等差数列的一个特征性质及应用_等差数列的性质及应用

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等差数列第一个特征性质及应用

江西南昌市卫生学校熊秋玲

内容提要：本文证明等差数列的一个重要性质：数列{an}是等差数列的充要条件为：对于任意三个自然数q,p,r,恒有(q-r）ap+(r-p)aq+(p-q)ar=0成立。并举实例说明其实用。

等差数列是中学数学的重要内容之一，有一个特征性质应用极为广泛，即

定理数列{an}是等差数列的充要条件为：对于任意三个自然数p,q,r,恒有(q-r）ap+(r-p)aq+(p-q)ar=0（1）证明必要性，设{an}是一个等差数列，其首项为a1,公差为d，则

ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,ar=a1+(r-1)d,于是

（q-r）ap+(r-p)aq+(p-q)ar

=p(ar-aq)+q(ap-ar)+r(aq-ap)

=p(r-d)d+q(p-r)d+r(q-p)d

=0。即(1)式成立。

充分性，若对任意三个自然数p,q,r,恒有（1）式成立。于是对任意的自然数n（n≥2），取p=n-1,q=n,r=n+1,则由

（1）式，有

-an-1+2an-an+1=0,即an-1+an+1=2an(n≥2),这说明数列{an}是一个等差数列。

定理的等式（1）是循环对称，用数列中的任意三项来刻画等差数列的特征。应用它来处理与等差数列有关的一些问题时，显得相当灵活方便，兹举几例说明之。

例1.在等差数列{an}中，已知ap=q=求ap+q qp11解：由（1）式，有

q−(p+q)∗p+q −p ∗+ p−q ap+q=0 即-++(p−q)ap+q=0 qppq11qp

∴(p-q)ap+q=−= p−q(+

故 ap+q=+ pq1q1ppqpq11例2.在等差数列{an}中，已知am+n=A,am-n=B(m>