黑龙江省大庆实验中学届高三上学期第二次月考数学(理)试题 含解析_高三上数学理月考

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大庆实验中学高三上学期第二次月考数学(理)试卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列命题的说法错误的是（）A.对于命题B.“C.“D.命题”若【答案】C ”是””是”

则

”的充分不必要条件.”的必要不充分条件.，则

”的逆否命题为：”若，则

”..故选C 2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A.2 B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：时，成立，第一次进入循环：；

成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.3.已知函数A.B.没有零点，则实数的取值范围是（）C.D.【答案】A 【解析】令∴∵函数∴故选A 4.设存在导函数且满足，则曲线

上的点

处的切线的斜 时，函数得

有零点

没有零点

率为（）

A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2 【答案】A 【解析】5.已知数列①若②若 在点

处的切线的斜率为，以下两个命题：

都是递增数列，则都是等差数列，则

都是递增数列； 都是等差数列；,故选A.下列判断正确的是（）

A.①②都是真命题 B.①②都是假命题

C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 【答案】D 【解析】对于①，不妨设列，但，，所以

都是递增数都是等差数，所以若，都不是递增数列，故①是假命题；对于②，，列，不妨设公差分别为，，则所以是等差数列，则故选D，都是等差数列，故②是真命题

6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A.B.C.D.【答案】A 【解析】

试题分析：由三视图知该几何体是三棱锥，全面积为

考点：锥体的全面积 7.若A.，则下列结论正确的是（）B.C.D.【答案】D 【解析】解：若，则：，此时：.本题选择D选项.8.如果圆

上总存在到原点的距离为的点，则实数的取值范围是（）

A.（﹣3，﹣1）∪（1，3）B.（﹣3，3）C.[﹣1，1] D.[﹣3，﹣1]∪[1，3] 【答案】D 【解析】到原点的距离为的点的轨迹为圆圆，所以，选A.9.杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为（），因此所求问题转化为圆，与相交有两个交点，两圆的圆心半径分别为，解不等式得的取值范围是

A.528 B.1020 C.1038 D.1040 【答案】D 【解析】第一行数字之和为第二行数字之和为

第三行数字之和为第四行数字之和为„

第行数字之和为∴故选D

10.有以下三种说法，其中正确的是()①若直线与平面相交，则内不存在与平行的直线；

②若直线//平面，直线与直线垂直，则直线不可能与平行； ③直线满足∥，则平行于经过的任何平面.A.①② B.①③ C.②③ D.① 【答案】D 【解析】对于①，若直线与平面相交，则内不存在与平行的直线，是真命题，故①正确；对于②，若直线//平面，直线与直线垂直，则直线可能与平行，故②错误；对于③，若直线满足∥，则直线与直线可能共面，故③错误.故选D 11.以为中心，的离心率为（）

A.B.C.D.【答案】C 【解析】延长与椭圆交于，如图所示：

为两个焦点的椭圆上存在一点，满足，则该椭圆

∵与互相平分 ∴四边形是平行四边形

∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和 ∴∵∴，，∴

∴故选C

点睛：本题考查了椭圆的离心率的求解问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，此类问题解答中熟记椭圆的几何性质和合理转化条件是解答的关键.12.已知A.B.，若 C.，则当 D.取得最小值时，所在区间是（）

【答案】B 【解析】令∴∴令∵，则递增，递减 使得，即，则取最小值时，时，，时，，即

∴存在唯一∴根据零点存在定理验证当当∴故选B 时，的根的范围： 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二.填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.如果复数【答案】0 【解析】∵又∵复数的实部和虚部互为相反数 ∴∴

满足=2=2，|

|=2，则向量的夹角为__.的实部和虚部互为相反数，则等于_____.14.若向量【答案】 【解析】∵∴∵∴∴∴，即，即

∴与的夹角为 故答案为 15.已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为_______________。

【答案】12 【解析】设P,A在抛物线准线上的射影为16.已知函数，其中，若

在区间

上单调递减，则的最大值为__________.【答案】

.....................三.解答题：（本大题共6小题，共70分）17.已知等差数列（1）求和等比数列

满足

.的通项公式；

..的，列出关于首项、公差的方（2）求和：【答案】(1)an=2n﹣1.(2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）利用已知条件根据题意列的通项公式，然后利用等比出关于首项，公比 的方程组，解得、的值，求出数列数列求和公式求解即可.试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n−1.（2）设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q=3.所以从而18.已知函数（1）求（2）设△积.【答案】(1)；(2)

.的单调递增区间；

为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求△的面

.2..【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由可得到所求值． 试题解析：（1）函数由时，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即，解得

，可得的增区间为（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边若解得，即有，即22，角B所对边b=5，2由余弦定理可得a=b+c﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为

19.已知曲线的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于

两点，且

或

.，求直线的倾斜角的值.（是参数）

【答案】(1)（x﹣2）2+y2=4；(2)【解析】试题分析：

本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是

（是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出的关系式，弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数利用，得到的三角方程，解方程得到的值，要注意角范围． 试题解析：（1）由∵，得,．，∴曲线的直角坐标方程为 即（2）将化简得设∴ ∴∵∴, 或． ；

代入圆的方程得．，则

.两点对应的参数分别为 ,.20.如图所示，在三棱柱（1）求证：平面（2）若是弦值.中点，∠⊥平面

中，；

为正方形，为菱形，.是二面角的平面角，求直线与平面所成角的正

【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（）连接BC1，可得B1C⊥面ABC1．B1C⊥AB，由AB⊥BB1，得AB⊥面BB1C1C．可得平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（2）由∠ADB是二面角A-CC1-B的平面角，得△C1BC为等边三角形．分别以BA，BB1，BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则A（2，0，0），C1(0，1，)，C(0，−1，−)，利用向量法求解． 试题解析：（1）证明：连接BC1，因为BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥AC1，AC1∩BC1=C1，所以B1C⊥面ABC1.故B1C⊥AB.因为AB⊥BB1，且BB1∩BC1，所以AB⊥面BB1C1C.而AB⊂平面ABB1A1，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（2）因为∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，所以BD⊥CC1，又D是CC1中点，所以BD=BC1，所以△C1BC为等边三角形.如图所示，分别以BA，BB1，BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则A（2，0，0），C1(0，1，)，C(0，−1，−)，则设取z=1得所以是平面ABC的一个法向量，则.，即，）.所以直线AC1与平面ABC所成的正弦值为.点睛：用向量法求二面角大小的两种方法

（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．

（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，解题中要注意结合图形图形判断出所求二面角是锐角还是钝角． 21.已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点，△的面积为，椭圆的离心率为

（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线存在实数λ，使得【答案】(Ⅰ)

与轴交于点，与椭圆交于，求的取值范围.；(Ⅱ)（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}.的面积，建立等式关系，两个不同的点，若【解析】（Ⅰ）根据题目条件，由椭圆焦点坐标和对称性计算结合关系式，离心率计算公式，问题可得解；（Ⅱ）由题意，可分直线是否过原点，对截距进行分类讨论，再利用椭圆对称性、向量共线、直线与椭圆有交点等性质、条件进行运算即可.试题解析：（Ⅰ）根据已知椭圆的焦距为，当由题意由已知得的面积为，∴，∴，．，由椭圆的对称性得

成立．，得，解得，由，即，，．，即，时，，∴椭圆的标准方程为（Ⅱ）若∴若能使，由，则因为，共线，所以设得由已知得且，由，得，即，∴，∴，即．

当时，不成立，∴，∵∴，∴，解得

或，即

．，综上所述，的取值范围为．

点睛：此题主要考查椭圆方程及其性质，直线与椭圆位置关系，平面向量在解析几何中的应用等有关方面的知识，属于中高档题型，也是高频考点.根据题意，在（Ⅰ）中联立椭圆方程、离心率、三角形的面积即求得椭圆方程，必要时可画草图辅助思考，在问题（Ⅱ）中联立椭圆与直线方程消去，由韦达定理求得直线与椭圆交点的横坐标和与积，再利用平面向量的共线关系，从而求出待定系数的取值范围.22.已知函数（1）当（2）当时，讨论函数，其中的单调性；，.=2.71828„为自然数的底数.时，求证：对任意的【答案】(1)f（x）在R上单调递减.(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可；（2）对任意的x∈[0，+∞），转化为证明对任意的x∈[0，+∞），即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可． 试题解析：（1）当a=0时，f（x）=ex（sinx﹣e），则f′（x）=e（sinx﹣e）+ecosx=e（sinx﹣e+cosx），∵sinx+cosx=∴sinx+cosx﹣e＜0 故f′（x）＜0 则f（x）在R上单调递减.（2）当x≥0时，y=e≥1，要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0.则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，看作以a为变量的一次函数，要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，xxxx、则，即，∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，对于②，令h（x）=sinx﹣x+2﹣e，则h′（x）=cosx﹣2x，设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0.∴t=，sint＜

2∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（=sint﹣+2﹣e=sin2t+sint+﹣e=（）2+2﹣e

+1）2+﹣e≤（）2+﹣e=﹣e＜0，故④式成立，综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.