高等数学偏导数第三节题库_高等数学偏导数例题

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【090301】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数zarctan【试题答案及评分标准】

xy的全微分。1xyzarctanxyarctanxarctany

1xyz1,x1x2dzz1 y1y2

（8分）

11dxdy

221x1y

（10分）

或dz1xy1xy

2(1xy)(dxdy)(xy)(ydxxdy)2(1xy)

（8分）（10分）

11dxdy

221x1y【090302】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数zln(xye)的全微分。【试题答案及评分标准】

22xyz2xyexy,xx2y2exydzz2yxexy yx2y2exy

（8分）

1(2xyexy)dx(2yxexy)dy 22xyxye（10分）

【090303】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数ux【试题答案及评分标准】

yz的全微分。

lnuyzlnx

zu1uyzyzxy1

xx

（2分）（5分）zuzyz1xylnx y uzyzyxlnxlny

z

z

z（8分）

duyzxy z1dxzyz1xylnxdyyzxylnxlnydz

（10分）

【090304】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarccosx，求du。

x2y2【试题答案及评分标准】

ux2y21x2yxyx2y2(x2y2)3/2x2y2ux2y2yxyxsgnyy(x2y2)3/2x2y2

dusgnyx2y2(ydxxdy)

【090305】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarcsinxu。

x2y2，求d【试题答案及评分标准】

2ux2yy1x2yxx2y2(x2y2)3/2x2y2 ux2y2yxyxsgnyy(x2y2)3/2x2y2

dusgnyx2y2(ydxxdy)

【090306】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数uxyyzzx的全微分。【试题答案及评分标准】

uxyxy1yzzxxyyzzxlnzxyyzzx(yxlnz)

uxyyzzxlnxxyzyzyz1zxxyyzzx(ylnx)

4分）8分）10分）4分）8分）10分）3分）6分）（（（（（（（（uxxyyzzxlnyxyyzxzx1xyyzzx(lny)

zz（9分）

yzx duxyyzzx(lnz)dx(lnx)dy(lny)dz（10分）

yzx【090307】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarccos【试题答案及评分标准】

yz，求du。xux1yz1x1yz1x22yzyz 222x2xxyzxzz

222xxxyz

（3分）

uy

（6分）

xyu

222zxxyz

（9分）

duyzxzxydydz

dx222xxxyzx1（10分）

【090308】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f(x,y)【试题答案及评分标准】

x2y2，则df= ———。

（10分）

xdxydyxy22【090309】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zxyxe，则dz= ———。

【试题答案及评分标准】(3xy2x)dx(2xye)dy

10分 【090310】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z(1x)，则dz= ———。【试题答案及评分标准】y(1x)y1y223y322ydx(1x)yln(1x)dy 10分

【090311】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

x【试题内容】设u(x,y,z)，则du(1,2,3)= ———。

yz【试题答案及评分标准】

331dxdyln2dz（10分）8168【090312】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f(x,y,z)ln(xyz)，则df(1,2,0)= ———。【试题答案及评分标准】dx11dydz（10分）22x2y2)，则du= ———。【090313】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u(x,y)ln(x【试题答案及评分标准】

1xy22(dxyxxy22dy)10分

【090314】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zxyexy，则dz= ———。

xy【试题答案及评分标准】ey(1x)dxx(1y)dy

（10分）

【090315】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u(x,y)xy，则du= ———。xy2(ydxxdy)（10分）

(xy)2【试题答案及评分标准】【090316】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设ucosh(xy)cos(xy)，则du= ———。【试题答案及评分标准】sinh(xy)sin(xy)(ydxxdy)【090317】【填空题】【较易0.3】全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uln(xy)tanh(xy)，则du= ———。

（10分）

【试题答案及评分标准】1111dxdy（10分）22xcosh(xy)ycosh(xy)【090318】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zexycosexy，则dz= ———。

xyxy【试题答案及评分标准】e(1sine)(ydxxdy)

（10分）

【090319】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

x2y【试题内容】研究函数z(x,y)x4y20是否存在？

【试题答案及评分标准】

x4y20x4y20在点（0，0）处的全微分

zx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)0

x

（3分）zy(0,0)limy0f(0,y)f(0,0)0

yzzxzdx(0,0)y(x)2y(0,0)dy42(x)(y)(x)2(y)2

（5分）

(x)2ylimx0(x)4(y)2y0取xy，上式=limx0(x)(x)34(x)22x10 2

故函数z(x,y)在点（0，0）处不可微。

函数在（0，0）点全微分不存在。

（10分）【090320】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】讨论：函数f(x,y)x2y2在点（0，0）处是否可微？

xf(x,0)f(0,0)lim【试题答案及评分标准】lim不存在

x0x0xx（5分）

fx(0,0)不存在，故函数f(x,y)x2y2在点（0，0）处不可微。

（10分）

【090321】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

【试题内容】设f(x,y)xsinxy，试研究（0，0）处的全微分是否存在？

【试题答案及评分标准】因lim

x0

xx

不存在，即fx(0,0)不存在

10分

8分

故f(x,y)在（0，0）全微分不存在。

【090322】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122xysin,22【试题内容】讨论函数f(x,y)xy0处的连续性，可导性和可微性。

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）limf(x,y)limx2y2sinx0y0x0y010f(0,0)

x2y2

（3分）f(x,y)在点（0，0）连续

x0limxf(0x,0)f(0,0)1 limsin2x0xxx()

（7分）极限不存在，f(x,y)在（0，0）处不可导

从而在（0，0）处不可微。

（10分）

【090323】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

xy,2【试题内容】函数f(x,y)xy20否存在？在点（0，0）是否可微？为什么？

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）的两个偏导数是fx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)00lim0 x0xx（5分）fy(0,0)0，故f在（0，0）的两个偏导数存在。

因limf(x,y)yxx01f(0,0)，故f在（0，0）点不连续，从而不可2微。

（10分）【090324】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】 【试题内容】已知(x)可微，求A(x)使d{sin[x(x)]}A(x)dx。【试题答案及评分标准】记ux(x),tsinusin(x(x))

（3分）（5分）（8分）d[sin(x(x))](t)dt (t)cosudu

(t)cos[x(x)][(x)x(x)]dx

所以 A(x)(t)[(x)x(x)]cos[x(x)]

（10分）

【090325】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

xy【试题内容】试证：f(x,y)x2y20在，但是不可微。

【试题答案及评分标准】lim同理，fy(0,0)0

x0(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)在点（0，0）处偏导数存

f(x,0)f(0,0)0fx(0,0)

x

（4分）

记zfx(0,0)xfy(0,0)yz 则

limzxylimlim不存在（8分）x0x0(x)2(y)2220(x)(y)y0y0f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090326】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122(xy)sin【试题内容】试证：函数f(x,y)x2y20处可微。

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）fx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)1limxsin0（2分）2x0x(x)fy(0,0)limy0f(0,y)f(0,0)1limysin0（4分）y0y(y)2ffx(0,0)xfy(0,0)y(x)(y)22(x)2(y)2sin1(x)2(y)2(x)2(y)2(x)2(y)20

x0y0

（8分）

f(x,y)在点（0，0）处可微。

（10分）

【090327】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

x3y3【试题内容】试证：f(x,y)x2y20在，但不可微。

【试题答案及评分标准】

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)在原点（0，0）处偏导数存f(x,0)f(0,0)(x)3limlim1fx(0,0)3x0x0x(x)同理，fy(0,0)1

分）

（4f(x,y)在（0，0）偏导数存在。

limx0y0ffx(0,0)xfy(0,0)y2(x)(y)21/2limxy(xy)x0y0(x)2(y)23/2（6分）

(x)3k(1k)k(1k)lim，故二重极限不存在 23/2x0(x)3(1k2)3/2(1k)ykx（8分）

f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090328】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122xysin【试题内容】试证：f(x,y)x2y20x2y20x2y20的偏导数fx(x,y)及fy(x,y)在点（0，0）的邻域内存在，但它们在（0，0）处均不连续。【试题答案及评分标准】

x0limf(x,0)f(0,0)1lim(x)sin0fx(0,0)2x0x(x)当(x,y)(0,0)时，（3分）

fx(x,y)2xsin12x1cos 222222xyxyxy（5分）

又

121lim2xsincos不存在(x,y)(0,0)x2xx2y0故fx(x,y)在（0，0）处不连续

（8分）（10分）同理可证：fy(x,y)在（0，0）处不连续

【090329】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】 【试题内容】证明：zxy在（0，0）处连续，偏导数存在，但不可微。

【试题答案及评分标准】由0xyx2y2，得 2limf(x,y)limxy0f(0,0),f(x,y)在（0，0）处连续。

x0x0y0y0

x0

（3分）

limf(x,0)f(0,0)0fx(0,0)

x（5分）同理，fy(0,0)0,f(x,y)在（0，0）处偏导数存在

limx0y0zfx(0,0)xfy(0,0)y(x)(y)

22lim

xy(x)(y)

22x0y0，不存在（8分）

f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090330】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

yxsin(4arctan)【试题内容】证明：f(x,y)x0但不可微。

x0x0在点（0，0）处偏导数存在，f(x,0)f(0,0)0fx(0,0)x0x【试题答案及评分标准】

f(0,y)f(0,0)lim0fy(0,0)y0ylimf(x,y)在（0，0）处偏导数存在。

（4分）

（6分）ffx(0,0)xfy(0,0)yxsin(4arctany)

xxsin(4arctanx0y0limy)xlimxsin(4arctank)

x02(x)2(y)2x1kykx，故二重极限不存在（8分）sin(4arctank)1k2f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090331】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【多元函数的连续性】 【试题内容】证明：若zf(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分，则它在该点处必连续。【试题答案及评分标准】由zf(x,y)在点P0(x0,y0)可微，则有

zzzxyo()xy

（5分）

其中 (x)2(y)2

x0y0当x0,y0时，0，从而limz0

（8分）

即zf(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

（10分）

【090332】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【隐函数的求导公式】 【试题内容】设函数zz(x,y)由方程xyz3xyz1所确定，则全微分dz= ———。

【试题答案及评分标准】

3331(yzx2)dx(xzy2)dy

10分 2zxy【090333】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【隐函数的求导公式】 【试题内容】由方程xyz处的全微分dz= ———。

【试题答案及评分标准】dx2dy

10分

x2y2z22所确定的函数zz(x,y)在点（1，0，－1）