等差数列的判断方法_等差数列的判定方法

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等差数列的判断方法

徐福贵

（吉林省东辽县职业高中）

我们虽然知道什么是等差数列，但对于等差数列的判断还没有很好的方法。本人根据多年教学实践总结出了一系列等差数列的判断方法，对于等差数列又有了更深的认识。

定理1 已知数列{an}的通项an，若an－an1的差是一个与n 无关的常数，则数列{an}为等差数列（证明略）

推论1 若数列{an}的通项an为常数，则{an}为等差数列，且公差为0。（证明略）。

推论2数列{an}的通项an是关于项数n的一次函数，则数列{an}是等差数列，且公差为一次项的系数（证明略）

定理2 若{an}的通项an既不是常数，也不是关于项数n的一次函数，则数列{an}不是等差数列（证明略）

定理3 已知数列{an}的前n项和Sn为0，则数列{an}为等差数列

证明 数列{an}的前n项和Sn为0，此数列为0,0, 0，---, 0,---，数列{an}为等差数列。

定理4 已知数列{an}的前n项和Sn，若Sn是关于项数n的一次函数，且常数项为0，则数列{an}是等差数列，且公差为0。

证明：Sn是关于项数n的一次函数，且常数项为0，设Sn＝An（A为常数，且A0）

当n2时，an＝Sn－Sn1=An－A(n－1)=A, an－an1=0（n2）又a1＝S1=A,a2S2S12AAA,a2a1anan10(nN)

数列{an}是等差数列，且公差为0。

定理5 已知数列{an}的前n项和Sn，若Sn是关于项数n的二次函数，且常数项为0，则数列{an}是等差数列，且公差为二次项系数的2倍。

证明：Sn是关于项数n的二次函数，且常数项为0，设

SnAn2Bn(A0）。

当n2时，an＝Sn－Sn

1＝Ａn2+Bn－Ａ(n－１)2－Ｂ（n－１）＝２Ａn+B－Ａ(n2)，...，an，...为等差数列，公差为２A。a2，a３

又a1＝S1＝Ａ+Ｂ，a2S2S1

=４Ａ+２Ｂ－Ａ－Ｂ =３Ａ+Ｂ

a2a12A。数列{an}是等差数列，且公差为二次项系数的2倍。定理６ 若数列{an}的前n项和Sn０，且Sn既不是关于项数n的一次函数，也不是关于项数n的二次函数，则数列{an}不是等差数列（证明略）

例１ 已知数列{an}满足下列条件，判断数列{an}是否为等差数列？若是等差数列，请指出公差是多少？(１)an＝n+1(2)(4)

Sn=n2+n

an=n2 Sn=n

3(3)

Sn=n

(5)

解：（１）是等差数列，公差为１。（2）不是等差数列。

（３）是等差数列，公差为０。（4）是等差数列，公差为2。（5）不是等差数列。

例2在等差数列{an}、{bn}中，{bn}的前n项和，STn

7n2n

3Sn、Tn分别为的等差数列{an}、，求

ab

5解：Sn、Tn分别为等差数列{an}、{bn}的前n项和，且

SnTn

7n2n3

可以令SnAn(7n2)，TnAn(n3)

{an}的首项为9A,公差为d1＝14A, {bn}的首项为4A,公差为d2＝2A, a5a14d19A56A65A，b5b14d24A8A12A 

a5b5

=

65A12A



6512

由此可见，掌握了等差数列的判断方法，就能根据已知条

件判断某个数列是不是等差数列，若是等差数列，不通过计算就可判断公差是多少，节省了做题时间。因此掌握等差数列的判断方法是十分重要的。