第10讲等比数列_10等比数列

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第10讲等比数列

1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；

2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；

3.体会等比数列与指数函数的关系.4851找出疑惑之处）

复习1：等差数列的定义？

复习2：等差数列的通项公式an

二、新课导学

※ 学习探究

观察：①1，2，4，8，16，…

1111②1，，，… 24816

2③1，20，20，203，204，…

思考以上四个数列有什么共同特征？

新知：

1.等比数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，等于常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示

a（q≠0），即：n=（q≠0）an

12.等比数列的通项公式：

a2a1；a3a2q(a1q)qa1；

a4a3q(a1q2)qa1；… …

∴ anan1qa1 等式成立的条件

3.等比数列中任意两项an与am的关系是：

※ 典型例题

41例1（1）一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项； 9

3（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式ana1qn1.例2 已知数列{an}中，lgan3n5，试用定义证明数列{an}是等比数列.a

小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，n1是一个不为0的常数

an就行了.※ 动手试试

练1.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?

练2.一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q（）.A.B.C.D.三、总结提升 ※ 学习小结

1.等比数列定义；

2.等比数列的通项公式和任意两项an与am的关系.※ 知识拓展

在等比数列{an}中，⑴ 当a10，q >1时，数列{an}是递增数列； ⑵ 当a10，0q1，数列{an}是递增数列； ⑶ 当a10，0q1时，数列{an}是递减数列； ⑷ 当a10，q >1时，数列{an}是递减数列； ⑸ 当q0时，数列{an}是摆动数列； ⑹ 当q1时，数列{an}是常数列.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.在an为等比数列，a112，a224，则a3（）.A.36B.48C.60D.7

229

12.等比数列的首项为，末项为，公比为，这个数列的项数n＝（）.38

3A.3B.4C.5D.6 3.已知数列a，a（1－a），a1()a2，…是等比数列，则实数a的取值范围是（）.A.a≠1B.a≠0且a≠1 C.a≠0D.a≠0或a≠1

4.设a1，a2，a3，a2a1a2

4成等比数列，公比为2，则

2a＝.3a

45.在等比数列{an}中，2a4a6a5，则公比q＝

在等比数列{an}中，⑴ a427，q＝－3，求a7；⑵ a218，a48，求a1和q；

⑶ a44，a76，求a9；⑷ a5a115,a4a26，求a3.1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；

2.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法

.5154找出疑惑之处）

复习1：等比数列的通项公式an.公比q满足的条件是

复习2：等差数列有何性质？

二、新课导学 ※ 学习探究

问题1：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则

Gb

G2abGaG

新知1：等比中项定义

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项.即G=（a，b同号）.试试：数4和6的等比中项是.问题2：

1.在等比数列{an}中，a52a3a7是否成立呢？22.anan1an1(n1)是否成立？你据此能得到什么结论？23.anankank(nk0)是否成立？你又能得到什么结论？

新知2：等比数列的性质

在等比数列中，若m+n=p+q，则amanapak.试试：在等比数列an，已知a15,a9a10100，那么a18

※ 典型例题

例1已知{an},{bn}是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什

n

}也一定是等比数列吗？证明你的结论.bn

变式：项数相同等比数列{an}与{bn}，数列{

小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.例2在等比数列{an}中，已知a4a7512，且a3a8124，公比为整数，求a10.变式：在等比数列{an}中，已知a7a125，则a8a9a10a11.※ 动手试试

练1.一个直角三角形三边成等比数列，则（）.A.三边之比为3：4：5 B.三边之比为

1C.D.练2.在7和56之间插入a、b，使

7、a、b、56成等比数列，若插入c、d，使

7、c、d、56成等差数列，求a＋b＋c＋d的值.三、总结提升 ※ 学习小结

1.等比中项定义； 2.等比数列的性质.※ 知识拓展

公比为q的等比数列{an}具有如下基本性质：

1.数列{|an|}，{an2}，{can}(c0)，{anm}(mN*)，{ank}等，也为等比数列，公比分别为

a

|q|,q2,q,qm,qk.若数列{bn}为等比数列，则{anbn}，{n也等比.bn2.若mN*，则anamqnm.当m=1时，便得到等比数列的通项公式.3.若mnkl，m,n,k,lN*，则amanakal.4.若{an}各项为正，c>0，则{logca}n是一个以logca1为首项，logcq为公差的等差数列.若{bn}是以d为公差的等差数列，则{cbn}是以cb1为首项，cd为公比的等比数列.当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.在an为等比数列中，an0，a2a42a3a5a5216，那么a3a5（）.A.±4B.4C.2D.8

2.若－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝（）.A．8B．－8C．±8D．9

3.若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax，logbx，logcx（A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列

4.在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于5.在各项都为正数的等比数列an中，a5a69，则log3a1+ log3a2+…+ log3a10

1.在an为等比数列中，a1a964，a3a720，求a11的值.2.已知等差数列an的公差d≠0，且a1，aa1a3a9

3，a9成等比数列，求a.2a4a10）

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