多元函数微分学复习_多元函数微分学复习课

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第六章 多元函数微分学及其应用

6.1 多元函数的基本概念一、二元函数的极限

定义 f(P)= f(x，y)的定义域为D, oP0(x0,y0)是D的聚点.对常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点P(x，y)∈D U(P0,)，即

0|P0P|

(xx0)(yy0)22

时，都有

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|



成立，那么就称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，(x,y)(x0,y0)y0)时的极限，记作

y0)), lim f(x,y)A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也记作

PP0limf(P)A

或

f(P)→A(P→P0)为了区别于一元函数的极限，上述二元函数的极限也称做二重极限.二、二元函数的连续性

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f

(x0,y0),(x,y)(0,0)limz0

如果函数f(x , y)在D的每一点都连续，那么就称函数f(x , y)在D上连续，或者称f(x , y)是D上的连续函数.如果函数f(x , y)在点P0(x0,y0)不连续，则称P0(x0,y0)为函数f(x , y)的间断点.多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.多元初等函数的极限值就是函数在该点的函数值，即

pp0limf(P)f(P0).有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必取复介于最大值和最小值之间的任何值。

三、例题 例1 设f(x,y)xyg(xy)，已知f(x,0)xf(x,0)xg(x)x222，求

f(x,y)的表达式。

2解 由题设，有g(x)xx2，于是

。f(x,y)xy[(xy)(xy)]，即 f(x,y)(xy)2y例2 证明极限limxyxy623不存在。

x0y0 证 当(x,y)沿三次抛物线ykx

3趋于(0,0)时，有

limxyxyxyxy。

623623x0y0limxkx62336x0y0xkxlimk1k2

x0y0其值随k去不同值而取不同值。故极限lim不存在。

x0y0 例3 求极限limxy11xy2222x0y0 解

原式limxy2222x0y0xy1xy11zx2212limxx0y022y22xy0

6.2 偏导数与高阶导数 6.2.1 偏导数

一、概念

说明对x求导视zf(x,y)，ylimf(xx,y)f(x,y)x

x0为常数，几何意义也说明了这个问题二元函数z=f(x , y)在点M0(偏导数数

x0,y0)的偏导数有下述几何意义.0fx(x0,y0)，就是曲面zf(x,y)与平面yy0的交线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.同样，偏导fy(x0,y0)的几何意义是曲面zf(x,y)与平面x=x0的交线在点M 2 基于如上理由，求

处的切线M0Ty对y轴的斜率.zx(x0,y0)时，（因此可能简化函数）再对xy0可先代入，求导

例 f(x,y)xarctany(xarctany(xarctany))，求fx(1,0)。

n重 解 f(x,0)x，fx(x,0)1，fx(1,0)1

二、可微，偏导数存在，连续的关系

偏导数存在可微连续

三、高阶偏导数

设函数z=f(x , y)在区域D内具有偏导数，偏导数连续可微，fxy和

fyx都连续，则

fxy=

fyx;

zx2fx(x,y),zyfy(x,y)，则这两个函数的偏导数称为函数z=f(x , y)的二阶

2偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

zzzzf(x,y),fxy(x,y),xx2xxxyxxyzxyzf(x,y),yxyyx2zyzfyy(x,y).2y2

四、偏导数，微分运算公式 1．z 2．dz f(x,y)，uu(x,y)，vv(x,y)

zxfuuxfvvx

zyfuuyfvvy

fudufvdvfu(udxuydy)fv(vdxvydy)xx(fuufvv)dx(fuuyfvvy)dyxx

d(uv)dudvd(uv)udvvduzx2

uvduudvd2vv

3．F(x,y,z)0 确定zz(x,y)，FxFz；

zy2FyFz6.2.2 求偏导数算例 例1（1）zarctanxy1xy，求

zx，zy，zx22，zxy。

解 zx1xy11xy11y221(1xy)(xy)(y)(1xy)11x2

由对称性 zy2，zx2222x(1x)，求

22；

2zxy220；（2）ulnxyz2ux22uy2uz2。

解ux122x222xyzxxyz22，ux由对称性 222xyzx2x(xyz)22222222222xyz2222222222(xyz)22

uy222xyz222，uz1222(xyz)uy22xyz2(xyz)2

故 ux2uz22xyz222。

（3）xy22f(x,y)xy0x022xy0，求

fx(0,0)，fy(0,0)

xy022 解 fx(0,0)limx0x0x220，同理fy(0,0)0；

ux，例2 uyf(xy,xy)，求

uxy2。

解 ux22yf12xf2y2xyf1yf2

uxy

(2y)f12x2yf2y2f21(2y)f22x 2xf12xyf1122x2yf122yf22y3f21xy2f22 2xf14xyf11

例3

zyzf(xy,)g，求

xyxxy2

解

yyf1yf22g2xxx2z

11y1xf12f1yf11ffxf2222221xyxxxxy1yy12f23f222gf12ff1xyf11xxxxxy)，求du。例4 uf(xy,xy,x解（1）z1xx2gg

yx2g1x

y3 duuxdxuydy

u1yuf1f2(1)f3f1f2f32；xxxy

故

y1duf1f22f3dxf1f2f3dy xxxdyydxd(xy)f2d(xy)f3解（2）duf12x

f1(dxdy)f2(dxdy)f3[f1f2yx2xdyydxx1x2

f3]dx[f1f2f3]dy 例5 设zz(x,y)由方程F(xzy,yzx)0，确定，F有连续一阶偏导数，求

zx，zy。

解（1）方程两边对x求导

zzxz0 F11xF2x2yxzyzF12F2xyF1F2zxx11xxF1yF2F1F2yx；

方程两边对y求导

zyz1zyFF11220 yxyzxzFFFxyF2122zyy 11yxF1yF2F1F2yxzy)F2d(yzx2；

解（2）方程两边取微分 F1d(x)0)F2(dyzy2F1(dxydzzdyyzx2xdzzdxx2)0

(F1

F2)dx(1yF11xF1F2)dy dzF2xyF1yzF2； 则 zxF11yF1zx12F2F2xyF1yzxxF1yF2F2；

zxxxF1yF2dydxx 例6 设yf(x,t)，tt(x,y)由F(x,y,t)0确定F,f可微，求。

解（1）对方程取微分

(1)dyfxdxftdtFxdxFydyFtdt0(2)dyfxdxft0

由（1）解得dt代入（2）得 FxdxFydyFt

则 FxFtfx/ftFxftFtfxdydxdxFtFfFytFyft解（2）

dy，即

dxFxftFtfxFyftF

yf(x,t(x,y))dyttdyfxftdxxydx

dydxfxft1ftt 而xtyxtxFxFt；

tyux22FyFt，则

dydxFxftFtfxFyftF2

y， 例7 证明：当y时，方程x22xyuxy2y2uy20可化成标准形式

u220，其中uu(x,y)二阶偏导数连续。

证明：将u看成由u(,)，而yx，y复合成x,y的函数，uu((x,y),(y))

则 ux2ux2uuu1uuyu2；

xyyyx22yu1u22；

2xyxxx

ux222uyuy2223xxu21u

u22221u1uu1u1

222yxxx2则 xux222xyuxy2y2u22y2u220u220

小结

① 显函数（复合）二阶混合偏导数

② 隐函数求偏导，会用微分法，用复合法 习题 1．zf(u)，u由方程u(u)

xyp(t)dt确定的x,y的函数，f,可微，P,连续，(u)1，求P(y)zxP(x)zy

（答案：0）（蔡 P146）

22．zz(x,y)由zexyz确定，求

zxy；

23．F(xy,yz)1确定了隐函数zz(x,y)，Fyy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和

具有连续二阶偏导数求

zyx

4．设5．t6．zF(x,y,z)0确定，f,F有连续偏导数，求

dzdx。

0，f可微且满足

kf(tx,ty,tz)tf(x,y,z)，证明 xfxyfyzfzkf。

。f(x,y)于(1,1)点可微，且f(1,1)1，fx(1,1)23x1。，fy(1,1)3。(x)f(x,f(x,x))求ddx[(x)]ux2y7．设变换vxay8．设可把方程6zx22zxy2zyx220化简为

zuvzx22202，求常数a的值。（a＝3）。

f(u)u有连续二阶导数，而uzf(esiny)满足

zy2ez2x，求

f(u)。（f(u)c1ec2e）

6.2 偏导数应用

偏导数应用注意四个方面：空间曲面曲线切平面、法线、切线、法平面；方向导数；梯度、散度、旋度；极值与条件极值。6.3.1 内容小结

1． 空间曲线切线与法平面

xx(t)1）yy(t)

zz(t)切向量v(xt,yt,zt)

切线方程：

xx0xtyy0ytzz0zt

(x法平面方程：xtx0)yt(yy0)zt(zz0)0

xxyy(x)yy(x)2）zz(x)zz(x)切线方程：

v(1,y,z)类似的xx01yy0yzz0z

法平面方程：xx0y(yy0)z(zz0)0

Fzz0F(x,z,y)0xxFxFyy3）v(1,y,z)xxG(x,y,z)0GxGyyxGzzx02． 空间曲面切平面与法线

1）F(x,y,z)0,n(Fx,Fy,Fz)|P0切平面：Fx|p0法线：

(xx0)Fy|p0(yy0)Fz|p0(zz0)0xx0Fx|p0yy0Fy|p0zz0Fz|p0

2）zf(x,y)Ff(x,y)zn(fx,fy,1)

切平面：类似地

fx(xx0)fy(yy0)(zz0)0

法线：xx0fxyy0fyzz01

xx(u,v)3）*yy(u,v)

zz(u,v)（参数方程形式）

切线 ,yu,zu),v2(xv,yv,zv)v1(xuixvjyuyvnv1v2xu(y,z)(z,x)(x,y)zu(u,v),(u,v),(u,v)zvk

3． 方向导数

uu(x,y,z)uluxcosuycosuzcosgradul（梯度在l方向投影）

4． 梯度、散度、旋度，

xyzuuugraduu，xyz

divAAPxQyRz

rotAAixPjyQkzR

6.3.2 例题

例1 求曲线xt,yt,zt223上与平面x2yz4平行的切线方程。

解 切向量2(1,2t,3t)，n(1,2,1)由n，则n0，即，14t3t0t11,t2当t1时 (1,2,3),x11,y11,z11，切线方程为13x11y12z13

当t时 2(1,21111,),x2,y1,z1333927，x切线方程为13y11923z13127

22xy10例2 求空间曲线22xz10在点(3,1,1)处的切线方程和法平面方程。

解 22xy1022xz10确定了

yy(x),zz(x)，对x求导2x2yy02x2zz0x3y13，yzz13

xyxz

于

1法平面方程为x33(y1)3(z1)0，即x3y3z30 例3 求曲面x2M(3,1,1)点：y3,z3,v(1,3,3)切线方程为 yzx的切平面。使之与平面xy22z22垂直，同时也与xyz2垂直。

解 切平面法向量n(2x1,2y,2z)，n1(1,1,12)，n2(1,1,1)，依题意

n1n0

既有2x 12yz0

（1）

（2）n2n0 2x12y12z0

联立（1）（2）和原方程 22x42得解y4z022x42，y4z0 n012222，0，n02,,0 2222切平面22(x242)22(y24)0

即

xyxy121222

得

22222x(y)0 2424x2y3z222即

例4 求u解 令

在(1,1,1)点沿x2yz3的外法线方向的方向导数。

22222F(x,y,z)xyz3，Fx2x,Fy2y,Fz2z于P(1,1,1)点n(2,2,2)，n(13,13,13)

unuxcosuycosuzcos111122x4y6z|43(1,1,1)3333

例5 设f(x,y)在fL3|p0fx1111p0点可微，L1，,L222227。，fL11,fL20

试确定L3使52fycos11，fL2fxcos2fycos20，则 解 fL1cos1 fxfx12fy121fx12y,f12

1f10y22 设L3(cos3,cos3)

从而fL3fxcos375fxcos375235 即

1245cos3 此时cos12cos345或cos752

cos3sin3，解得cos3或cos33335

34即L3,55例6 或L3243, 552 ulnxyz2，求div2(gradu)。

解 div(gradu)(u)u12ln(xyz)222ux22uy222uz22。

u，2ux22xxyz222222，2222ux22xyzx2x(xyz)xyz222(xyz)由对称性 uy22xyz222222(xyz)2，uz22xyz222222(xyz)2

从而 div(gradu)1xyz222

例7 设a, b, c为常数，F证明(u,v)有连续一阶偏导数。

证 xayb,)0上任一点切平面都通过某定点。zczc11xayb，FyF2，FFFxF1Fz1222zczc(zc)(zc)F（则切平面方程为 F1取1zc(Xx)F21zc(Yy)1(zc)2F(xa)F2(yb)(zy)0

xa,Yb,Zc，则对任一的(x,y,z)点上式均满足，即过任一点的切平面都过(a,b,c)点。

。(xaz,ybz)0上任一点切平面都通过某定直线平行（F具有连续偏导数）

例8 设a,b为常数，证明曲面F证

FxF1，FyF2，FzaF1bF2，即n(F1,F2,aF1bF2)，取l(a,b,1)，则nl0，nl，曲面平行l，取直线

xx0ayy0bzz01，则曲面上任一点的切平面都与上述直线平行。例9 求二元函数u5方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u沿那个方向减少得最快，沿哪个方向u的值不变？

解 xxyy22在点M(1,1)沿方向n1(2,1)的方向导数，并指出u在该点沿哪个方向的gradu|(1,1)(2xy,2yx)|(1,1)(3,3)，uM在点M(1,1)沿n方向的方向导数为

un132(gradu)n|M(3,3),555，方向导数取得最大值的方向为梯度方向，其最大值为为求使u变化的变化率为零的方向，令l

gradu|M32，u沿负梯度方向减少最快。

(cos,sin)，则，ululM(gradu|M)l3cos3sin32sin44或令0，得4，故在点(1,1)处沿4和4函数u得值不变化。

例10 一条鲨鱼在发现血腥味时，总是沿血腥味最浓的方向追寻。在海上进行试验表明，如果血源在海平面上，建立坐标系味：坐标原点在血源处，xOy2坐标面为海平面，Oz轴铅直向下，则点(x,224y,z)处血源的浓度C（每百万份水中所含血的份数）的近似值Ce(xy2z)/10。

（1）求鲨鱼从点1,1,1（单位为海里）出发向血源前进的路线2的方程；

（2）若鲨鱼以40海里/小时的速度前进，鲨鱼从1,1,1点出发需要用多少时间才能到达血源处？ 2解（1）鲨鱼追踪最强的血腥味，所以每一瞬时它都将按血液浓度变化最快，即C的梯度方向前进。由梯度的计算公式，得

2224CCC4(xy2z)/10gradC，10e(2x.2y,4z)xyz设曲线的方程为xx(t)，yy(t)，zz(t)，则的切线向量(dx,dy,dz)必与gradC平行，从而有 dx2xdy2ydz4z解初始值问题

dydx2y2xy|1x1dzdx2x4zz|1x12

得

yx

解初始值问题

得

z12x2，所以所求曲线的方程为

xx，yx，z 12（2）曲线的长度 x2(0x1)s101yzdxxxln(31)2210x2xdx22x2ln(x2x1)

03212ln2（海里）

31)1。ln2（小时）

2因此到达血源处所用的时间为T6.4 多元函数的极值

13ln(402

一、无条件极值 限于二元函数zf(x,y)

1． z0x求驻点z0y驻点P

2． 于驻点P处计算Azx22，Bzxy2，Czy22。B2AC0是极值点，A0可取得极小值，A0可取极大值。

3． 条件极值：minuf(x,y,z)S.t.(x,y,z)0，令

Lf(x,y,z)(x,y,z)求无条件极值。

例1 求内接于椭球面，且棱平行对称轴的体积最大的长方体。

解 设椭球面方程为 xa22yb22zc221，长方体于第一卦限上的点的坐标为(x,y,z)，则

V8xyz，s.t.xa 22yb22zc221，令

2xa222x2yz L8xyz1a2b2c28yzLxL8xzy8xyLz及0(1)0(2)0(3)2yb2zc22xa22yb22zc221由（1）（2）（3）得xa22b3yb22zc22tc3，代入（3）得t13，从而 xa3，y2，z22，此时V8abc33839abc。

例2 求由方程2x2yz8xzz80所确定的二元函数zf(x,y)的极值。解

方程两边对x,y求偏导数得：

4x2zzx8z8xzxzx0

„（1）

4y2zzy8xzyzy0

„（2）

4x8z016和原方程联立得驻点(2,0)，(,0)0，得x74y0y方程（1）对x,y再求偏导，方程（2）对y求偏导 令z0，z。

zzzzzz42888x0 2z222xxxxxx2zzyx2z22222„（3）

zxy282zy8x2zxy22zxy20

„（4）

zzzz

422z8x0

222yyyy将驻点(2,0)代入（此时z1）

„（5）

42A16AA0

AC415415

2B16BB0

B0

242C16CC0

BAC0，z1是极小值（因A>0）

将驻点8（4）（5）（此时z,0代入（3）

7716），同上过程有

A 415，B0，C415，2BAC0，A0，z87是极大值。

习题： 1 设uF(x,y,z)在条件(x,y,z)0和(x,y,z)0限制下，在P0(x0,y0,z0)处取得极值mFx1Lx20xx

。证明F(x,y,z)m，(x,y,z)0，(x,y,z)0在P0点法线共面。

正：L F(x,y,z)m12LFy120yyy

Fz1Lz20 zzFxxyzx0yzxyz5r2222由于(1,1,2)0，从而原方程有非零解，及系数矩阵为0FyFz，即三法向量共面。

2． 设f(x,y,z)lnxlny3lnz。点

3(x,y,z)在第一卦限球面

3上，①求f(x,y,z)的最大值。②证明 对任意正数a,b,c成立abc

abc275。习题课

ye例1 设f(xy,lnx)1，求f(x,y)yxxeln(x)解 令xyu，lnxv。

yef(u,v)f(xy,lnx)1yxxeln(x)

xxxyxueveu2vexyxlnx(xy)ee2lnxxylnx

所以

f(x,y)xeyex2y.例2 讨论limxyxy是否存在.x0y0 解

当点 P(x,y)沿直线ykx趋向（0，0）时，limxyxy2ykxx0limxkxxkxx0limkx1kx00

(k1)，当点P(x,y)沿直线yxxlim2xyxy趋向（0，0）时，yxxx0lim2x(xx)x(xx)22lim(x1)1yxxx0x01，所以limxyxy不存在.x0y0 例3 22(xy)sinzf(x,y)0在（0，0）处是否连续？

1xy22(xy0),22(xy0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

偏导数fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处是否连续？

f(x,y)在（0，0）处是否可微？

f(x,y)在（0，0）处是否连续，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因为

x0y0解

（1）函数 limf(x,y)lim(xy)sinx0y0221xy22

x0y0

limsin0210f(0,0).所以

f(x,y)在（0，0）处连续.（2）如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求.因为

(x)sinx021(x)x1(x)220 limf(x,0)f(0,0)xlimx0limxsinx00,所以

(3)fx(0,0)0，类似地可求得fy(0,0)0.当(x,y)(0,0)时

fx(x,y)2xsin

1xy1xy2222(xy)cosxxy22221xy221222xx2y23

2xsincos1xy2.因为 limfx(x,y)lim2xsinx0x0y0y01xy22xxy22cos不存在.22xy1所以 fx(x,y)在（0，0）处不连续。同理fy(x,y)在（0，0）处也不连续

（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处不连续，所以只能按定义判别f(x,y)在（0，0）处是否可微.fx(0,0)0，fy(0,0)0，故

x0y0limz[fx(0,0)xfy(0,0)y](x)(y)222

[(x)(y)]sinlimx0y02221(x)(y)220(x)(y)(x)(y)sin122 lim1(x)(y)22

x0y0limsinx0y00由全微分定义知f(x,y)在（0，0）处可微，且df(0,0)0.f(x,y,z)，zg(x,y)，yh(x,t)，t 例4 设u(x)，求

dudx.解

对于复合函数求导来说，最主要的是搞清变量之间的关系.哪些是自变量，哪些是中间变量，可借助于“树图”来分析.图9－1 由上图可见，u最终是x的函数，y，z，t都是中间变量.所以dudxfxfxfhhdfgghhdyxtdxzxyxtdxfhyxfhdytdxfgzxfghzyx.fghdzytdx 从最后结论可以看出:若对x求导数(或求偏导数),有几条线通到”树梢”上的x,结果中就应有几项,而每一项又都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简言之,按线相乘,分线相加 例5 z12xfxy1f2，f 可导，求zx.解 zx1f2x.y

例6 已知yetyx，而t是由方程ytx1确定的x，y的函数，求

ty222dydx.解

将两个方程对x求导数，得

ye(tyyt)12yy2tt2x0

解方程可得

2dydxtxye2ty2tyt(yt)e.例7 求曲面x2y3z21平行于平面x4y6z0的切平面方程.解

曲面在点(x,y,z)的法向量为 n ＝(Fx,Fy,Fz)(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量为n1＝(1，4，6),因为切平面与已知平面平行，所以n//n1,从而有

6z6（1）

又因为点在曲面上，应满足曲面方程

x2y3z212

（2）

由（1）、（2）解得切点为(1,2,2)及(1,2,2), 所求切平面方程为：

或(x1)4(y2)6(z2)0(x1)4(y2)6(z2)012,1,1)。

这里特别要指出的是不要将n//n1不经意的写成n=n1,从而得出切点为(例8 在椭球面2x222的错误结论.2222yz1上求一点，使函数f(x,y,z)xyzel在该点沿l＝(1,–1,0)方向的方向导数最大.11,,0,22所以 fl fx12fy12fz20

2(xy)2(xy)在条件2x由题意，要考查函数

2yz1下的最大值，为此构造拉格朗日函数

222F(x,y,z)2(xy)(2x2yz1)，14

Fx24x0,Fy24y0, Fz2z0,2222x2yz1.解得可能取极值的点为 11,,0 22 及

11，0.222，因为所要求的最大值一定存在，比较

fl11,,022fl11，02222知12,1,02为所求的点.例9 求函数zxy222在圆(x22)(y22)9上的最大值与最小值.0,zy0，解得点(0,0).显然z(0,0)=0为最小值.解

先求函数z再求z2xy2在圆内的可能极值点.为此令zxxy在圆上的最大、最小值.为此做拉格朗日函数

22F(x,y)xy[(x2)(y22)9]，2Fx2x2(x2)0,Fy2y2(y2)0,22(x2)(y2)9.，代入（3）解得

(1)(2)(3)由（1）、（2）可知xy xy522，和

xy22，5252z,2225221.z,222)(y25252,22为z25，最小值为z0.比较z(0,0)、z

22、z三值可知：在(x,222)92上，最大值