等差数列和等比数列_等差数列与等比数列

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一．等差数列的概念

1.等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那这个数列就叫做等差数列。

2.数学符号表示：an+1-an=d（n∈N+），d为常数，称为公差。或an-an-1=d（n≥2）。

3.如果d＞0，则数列为递增数列；如果d=0，则数列为常数列；如果d＜0，则数列为递减数列。

4.判断一个数列是不是等差数列：a.定义法证明。b.等差中项法。c.通项公式结构。

二．等差数列的等差中项

1.定义：如果a，A，b成等差数列，那么A则称作a与b的等差中项。

2.数学符号表达：A=（a+b）/2，2A=a+b，b-A=A-a，2an+1=an+an+2。

3.等差中项是对含有3项以及3项以上的等差数列提出来的。

三．等差数列的通项公式

1.通项公式：an=a1+（n-1）d，a1为首项，d为公差。

2.推导：

⑴归纳法

a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d„„ an=a1+（n-1）d。当n=1时，带入得a1=a1，即等式成立。

⑵迭加法

an-an-1=d,an-1-an-2=d,„„a3-a2=d,a2-a1=d,以上各式两边分别相加，得an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d。

⑶迭代法

an=an-1+d=an-2+2d=an-3+3d=„„a1+(n-1)d，即an=a1+（n-1）d。

⑷逐差法

an=an-an-1+an，an-1=an-1-an-2+an+2，„„a2=a2-a1+a1，则 an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+„„+（a2-a1）+a1= a1+（n-1）d。

3.通项公式的变形：ap-aq=（p-q）d。

4.通项公式中，可以看出an由两个基本量d、a1决定，所以只要知道两个基本量就可以求等差数列中的任一项。通项公式变形中，可以看出只要知道等差数列中的任意两项，就可以其他任意一项。

四．等差数列的函数结构及图像

1.函数结构：an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），令k=d，b=a1-d，则an=kn+b，即结构是关于n的一次形式。（线性结构）

2.图像：是直线an=kn+b上的均匀分布的离散点列。

五，等差数列的性质

1.下标和性质（中项性质）

若p+q=m+n，则ap+aq=am+an。特别的，若p+q=2b，则ap+aq=2ab。

2.定距抽取性质

等差数列每隔一定距离抽取一项所组成的数列仍成等差数列。

六．等差数列的前n项和

1.公式：Sn=n(a1+an)/2。

2.推导：（反序相加求和法）

Sn=a1+a2+a3+„„+an，Sn=an+an-1+an-2+„„+a2+a1，故2Sn=n(a1+an)，即Sn=n(a1+an)/2。

还可以得到Sn=na1+n(n-1)d/2。（Sn仍由两个基本量决定）

七．an与Sn的关系

当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1。（分段）

八．等差数列前n项和的函数结构及图像

221.函数结构：Sn=na1+n(n-1)d/2，即Sn=d/2n+(a1-d/2)n，令A=d/2，B=(a1-d/2)，则Sn=An+Bn，即结构是关于n的一元二

次形式（无常数项）。（待定系数法）

22.图像：是抛物线Sn=An+Bn上的一群离散点列。

九．等差数列前n项和的性质

1.中项性质的拓展

若（1+n）/2是正整数，则Sn=na中；若（1+n）/2不是正整数，则Sn=n（an/2+an/2+1）/2。

22.只要{ an }的前n项和Sn的结构符合Sn=An+Bn，则{ an }为等差数列。

证明：当n=1时，a1=s1=a+b；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+b-a，检验：当n=1时，a1=a+b，所以符合。则an为等差数列。

3.依次k项和（连续片段和）

2Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，„„成等差数列，且公差为原公差的k倍。

应用前提：⑴条件结论均为和。⑵下标成倍数（或则有公倍数）。

十．等差数列前n项Sn的最值

法一：Sn的通项公式是关于n的一元二次函数，利用函数观点来解决，要注意定义域的特殊性。

法二：从an的符号分析——转折项（临界项）

⑴a1＞0，d＞0，则S1最小，无最大值；

⑵a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，无最小；（令an≥0，an+1≤0）

⑶a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，无最大值；（令an≤0，an+1≥0）

⑷a1＜0，d＜0，则S1最大，无最小值。

一．等比数列的概念

1.等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那这个数列就叫做等比数列。

2.数学符号表示：an+1/an=q（n∈N+），q为常数，称为公比。或an/an-1=q（n≥2）。

3.注意：⑴公比不能为0，若公比中含有未知数，则要分类讨论。且等比数列的每一项都不能为0，存在为0的项的数列一定不是等比数列。

⑵常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列。

4.判断一个数列是不是等比数列：

二．等差数列的等差中项

1.定义：如果a，G，b成等比数列，那么G则称作a与b的等比中项。

22.数学符号表达：G=ab，b/G=G/a，an+12=anan+2，G=±√a+b（只有同号的两项才有等比中项，即相隔项符号一定相同。）

3.等比中项是对含有3项以及3项以上的等比数列提出来的。

4.当a，b同号时，G值有两个；当a，b异号时，G不存在。

三．等比数列的通项公式

n-11.公式：an=a1*q（q不为0）。

2.推导：

⑴归纳法

23n-1a2=a1q，a3=a1q，a4=a1q„„ an=a1q。当n=1时，带入得a1=a1，即等式成立。

⑵累积法

n-1n-1a2/a1=q，a3/a2=q，a4/a3=q，„„an/an-1=q，以上各式两边分别相乘，得an/a1=q，即an=a1*q。

⑶迭代法

23n-1n-1an=an-1q=an-2q=an-3q=„„a1q，即an=a1+q。

m-n3.通项公式的变形：am/an=q。

4.通项公式中，可以看出an由两个基本量d、a1决定，所以只要知道两个基本量就可以求等比数列中的任一项。通项公式变形中，可以看出只要知道等比数列中的任意两项，就可以其他任意一项。

四．等比数列的函数结构及图像

n-1nn1.函数结构：an= a1*q=（a1/q）q，令k=（a1/q），an=k q，则即结构是关于n的指数形式。

n2.图像：是指数函数an=（a1/q）q上的一群离散点列。

五，等比数列的性质

1.下标和性质（中项性质）

2若p+q=m+n，则apaq=aman。特别的，若p+q=2b，则apaq=ab。

2.等比数列的增减性

当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{ an }是递增数列；

当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{ an }是递减数列；

当q=1，{ an }是常数列；当q＜0时，{ an }是摆动列。

六．等比数列的前n项和

1.公式：Sn1+an)/2，q≠1；（分段）

n1（1-q）/1-q，q=1。

2.推导：（错位对齐相减法）

23n-1Sn=a1+a2+a3+„„+an，即Sn=a1+a1q+a1q+a1q+„„+a1q，①

23n-1nqSn=a1q+a1q+a1q+„„+a1q+a1q，②

nn①-②，得（1-q）Sn=a1-a1q，当q≠1时，Sn=a1（1-q）/1-q；当q=1时，Sn=na1。

还可以得到Sn=（a1-anq）/1-q。（Sn仍由两个基本量决定）

七．等差数列前n项和的性质

1.依次k项和

mSk，S2k-Sk，S3k-S2k，„„成等比数列，且公比为原公比的q倍。

2.前n项积Tn与中项的关系：Tn=a中n

一．等差与等比的转换

等差取指数变为等比，等比取对数变为等差。

二．数列应用题

1.设题。2.增加具体数值——等差数列；增加比率（百分比、增长率）——等比数列。

三．数列构造（加减乘除）

1.等差数列{ an }、{ bn }

{ an ± bn }——等差；{ an * bn }——基本不是等差，除非是c* bn（c为常数）；{ an / bn }——基本不是等差，除非是bn/c（c为常数）。（一次加一次还是一次）

2.等比数列{ an }、{ bn }

{ an ± bn }——基本不是等差，除非公比相等；{ an * bn }——等比数列；{ an / bn }——等比数列。

四．一般数列{ an }

1.已知an求Sn——数列求和

①等差±等比——各自求和，再求总和。

②等比±等比——各自求和，再求总和。

③等差*等比——错位对齐相减法。（a.乘公比，对齐；b.相减，中间对齐为等比，注意首项能否合并；c.整理；d.检验）。

22+22④等差*等差——公式法1+23+„„+n=n(n+1)(2n+1)/6。

⑤分式且分母为二次（分母为两个等差相乘）——裂项求和。

2.已知Sn求an——已知和求通项

利用an与Sn的关系，注意“分段”求解。

3.an与Sn混合①消去Sn转化为an的递推公式

方法：降标两式相减，消去Sn，一定要注意n≥2。

②消去an转化为Sn的递推公式

方法：带入an=Sn-Sn-1，一定要注意n≥2。

4.由递推公式求通项公式

①基本数列的递推

a． 等差数列：递推结构：一次函数且k=1，即y=x+d。

b． 等比数列：递推结构：一次函数，且常数项为0，即y=kx。

②差数列（等差数列的推广）

递推结构：an-an-1=f(n)（n≥2）——迭加法。

商数列（等比数列的推广）

递推结构：an/an-1=f(n)（n≥2）——迭乘法。

③一阶线性递推——一阶：一项只有前一项决定，线性：一次。

法一：迭代法法二：常数项分解到两边（两边各加一点），构成成新的数列，即为等比数列。