等比数列前n项和_等比数列及其前n项和

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5.3.2等比数列的前n项和

复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前n项和公式是什么？ 复习2：已知等比数列中，a33，a681，求a9,a10.二、新课导学故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励” 新知：等比数列的前n项和公式

设等比数列a1,a2,a3,an它的前n项和是Sna1a2a3an，公比为q≠0，公式的推导方法一：则Sa

2n2n1

n1a1qa1qa1qa1qqS n(1q)Sn

当qn①或Snq=1时，Sn公式的推导方法二： 由等比数列的定义，a2



a3



an

q，有

a2a3an∴(1q)Saa2an1

a

Sna1q，即

Sna1q.1a2an1

Snan

Snan

na1a1nq（结论同上）

公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)＝a1qSn1＝a1q(Snan).∴(1q)Sna1anq（结论同上）

试试：求等比数列1，1，1，„的前8项的和.例1已知a2148

1=27，a9=，q

变式：a243

13，a548.求此等比数列的前5项和.例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位9)练1.等比数列中，a3

3练2.一个球从100m高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第2,S3,求a1及q.10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m）

三、学习小结

1.等比数列的前n项和公式；2.等比数列的前n项和公式的推导方法；

3.“知三求二”问题，即：已知等比数列之a1,an,q,n,Sn五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.※ 知识拓展

1.若q1，mN*，则Sm,S2mSm,S3mS2m,构成新的等比数列，公比为aqm

.2.a若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,a,aq.若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为

q3,a

q,aq,aq3.q

3.证明等比数列的方法有：（1）定义法：

an1

（2）中项法：a2

n1an4.数列的前n项和构成一个新的数列，可用递推公式aq；

an2.nS1a1

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： Sn

S1an(n1)表示.n1.数列11，2

a

na，a，a3，„，1a

an1

n1，„的前n2

n项和为（）.A.2.等比数列中，已知1a

B.a1a

C.1a

1a

D.以上都不对

1a220，a3a440，则a5a6（）.A.30B.60C.80D.160

3.设{a30

n}是由正数组成的等比数列，公比为2，且a1a2a3a302，那么a3a6a9a30（）.A.210

B.2

C.1D.260

4.等比数列的各项都是正数，若a181,a516，则它的前5项和为.5.等比数列的前n项和Sn

n3a，则a＝课后作业

1.等比数列中，已知a11,a464,求q及S4.2.在等比数列an中，a1a633,a2a532，求S6.复习1：等比数列的前n项和公式.当q1时，Sn＝当q=1时，Sn复习2：等比数列的通项公式.an

二、新课导学

探究任务：等比数列的前n项和与通项关系 问题：等比数列的前n项和

Sna1a2a3an1an，Sn1a1a2a3an1（n≥2），∴SnSn1当n＝1时，S1反思：等比数列前n项和Sn与通项an的关系是什么？

例1 数列{a}的前n项和Sn

nna1（a≠0，a≠1），试证明数列{an}是等比数列.变式：已知数列{an}前n项和Sn，且Sn14an2，a11，设bnan12an，求证：数列{bn}是等比数列.例2 等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，求证：Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比.变式：在等比数列中，已知Sn48,S2n60，求S3n.练1.等比数列{an}中，S3013S10，S10S30140，求S20.练2.求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，„的前n项和Sn.三、学习小结

1.等比数列的前n项和与通项关系；

2.等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，则数列Sn，S2nSn，S3nS2n也成为等比数列.※ 知识拓展

1.等差数列中，Sn

m

mnSmSnmnd；2.等比数列中，SmnSnqSmSmqSn.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.等比数列{an}中，S33，S69，则S9（）.A.21B.12C.18D.24

2.在等比数列中，a14，q＝2，使Sn4000的最小n值是（）.A.11B.10C.12D.9

3.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是123122021120

13，那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是（）.A.29

2B.28

1C.28

2D.27

1

4.在等比数列中，若2S3a32S2a4，则公比q＝.5.在等比数列中，a11，an512，Sn341，则q＝，n＝.课后作业

1.等比数列的前n项和

sn

n21，求通项an.2.设a为常数，求数列a，2a2，3a3，„，nan，„的前n项和；