等差数列的概念及性质课时一教师版_等差数列的概念及性质

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等差数列的概念

教学目标

（1）能准确叙述等差数列的定义；

（2）能用定义判断数列是否为等差数列；

（3）会求等差数列的公差及通项公式。

教学重点，难点等差数列的定义及等差数列的通项公式。

教学过程

一．问题情境

1．情境：观察下列数列：：

4，5，6，7，8，9，10，……；①

3，0，3，6，……，②

第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004③

某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为：0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,④

如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月，2个月，3个月，……12个月，所得的本利和依次为

100001000016.5,1000016.52,1000016.512，⑤

2．问题：上面这些数列有何共同特征？

二．学生活动

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3；

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4；

对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于0.1；

对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于16.5；

规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。

三．建构数学1．等差数列定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为anan1d(n2)或an1and(n1)．

思考：

（1）你能再举出一些等差数列的例子吗？

（2）判断下列数列是否为等差数列：①1，1，1，1，1；②4，7，10，13，16；③3,2,1，1，2，3。

①②是等差数列，③不是等差数列。

（3）求出下列等差数列中的未知项：①3，a，5；② 3，b,c，9

（4）已知等差数列an：4，7，10，13，16，如何写出它的第100项a100？

2．等差数列的通项公式：已知等差数列an的首项是a1，公差是d，求an．

由等差数列的定义：a2a1d，a3a2d，a4a3d，……

∴a2a1d，a3a2da12d，a4a13d，…… 所以，该等差数列的通项公式：ana1(n1)d．

另解：∵an是等差数列，∴当n2时，有a2a1d anan1d，将上面n1个等式的两边分别相加，得：ana1(n1)d ∴ana(n1)d，当n1时，上面的等式也成立。

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，d0为常数列，d0 为递减数列。

四．数学运用

1．例题：

例1．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数照算。

（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？

解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴an18964(n1)18924n(nN)（2）假设an2008,则假设an2050，205018924n无正整数解。答：所求的通项公式是an

18924n(nN)

*

*

2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会说明：由此例说明等差数列项的判断方法。

例2．在等差数列an中，已知a310，a928，求a12． 解：由题意可知：a12d

10



a18d28，解得a14∴a124(121)337

例3．某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求。

解：用an表示滑轮的直径所构成的等差数列，则由已知得a115,a625 由通项公式得：a6a1(61)d，即25155d所以，a217，a319，a421，a523，答：中间四个滑轮的直径为17cm，19 cm，21 cm，23 cm。

例4．已知数列的通项公式为anpnq，其中p，q是常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。解：取数列an中的任意相邻两项an1与an（n2），anan1(pnq)[p(n1)q]p，∵p是一个与n无关的常数，故an是等差数列，且公差是p，所以，这个等差数列的首项是a1pq，公差是p． 例5．在1与7中间插入三个数a，b，c，使得这5个数成等差数列，求a，b，c．

解：用an表示这5个数所成的等差数列，由已知得：a57，∴71(51)d，所以，a1，b3，c5．

五．回顾小结：1．等差数列的定义：anan1d(n2)；2．等差数列的通项公式及其推导方法；3．等差数列中项的判断方法。

六．课外作业：补充：

1．已知等差数列an满足a3a712，a4a64，求数列an的通项公式；

2．在等差数列an中，已知a470（1）首项a1与公差d，并写出通项公式；（2）an中有多少项属于区间18,18？

第2课时等差数列的通项公式 教学目标（1）理解等差数列中等差中项的概念（2）会求两个数的等差中项；（3）掌握等差数列的特殊性质及应用；（4）掌握证明等差数列的方法。教学重点，难点等差中项的概念及等差数列性质的应用。教学过程一．问题情境

1．复习：等差数列的定义、通项公式 ；

2．问题：（1）已知a1,a2,a3,an,an1,,a2n是公差为d的等差数列。①an,an1,,a2,a1也成等差数列吗？如果是，公差是多少？

a2,a4,a6,a2n也成等差数列吗？如果是，公差是多少？

（2）已知等差数列an的首项为a1公差为d。①将数列an中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②由数列an中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列cn是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）已知数列an是等差数列，当mnpq时，是否一定有amanapaq？

（4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？

二．学生活动与学生一起讨论得出结论。三．建构数学

1．等差中项的概念：

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A2．等差数列的性质：

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；（3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，d

anamnm



ab

2a，A，b成等差数列

A

ab2

．

(mn)；

（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanap

aq

四．数学运用1．例题：

例1．已知等差数列an的通项公式是an2n1，求首项a1和公差d。

解：a12111,a22213，∴da2a12或dan1an2(n1)1(2n1)2 等差数列an的通项公式是an2n1，是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的 各点(n,an)均在直线y2x1上（如图）

例2（1）an是等差数列，证明kanb为等差数列。（2）在等差数列an中，是否一定有an（3）在数列an中，如果对于任意的正整数n(n2)，都有an

an1an

1(n2)？

an1an1，那么数列an一定是等差数列吗？

证明（1）设数列an公差为d，cnkanb，cn1cn

kan1b(kanb)k(an1an)kd∵kd是一个与n无关的常数∴kanb为等差数列。

（2）∵an是等差数列，所以an1ananan1，∴aan1an1

n

（3）在数列an中，如果对于任意的正整数n(n2)，都有aan1an1，n

则an1ananan1(n2)，这表明，这个数列从第二项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，∴数列an一定是等差数列。例3．在等差数列an中，若a410，a719，求a18．

解：（法一）设首项a1，公差为d，则a13d10∴d3 ∴a18117d52（法二）d



a16d19

a7a

41910



3，a18a711d52．

例4．①在等差数列an中，②在等差数列an中，a1a4a8a12a152，求a3a13的值。

解：①由条件：a6a9a7a8a2a133②：由条件：∵2a8a1a15a4a12∴a82 ∴a3a132a84． 例5．如图，三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm。（1）求AB,BC,CD的长；（2）以AB,BC,CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？ 解：设公差为d(d0)，BCx则ABxd,CDxd由题意得：(xd)x(xd)21

222

(xd)x(xd)179、解得：x

7

d4

或x

7

d4

（舍去）∴AB3(cm),BC7(cm),CD11(cm)

（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列an，∴a103(101)439，∴a102

391521(cm)

A

BC

D

所求正方形的面积是1521(cm)。

五．回顾小结：

1．等差中项的概念； 2．等差数列性质的应用；

3．掌握证明等差数列的方法。

六．课外作业：（1）数列{an}的各项的倒数组成一个等差数列，若a3

21,a521，求a11；

（2）已知等差数列的第10项为23，第25项是-22，求通项公式；

（3）.等差数列中，a2+a3+a10+a11=48，求a6+a7的值

(4){an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13=-4(5)已知

111bccaab，成等差数列，求证：，也成等差数列； abcabc