13多元函数的极值与连续_多元函数的极值与最值

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CH 13

多元函数的极值与连续

1，平面点集

邻域：M0(x0,y0)R2，称{(x,y)|(xx0)(yy0),0}为点M0的邻域，记作O(M0,)。

点列的极限：设{xn}是X轴上的一点列，{yn}是Y轴上的一个点列，则以xnyn为坐标的点{(xn,yn)}组成平面上的一个点列，记作{Mn}，又设M0是平面上的一点，其坐标为M0(x0,y0)，若对M0的任何一个邻域O(M0,)，总存在正整数N，当nN时，有MnO(M0,)，就称点列{Mn}收敛，并且收敛于M0，记作limMnM0或则记为

n22（n）即(xn,yn)(x0,y0)，（n）。MnM0，上面点列极限的定义也可用不等式叙述：若对0，总存在N，当nN时，有(xx0)2(yy0)2就称{Mn}收敛于M0。

点列极限的性质：

性质1：(xn,yn)(x0,y0)的充分必要条件是xnx0，yny0，（n）性质2：若{Mn}收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。

内点：设M0E，如果存在M0的一个邻域O(M0,)，使得O(M0,)E，则M0是E的内点。

外点：设M1E，如果存在M1的一个邻域O(M1,)，使得O(M1,)中没有E的点，就称M1是E的外点。

边界点：设M1是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M的任何邻域O(M,)，其中既含有E的点，又含有非E中的点，就称M为E的边界点，E的边界点的全体叫做E的边界。

开集：如果E的点都是E的内点，就称E是开集。

聚点：设M0是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M0的任何一个邻域O(M0,)，在这一邻域内至少含有E的一个（不等于M0）点，就称M0是E的聚点。***闭集：若E的所有聚点都在E内就称E是闭集。

区域：设E是一个开集，并且E中任何两点M1和M2之间都可以用有限条属于E的直线段所组成的折线结起来，称E是区域。

闭区域：一个区域加上它的边界就是一个闭区域。平面点集的几个基本定理：

矩形套定理：设{anxnbn,cnyndn}是矩形anxnbn,cnyndn，(n1,2,...)所组成的矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且bnan0，那么有唯一的一点M0(x0,y0)，它位于每一个矩形中，亦即：

anx0bn,cny0dn(n1,2,...)

致密性原理（Weierstra定理）：如果列{Mn(xn,yn)}有界（即存在常数a,b,c,d，使得axnb,cynd(n1,2,...)），那么从其中必能选取收敛的子列。

有限覆盖定理：若一开矩形集合{}{x,y}覆盖有限闭区域，那么从{}里，必可选出有限个开矩形，它们也能覆盖这个区域。

收敛原理：平面点列{Mn}有极限的充分必要条件是：对任意给定的0，总存在N，当m,nN时，有r(Mn,Mm)。

2，多元函数的概念

二元函数的定义：设E是平面点集，f是一个规律。如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f在R中存在唯一一个实数u和点(x,y)相对应，就称f是定义在E上的一个二元函数，它在(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)。即uf(x,y)。与一元函数相仿。常采用下面的记号记这个函数：

f:ER,(x,y)uf(x,y)

并称E是f的定义域，通常为省略，也称f(x,y)是一个二元函数。

3，二元函数的极限

二元函数的极限的定义：设二元函数f(M)f(x,y)在点M0(x0,y0)附近有定义。（而在M0点是否有定义无关紧要）如果对0，总存在0，当0r(M,M0)时恒有|f(M)A|，就称A是二元函数f(M)在M0点的极限。记为：

MM0limf(M)A或f(M)A，（MM0）

上述定义可用点的坐标描述，即：如果对0，总存在0，当0(xx0)2(yy0)2时，恒有|f(x,y)A|。就称A是二元函数f(x,y)在M0(x0,y0)点的极限。

上述定义也可用邻域来表达，若对A的任何邻域O(A,)，总存在M0点的邻域O(M0,)，当MO(M0,){M0}时，恒有f(M)O(A,)，就称A是二元函数f(M)在M0点的极限。

上述定义也可叙述为：若0，总存在0，使得当|xx0|，|yy0|且(x,y)不与M0(x0,y0)重合，亦即(xx0)2(yy0)20时，恒有：

|f(x,y)A|，就称A是二元函数f(M)在M0点的极限。

上述的极限通常也称为二重极限。而诸如若limlimf(x,y)存在或limlimf(x,y)存

yy0xx0xx0yy0在的极限称为二次极限或累次极限。

4，二元函数的连续性及性质

二元函数连续的定义：若f(M)f(x,y)在M0(x0,y0)有定义，且满足MM0limf(M)f(M0)，则称f(M)在点M0(x0,y0)连续。

关于极限的性质和运算法则，以及连续函数的运算法则，与一元函数的情况是完全相似的。

若对某一区域（或开或闭）上的任意一点M0(x0,y0)，当M取此区域上任意的点列趋于M0(x0,y0)时，f(M)的极限恒为f(M0)，那么称f(M)在此区域上连续。

有界闭区域上连续函数的性质：

性质1：有界性定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上有界；亦即存在正数M，使得在D上恒有|f(x,y)|M。

性质2 ：一致连续性定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续；亦即对0，总存在0，使得D上任意两点M'(x',y')，M''(x'',y'')，当|x'x''|，|y'y''|时恒有：

|f(x',y')f(x'',y'')|。

性质3：最大值最小值定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。

性质4：零点存在定理：若f(x,y)在区域D（不一定有界闭区域）内连续，并且在D内两点M1(a1,b1)，N1(1,1)异号。即f(a1,b1)f(1,1)0，那么用完全位于D内的任意折线l连接M1和N1时，在l上必有一点M(x,y)，满足f(x,y)0。

5，二重极限与二次极限的关系

（1）两个二次极限都不存在，而二重极限仍可能存在。（2）两个二次极限存在而不相等，二重极限必不存在。（3）两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在。

例：证明有界闭区域上二元连续函数的有界性定理，最大（小）值定理及一致连续性定理。（1）有界闭区域上的二元连续函数必有界；（2）最大（小）值定理；（3）一致连续性定理。

证：（1）用反证法，设f(x,y)在有界闭区域D上连续，但无界。

n,Mn(xn,yn)D，有|f(xn,yn)|n，由致密性定理序列{Mn(xn,yn)}D必有界，从其中必能选出收敛的子列{Mnk}{Mn}，有limMnkM(x,y)，由于D为有界

k闭区域，故MD。故f(x,y)在点M连续，limf(xnk,ynk)f(M)f(x,y)。但在k构造Mn(xn,yn)时已设

|f(xn,yn)|n,|f(xnk,ynk)|nkk，故{f(xnk,ynk)}{f(xn,yn)}发散到无穷大。这与limf(xnk,ynk)f(M)f(x,y)收敛矛盾。

（2）因f在D上有界，故设Msupf(p),minff(p)，可证必有一点QD，有

pDpDf(Q)M（同理可证Q'D,使f(Q')m）。如若不然，pD均有Mf(p)0。

考察D上的正值连续函数F(p)1，由前面知F在D上有界，又因f不能在DMf(p)上达到上确界M，故存在收敛的点列{pn}D，使limf(pn)M。于是

nlimF(pn)，这与F在D上有界矛盾，故f在D上能取得最大值。

n（3）（用反证法）设f(x,y)在有界闭区域D上连续，但非一致连续。则0,0，如11,n1,2,有相应的Pn,QnD:r(Pn,Qn)但|f(Pn)f(Qn)|0成立。由nnk于D为有界闭区域，故存在收敛的点列{Pnk}{Pn}并设limPnkP0。再在{Qn}中取出与{Pn}具有相同足标的点列{Qnk}{Qn}，由0r(Pn,Qn)10,k，从而有 nklimQnklimPnkP0kkk，最后由

f在P0连续，得lim|f(Pn)f(Qn)||f(P0)f(P0)|0，这与|f(Pn)f(Qn)|0矛盾，所以f在D上一致连续。