等差数列及其前n项和复习学案(教师版)_等差数列前n项和学案

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等差数列及其前n项和 【2013年高考会这样考】

1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用． 【复习指导】

1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．

2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．

基础梳理

1．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项

如果A＝a＋b

2，那么A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－Snd

2若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．

5．等差数列的前n项和公式

若已知首项a1和末项an，则Sn＝na1＋an

2，或等差数列

{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋nn－1

26．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝d

d2n2＋a1－2n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

7．最值问题

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．

一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，① Sn＝an＋an－1＋…＋a1，② ①＋②得：Sn＝na1＋an

两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法

等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；

(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；

(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；

(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列． 双基自测

1．(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()．

A．4B．5C．6D．7 解析 a2＋a8＝2a5，∴a5＝6.答案 C

2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()．

A．31B．32C．33D．3

4a1＝26

解析 由已知可得

a1＋5d＝2，3，解得

5a1＋10d＝30，d＝－4

3.∴S8＝8a18×7

＝32.答案 B 3．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()． A．1B．9C．10D．5

5解析 由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10⇒a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.答案 A 4．(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()．

A．13B．35C．49D．6

37a1＋a7

解析 ∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝＝

249.答案 C

5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.解析 设公差为d.则a5－a2＝3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.答案 13

713137

由①②可得d＝a1＝所以a5＝a1＋4d＝＋66222266＝67

.666766

答案

考向二 等差数列的判定或证明

【例2】►已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋

12Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a12

1

(1)求证：Sn是等差数列；





(2)求an的表达式．

[审题视点](1)化简所给式子，然后利用定义证明．(2)根据Sn与an之间关系求an.(1)证明 ∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，11∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴2(n≥2)．

SnSn－1

111

由等差数列的定义知Sn是以＝＝2为首项，以2为

S1a1公差的等差数列．

(2)解 由(1)＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，SnS111

∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－

2n2nn－11

又∵a1＝，不适合上式，∴an＝

考向一 等差数列基本量的计算 【例1】►(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值． [审题视点] 第(1)问，求公差d； 第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k.解(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.n[1＋3－2n]

所以Sn＝＝2n－n2.2进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7为所求．

等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉

及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法． 【训练1】(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．

解析 设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则有4a1＋6d＝3①，3a1＋21d＝4②，



12nn－1，n≥2.，n＝1，2等差数列主要的判定方法是定义法和等差中

项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断． 【训练2】 已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.(1)求Sn；

(2)证明：数列{an}是等差数列．

(1)解 设Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则－2＝A＋B＋C，

0＝4A＋2B＋C，6＝9A＋3B＋C，解得：A＝2，B＝－4，C＝0.∴Sn＝2n2－4n.(2)证明 当n＝1时，a1＝S1＝－2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]

＝4n－6.∴an＝4n－6(n∈N*)．

当n＝1时符合上式，故an＝4n－6，∴an＋1－an＝4，∴数列{an}成等差数列．

考向三 等差数列前n项和的最值

【例3】►设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值． [审题视点] 第(1)问：列方程组求a1与d；

第(2)问：由(1)写出前n项和公式，利用函数思想解决． 解(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得

a1＋2d＝5，a1＝9a1＋9d＝－9，可解得，d＝－2.数列{an}的通项公式为an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋nn－1

d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．

求等差数列前n项和的最值，常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．

(2)利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．

【训练3】 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．

解 法一 ∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋10×915×1

42d＝15×20＋2，∴d

5∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋65

3.∴a13＝0.即当n≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0.∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋12×112×5－3＝130.法二 同法一求得d＝－53.∴Sn＝20n＋nn－12－53



＝－51256n2＋6

n

56n－2522＋3 125

.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.法三 同法一得d5

又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.考向四 等差数列性质的应用 【例4】►设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n.[审题视点] 在等差数列 {an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)用此性质可优化解题过程．

解 由题意可知a1＋a2＋…＋a6＝36① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180②

①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216.∴a1＋an＝36.又Snna1＋an

2＝324，∴18n＝324.∴n＝

18.本题的解题关键是将性质m＋n＝p＋q⇒am

＋an＝ap＋aq与前n项和公式Snna1＋an

2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．

【训练4】(1)设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2(n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a17＝________.(2)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________． 解析(1)∵an＋1－an＝2，∴{an}为等差数列． ∴an＝－7＋(n－1)·2，∴a17＝－7＋16×2＝25，S17＝a1＋a17×17－7＋25×172

2＝153.(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋

78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18⇒S20＝a1＋a2018

220＝2×20＝180.答

案

(1)153

(2)180

阅卷报告6——忽视an与Sn中的条件n≥2而致误

【问题诊断】 在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：an＝blc{rc(avs4alco1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n＝1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.【防范措施】 由an＝Sn－Sn－1求出an后，一定不要忘记验证n＝1是否适合an.【示例】►(2009·安徽改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．

错因 求an、bn时均未验证n＝1.实录 ∵an＝Sn－Sn－1，∴an＝2n2＋2n－2(n－1)2－2(n－1)＝4n.又Tn＝2－bn，∴bn＝Tn－Tn－1＝2－bn－2＋bn－1，11

即bn－1，∴bn＝2n－1＝21－n.2

正解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n－2(n－1)2－2(n－1)＝4n，又a1＝S1＝4，故an＝4n，当n≥2时，由bn＝Tn－Tn－1＝2－bn－2＋bn－1，1

得bn－1，又T1＝2－b1，∴b1＝1，1∴bn＝2n－1＝21－n.【试一试】 已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：

Sn＝(an＋2)2.8

(1)求证：{an}为等差数列．

(2)若bn＝an－30.求数列{bn}的前n项和的最小值．

[尝试解答](1)证明：当n＝1时，S1＝a1＝(a1＋2)2，8∴(a1－2)2＝0，∴a1＝2.11

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋2)2－1＋2)2，88∴an－an－1＝4，∴{an}为等差数列．

(2)由(1)知：an＝a1＋(n－1)4＝4n－2，131

由bn－30＝2n－31≤0得n≤22

∴{bn}的前15项之和最小，且最小值为－225.