等差数列与等比数列_等差数列和等比数列

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等差数列与等比数列

0,递增数列

一、等差数列的定义：an1and（d：公差）（常数）0，常数列，

1．证明数列an为等差数列：（1）定义：an1and（常数）

（2）等差中项：2an1anan

2注：(1)不可用a2a1a3a2a4a3“常数”证(2)a1

例1．（1）已知数列an为等差数列，求证：数列anan1为等差数列；

变式：①已知数列an为等差数列，求证：数列ant（t为常数）为等差数列；

②已知数列an为等差数列，求证：数列tan（t为常数）为等差数列； ③已知数列an、bn均为等差数列，求证：数列anbn为等差数列

（2）已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2，求证：数列an为等差数列； 变式：①已知数列an的前n项和为Sn，且Snn21，求：an

②已知数列an的前n项和为Sn，且Snan2bn，求：an ③已知数列an的前n项和为Sn，且Snan2bnc，求：an（3）已知数列an满足：a11,an1数列；

（4）已知数列an，a1=1，an1为等差数列

（5）设数列an的前n项和为Sn，求证：数列an为等差数列的充要条件是

an为等差数列

S1,n

1SnSn1,n

2an1,且bn，求证：数列bn为等差an1an

n1an，且bnnan，求证：数列bnn1n1

Sn

n(a1an)

22． 证明数列an为单调数列：an1anf(n)

0,递增数列 递减数列0，注：（1）求数列an中an的极值也可采用此方法（2）已知数列an为等差数列

ⅰ.若a10,d0，则Sn有最小值； 解法：①令an0bn

②Sn

ⅱ.若a10,d0，则Sn有最大值；

解法：①令an0

②Sn

例2．已知an(112n)2n，求数列an的最大项

例3．（1）已知等差数列an的前n项和为Sn，且an102n,求Sn的最大值；

(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且an=2n-13,求Sn的最小值；

3． 叠加法：已知a1a，an1anf(n)，求an

例4．（1）已知数列an为等差数列，首项为a1，公差为d,求an；

（2）已知数列an，a11,an+1

4． 通项公式：ana1(n1)d（1）anam(nm)d

（2）an是关于n的一次函数，且n的系数为公差d.例5．已知数列an为等差数列，a53，a913，求an

5． 等差中项：若a、b、c成等差数列，则b（1）若数列an为等差数列，则2an

1n11

an，求an nn

ac

称为a、c的等差中项

2anan2；

（2）若已知三个数成等差数列，且其和为定值，则可设这三个数为a-d、a、a+d；（3）若数列an为等差数列，且公差d0,则amanapaqm+n=p+q(4)在有穷等差数列an中,与首尾两项距离相等的两项的和等于首尾两项的和.即：

a1ana2an1a3an2akank

1例6．（1）已知：等差数列中连续三项的和为21，平方和为179，求这三项（2）在3与19之间插入3个数后成等差数列，求这三个数（3）已知：a、b、c成等差数列

求证：①b+c、a+c、a+b成等差数列；

②a(bc)、b(ac)、c(ab)成等差数列； ③abc、bac、cab成等差数列

（4）已知：a、b、c成等差数列，求证：

2222

111成等差数列 bcacab

lg(ac)、lg(ac2b)成等差（5）已知：成等差数列，求证： lg(ac)、数列

（6）若方程a(bc)xb(ca)xc(ab)0有相等实根，求证：成等差

111abc

111abc

数列

例7．在等差数列an中，(1)若a5a1012,求S14；(2)若a8m,求S15；

(3)若a4a6a15a1750,求S20；(4)若a2a418,a3a532,求S6；(5)若a2a5a12a1536,求S16；(6)若a3a4a5a6a7450,求a2a8

(7)若等差数列an的各项都是负数，且a32a822a3a89，则其前10项和S10= ____________

(8)在等差数列an中，若a3a15a5an，则n=_______

6．数列an的前n项和Sn注：（1）倒序法求和；

（2）等差数列an的前n项和Sn是关于自然数n的二次函数，且n的系数为

n(a1an)n(n1)n(n1)

na1dnand 22

2d，2

常数项为零，即：SnAn2Bn（当A=0时数列an为常数列）；

（3）①S2n1(2n1)an（可以将项与和之间进行相互转化）。如例7②S2kk(akak1)

（4）若数列an为等差数列，则Sn、S2nSn、S3nS2n也成等差数列

例8．（1）已知等差数列an的前n项和为Sn=nn,求an

（2）已知等差数列an的前n项和为Sn=nn+1，求an

（3）在数列an中，an

1,n

1，求Sn

2n1,n

2例9．（1）等差数列an中a1a2a324,a18a19a2078，求此数列的前20项和；

（2）已知等差数列an的前4项和为35，后4项和为125，所有项的和为280，则这个数列的项数是（）

（A）14；（B）15；（C）16；（D）17

（3）一个等差数列共n+1项，在每相邻两项之间插入一个数，使新数列仍是等差数列，且插入的数中最大的为132，最小的为-28，则新数列的第n+1项为____________；(4)一个项数为奇数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和为30与24，则项数n =____________；

(5)已知两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，且满足

Sn2n1anN，求3； Tn3n2b

3变式：已知两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，且满足

Sn2n1an、mN，求3 Tm3m1b

4（6）已知等差数列an的前10项的和为S10=100，前100项的和为S100=10，求

前110项的和S110；

（7）在数列｛an｝中，且an2an11(nN)，则S100=____； a1=1，a2=2，n

a1000=____________,a2007=____________

变式：①在数列｛an｝中，a1=1，a2=2，且an2an1nNn、mN,则

a100=______,S2006=____________

②在数列｛an｝中，a1=1，a2=2，且an2an1

n

1nN,则

a50_____,S100______

(8)在等差数列｛an｝中，a90,a100，且a9a100,Sn是前n项和 则（）

（A）S1,S2,,S9都小于零，S10,S11,都大于零；

（B）S1,S2,,S5都小于零，S6,S7,都大于零；

（C）S1,S2,,S18都小于零，S19,S20,都大于零；（D）S1,S2,,S19都小于零，S20,S21,都大于零；

（9）等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为100, 则它的前3m项的和为____________；

（10）在等差数列an中，S44,Sn412,Sn24，求n 的值 ；

（11）等差数列an中，满足3a47a7,且a10,Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n=__________；

(12)若数列an的通项an=2n-7（nN），则|a1||a2||a3||an|=____；（13）在等差数列an中，a113,S3S11，求 Sn的最大值；（14）在等差数列an中，a312,S120,S130①求公差d的取值范围；

②求Sn的最大值

(15)已知等差数列an满足：a1a2a3a1010，则有（）（A）a1a1010；（B）a2a1010；（C）a3a990；（D）a5151

0,各项同号

a

二、等比数列的定义：n1q1,非零常数列（q：常数）

an

0,正负间隔出现

1． 非零常数列既是等差数列又是等比数列，反之也成立，常数列是等差数列但不一定

是等比数列；等比数列的隔项的符号一定相同

an

1例10．若数列an既是等差数列又是等比数列，且an，求Sn

2an1

52．an0,q0

3．单调数列：①单调递增数列：an0,q1或an0,q0,1

②单调递减数列：an0,q0,1或an0,q1

4．证明数列an为等比数列：①

an1

q an

②bn12bnbn

21

注：（1）若数列an为等比数列，则数列tan,（t为常数,且t0）也为等比数列；

ana

（2）若数列an为等差数列，则数列Cn(C>0且C1)为等比数列；

（3）若数列an为等比数列（an0），则数列C①求证：数列bn是等比数列

②求an

（2）已知数列an满足：a11,a1a2a3anan1，求an（3）已知数列A：2

logab

logab

logab

(C>0且C1)为等差数列

an

例11．（1）已知数列an满足：a11,an12an1且bnan1，,4,8,,2



n

logab,(a0,b0,a、b为常数，且

a1），求证：①A是等比数列；

②若A同时又是等差数列，求b的值

5．通项公式：ana1qn1amqnm

注：（1）an是关于n的指数函数形式，且指数中n是一次式（2）公式的推导：①数学归纳法

②由

aaa2a3a

4n1nq a1a2a3aan2an1aaa2a3a4

n1nqn1 a1a2a3aan2an

1an

qn1 a1



ana1qn1（q为常数）

（已知a1a,且

an1

f(n)，求an可用此方法）an

例12．（1）在等比数列an中, a16,a5162,求a4及an(2)在等比数列an中, a42,a716,求a10及an（3）在等比数列an中,a66,a99，求a

3(4)在等比数列an中,a16,an768,a2n412288, 求公比q(5)已知数列an满足：a11,an12an，求an

n

（6）已知数列an满足：a11,anan12n,则a10_________,a15_________,an______________

6． 等比中项：若a、b、c

成等比数列，则ba、c的等差中项

（1）数列an为等比数列，则an1anan2；

（2）若已知三个数成等比数列，且其积为定值，、a、aq

a

q

（3）若数列an为等比数列，且公比q1，则anamapaqnmpq

(4)在有穷等比数列an中,与首尾两项距离相等的两项的积等于首尾两项的（5）a1a2a3ana2n3a2n2a2n1an

2n

1积，即：a1ana2an1a3an2akank1例13．在等比数列an中

（1）若a9a22a13a186，则a1a2a3a30=______________（2）若a4a7512,a3a8124，且公比q为整数，则a10=__________（3）若a1a2324,a3a436，则a5a6=_____________

（4）若an0,且a3a58，则log2a2log2a3log2a5log2a6_____（5）若a1a2a37,a1a2a38，则an___________

(6)若an0,且a2a42a3a5a4a625,则a3a5___________

222

2例14．(1)若a、b、c成等比数列，求证：ab,abbc,bc也成等比数列；（2）若a、b、c、d成等比数列，求证：a+b,b+c,c+d也成等比数列；

(3)若a、b、c成等差数列，求证：3a,3b,3c成等比数列；

（4）若三个正数a、b、c成等比数列，求证：lga,lgb,lgc成等差数列

例15．(1)有四个数，前三个数成等差数列和为12，后三个数成等比数列其积为216，求这四个数；

（2）有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数

（3）在3与9之间插入两个正数，使得前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这两个数

na1,q1

7． 前n项和：Sna11qn a1anq

1q1q,q1



例16．在等比数列an中，a10,Sn80,S2n6560，前n项中，最大的项的值是54,求其通项an

（1）错位相加减求和； 例17．求和：

①12232n2②1aaa ③12x3xnx

n

1n

2n1

(2)若数列an为等比数列，则Sn、S2nSn、S3nS2n也成等比数列；

例18．①等比数列an的前m项的和为10，前2m项的和为30, 则它的前3m项的和为____________；

②在等比数列an中，S63,Sn612,Sn39，则n =___________