全国硕士研究生入学统一数学二考试_全国卷数学考试时间

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2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设f(x)x2(x1)(x2)，则f'(x)的零点个数为（）

A0 B1.C2 D3（2）曲线方程为yf(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分aft(x)dx（）

0aA曲边梯形ABOD面积.B梯形ABOD面积.C曲边三角形ACD面积.D三角形ACD面积.（3）在下列微分方程中，以yC1exC2cos2xC3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（）

Ay'''y''4y'4y0 Cy'''y''4y'4y0

By'''y''4y'4y0

Dy'''y''4y'4y0

（5）设函数f(x)在(,)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（）

A若xn收敛，则f(xn)收敛.B若xn单调，则f(xn)收敛.C若f(xn)收敛，则xn收敛.（6）设函数f连续，若F(u,v)Duv

D若f(xn)单调，则xn收敛.2f(x2y2)xy2dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则F uvAvf(u2)Buf(u2)

vCvf(u)Duf(u)

（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A30，则（）

AEA不可逆，EA不可逆.BEA不可逆，EA可逆.CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.12（8）设A，则在实数域上与A合同的矩阵为（）

21A21.12 B21.1221C.12

12D.21

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）已知函数f(x)连续，且limx01cos[xf(x)](e1)f(x)x21，则f(0)____.（10）微分方程(yx2ex)dxxdy0的通解是y____.（11）曲线sinxylnyxx在点0,1处的切线方程为.（12）曲线y(x5)x的拐点坐标为______.zy（13）设z，则xxxy23(1,2)____.（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,.若行列式2A48，则___.三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.sinxsinsinxsinx.(15)（本题满分9分）求极限limx0x4

xx(t)(16)（本题满分10分）设函数yy(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问t2yln(1u)du0dxx2y2te0题dt的解.求2.xxt00

(17)（本题满分9分）求积分 

(18)（本题满分11分）

求二重积分max(xy,1)dxdy,其中D{(x,y)0x2,0y2}

D1xarcsinx1x20dx.(19)（本题满分11分）

设f(x)是区间0,上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)1.对任意的t0,，直线x0,xt，曲线yf(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.(20)（本题满分11分）

(1)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]，使得f(x)dxf()(ba)

ab(2)若函数(x)具有二阶导数，且满足(2)(1),(2)(x)dx，证明至少存在一点

23(1,3),使得()0

（21）（本题满分11分）

求函数ux2y2z2在约束条件zx2y2和xyz4下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）

2a1设矩阵Aa22a，现矩阵A满足方程AXB1，其中a22annB1,0,,0，（1）求证An1an；