等差数列典型例题及分析_等差数列典型例题解析

等差数列典型例题及分析由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“等差数列典型例题解析”。

一、【经典例题导讲】

[例1]等差数列an、bn的前n项和为SS

n、Tn.若nT7n1a

4n27(nN),求7

b；

n7

解：a7a7a7S137

bb13192

77b7T134132779

[例2]已知一个等差数列an的通项公式an=25－5n，求数列|an|的前n项和；



解： n(455n),n5

2

(205n)(n5)

250,n6

[例3]已知：an

n1024lg21（lg20.3010）nN

（1）问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1）an1024(1n)lg20

a1024n102413401n11024nlg20lg2lg2n3403∴n3402

（2）S(n1)

n1024nn

2(lg2)0

当Sn0或Sn近于0时其和绝对值最小

令：S1)

n0即 1024+n(n

2(lg2)0得：n2048

lg216804.99

∵ nN∴n6805

[例4]项数是2n的等差数列，中间两项为a2

n和an1是方程xpxq0的两根，求证：此数列的和S222

2n是方程 lgx(lgnlgp)lgx(lgnlgp)20的根。（S2n0）

证明：依题意anan1p

∵an(a1a2n)

1a2nanan1p∴S2

2n2np

∵lg2x(lgn2lgp2)lgx(lgnlgp)20

∴(lgxlgnp)20∴xnpS2n（获证）。

[例5]设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，TSn

n为数列

n的前n项和，求Tn。

解：设等差数列a的公差为d，则 S1

nnna12nn1d

∵SS7a121d7 ,即 

15aa13d1 ,77，1575，∴解得：a12，d1

1105d75 ,a17d5 ,。

∴Sn

na11

12n1d22n1，∵Sn1

n1Sn

n1

2，∴数列Sn

n是等差数列，其首项为2，公差为1

2，∴T12

n4n9

4n。

[例6]设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；

(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…

S14772a113d112a113d11,（Ⅱ）由a0得ad0即

111102a120d0,a16a162a112

由①+②得－7d＜11。即d＞－11

7。

由①+③得13d≤－1 即d≤－1于是－11

7＜d≤－1

13又d∈Z,故d=－1

将④代入①②得10＜a1≤12.又a1∈Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…

二、【典型习题导练】

1．已知an

13且anSn12，求an及Sn。

334n(n1)，求证：n(n1)(n1)2

2．设an222an2。

3.求和: 1111

12123123n

4.求和：(1002992)(982972)(4232)(2212)

5.已知a,b,c依次成等差数列，求证：a2bc,b2ac,c2ab依次成等差数列.6.已知数列1

a为等差数列，且a1113

3,a5

n267，求a8的值。