a2b2c2t)dt.八（10分）利用Gaus公式计算曲面积分：

xdydzydzdxzdxdy, 为球面x2y2z2a2的外侧。

九（10分）设曲面有法向量n,a是一个常向量，求证：

apdp2and. 15