2.等比数列_等比数列2

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第二讲:等比数列

5第二讲:等比数列

等比数列是另一个较基本、简单的数列.高考中等比数列的问题可分类如下:

1.基本量法

例1:(2005年全国I高考试题)设正项等比数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且210S30-(210+1)S20+S10=0.2(Ⅰ)求{an}的通项;

(Ⅱ)求{nSn}的前n项和Tn.解析:(Ⅰ)(法一):设等比数列{an}的公比为q,由210S30-(210+1)S20+S10=0210(S30-S20)=S20-S10210(a21+a22+…+a30)=a11+a12+…+a202(a11q+a12q+…+a20q)=a11+a12+…+a202q=1q=

(法二):设等比数列{an}的公比为q,由题知q≠1,设Sn=A(q-1),其中A=

***010n10101010101011nan=();22a110101030≠0,由2S30-(2+1)S20+S10=02A(q-1)q1102010-(2+1)A(q-1)+A(q-1)=0(q-1)[2(q+q+1)-(2+1)(q+1)+1]=02q-q=0q=11nan=();22

nnn(法三):设等比数列{an}的公比为q,S2n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a2n=a1+a2+…+an+a1q+a2q+…+anq=a1+a2+…

+an+q(a1+a2+…+an)=(1+q)Sn,同理可得S3n=(1+q+q)Sn,由2S30-(2+1)S20+S10=02(1+q+q)S10-(2+1)(1+q)S10 +S10=02(1+q+q)-(2+1)(1+q)+1=02q-q=0q=

(Ⅱ)由(I)知Sn=1-(***0nnn2n***1nan=();221n1n11n1n)nSn=n-n().数列{n}的前n项和=n(n+1),数列{n()}的前n项和=2-(n+2)(),所22222

1n11n)}的前n项和Tn=n(n+1)-[2-(n+2)()].222以,数列{nSn}的前n项和Tn,即数列{n-n（类题:

1.(2011年大纲高考试题)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30.求an和Sn.2.(2011年江西高考试题)己知两个等比数列{an},{bn}满足:a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(Ⅰ)若a=1,求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若数列{an}唯一,求a的值.3.等比性质

例3:(2009年山东高考试题)等比数列{an}的前n项和为Sn,己知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(Ⅰ)求r的值;

(Ⅱ)当b=2时,记bn=n1(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.4an

解析:(Ⅰ)由题知Sn=bn+ra1=S1=b+r,且当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(bn+r)-(bn-1+r)=(b-1)bn-1,又由a2

a1(b1)ba3 bra2

=br=-1;

(Ⅱ)由(I)知,当b=2时,an=2,bn=

2n-11n+11213141n+1113n1=(n+1)()Tn=2()+3()+4()+…+(n+1)()Tn=2()+ 4an22222223()+4(415141n+21121n+2131n+1121n+2)+…+(n+1)(),两式相减得Tn=2()-(n+1)()+[()+()+…+()]=()-(n+1)()2222222222

11()2[1()n]1213141n+1121n+23131n3131n+[()+()+()+…+()]=()-(n+1)()+=-(n+)()Sn=-(n+)().***12

类题:

1.(2013年陕西高考试题)设{an}是首项为q的等比数列.(Ⅰ)推导{an}的前n项和公式;

(Ⅱ)设q≠1,证明:数列{an+1}不是等比数列.2.(2011年四川高考试题)设d是非零实数,an=

1122n-1n-1nn

[Cnd+2Cnd+…+(n-1)Cnd+nCnd](n∈N+).n

(Ⅰ)写出a1,a2,a3,并判断{an}是否为等比数列？若是,给出证明;若不是,说明理由;(Ⅱ)设bn=ndan(n∈N+),求数列{bn}的前n项和公式Sn.3.等比判定

例3:(2012年湖南高考试题)己知数列{an}的各项均为正数.记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…

+an+2,n=1,2,….(Ⅰ)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N+,三个数A(n),B(n),C(n)成等差数列,求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)证明:数列{an}是公比为q的等比数列的充要条件是:对任意n∈N+,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.解析:(Ⅰ)设数列{an}的前n项和为Sn,则A(n)=Sn,B(n)=Sn+1-a1,C(n)=Sn+2-(a1+a2),由A(n),B(n),C(n)成等差数列

A(n)+C(n)=2B(n)Sn+Sn+2-(a1+a2)=2(Sn+1-a1)(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn)=a2-a1an+2-an+1=4an=4n-3;

(Ⅱ)三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列B(n)=qA(n),C(n)=qA(n)Sn+1-a1=qSn,Sn+2-(a1+a2)=q(Sn+1-a1)

Sn+1=qSn+a1…①,Sn+2=qSn+1+a1+a2-a1q…②;

由①Sn+2=qSn+1+a1,由②:a2-a1q=0a2=qa1,此时,①②;

由Sn+1=qSn+a1,Sn+2=qSn+1+a1Sn+2-Sn+1=q(Sn+1-Sn)an+2=qan+1,结合a2=qa1an+1=qan{an}是公比为q的等比数列;反之,由an+1=qanSn+1=a1+a2+a3+…+an+1=a1+q(a1+a2+…+an)=a1+qSn①成立②成立.类题:

1.(2008年天津高考试题)己知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).(Ⅰ)设bn=an+1-an(n∈N*),证明:{bn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅲ)若a3是a6与a9的等差中项,求的q值,并证明:对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.2.(2007年天津高考试题)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.(Ⅰ)证明:数列{an-n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;

(Ⅲ)证明:不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.4.求和上界

例4:(2013年湖北高考试题)己知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数m,使得

111++…+≥1？若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.a1a2am

解析:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,由a1a2a3=125a23=125a2=5;又由|a2-a3|=10|5-5q|=10q=3,或-1;当

q=3时,an=5×3;当q=-1时,an=5(-1);(Ⅱ)①当an=5×

3n-2n-2

n-2

1[1()m]

31n-191m911111n-23时,=()++…+=5=[1-()]

an53a1a2an10310am

13

[1(1)m]

111111n-1m

(-1)++…+==-[1-(-1)](当m为偶数时,该式=0;当m为奇数时,该式=-)

a1a251051(1)am

不存在正整数m,使得

++…+≥1.a1a2am

类题:

1.(2007年陕西高考试题)己知实数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)数列{an}的前n项和记为Sn,证明:Sn

131

≤(n∈N+).Sn6的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+),且-2S2,S3,4S4成等差数列.2

5.求和递推

例5:(2001年上海春招试题)己知{an}是首项为2,公比为的等比数列,Sn为它的前n项和.(Ⅰ)用Sn表示Sn+1;

(Ⅱ)是否存在自然数c和k,使得

Sk1c

>2成立.Skc

解析:(Ⅰ)an=2()n-1Sn+1=a1+a2+a3+…+an+1=a1+a1()+a2()+…+an()=a1+(a1+a2+…+an)=2+Sn;

c(Sk2)

33111k1k2>0(c-Sk)[c-(Sk-2)]0 222222Skc

Sc

(Ⅱ)k1>2

Skc

Sk>（33

5Sk-2))(Sk-2)

1k31k11313)]

4当k≥3时,Sk=4[1-(和k,满足题意.类题:

1.(2004年全国Ⅲ高考试题)己知{an}是等比数列,a2=6,a5=162.(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)设Sn是{an}的前n项和,证明:

SnSn2

≤1.Sn1

2.(1995年全国高考试题)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和.(Ⅰ)证明:

lgSnlgSn2

lg(Snc)lg(Sn2c)

=lg(Sn+1-c)成立？并证明你的结论.(Ⅱ)是否存在常数c>0,使得:

6.最值问题

例6:(2013年天津高考试题)己知首项为

S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设Tn=Sn-1

(n∈N+),求数列{Tn}的最大项的值和最小项的值.Sn的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N+),且2

解析:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列(S3+a3)+(S4+a4)=2(S5+a5)(S5-S3)+(S5-S4)=

a3+a4-2a5a5+a4+a5=a3+a4-2a54a5=a3q=

a511131n-1

=q=-(当q=时,数列{an}为递减数列)an=(-);a342222

31n

[1()]31n-11n1n3(Ⅱ)由an=(-)Sn==1-(-):①当n为偶数时,Sn=1-()(是n的单调递增函数)∈[,1);②当

1222241()

n为奇数时,Sn=1+（1n31)(是n的单调递减函数)∈(1,];因函数f(x)=x-在(0,+∞)内单调递增{Tn}的最大项=T1= 22x

325347

-=,最小项T2=-=-.2364312

类题:

1.(2010年上海高考试题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*.(Ⅰ)证明:{an-1}是等比数列;

(Ⅱ)求数列{Sn}的通项公式,并求出n为何值时,Sn取得最小值,并说明理由.2.(2009年全国高中数学甘肃初赛联赛试题)设a1、a2、a3成等差数列,a1+a2+a3=15;b1、b2、b3成等比数列,b1b2b3=27.若a1+b1、a2+b2、a3+b3是正整数且成等比数列,求a3的最大值.