数理逻辑练习题及答案3_数理逻辑习题及答案
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命题逻辑的推理
1． 判断下面推理是否正确。先将简单命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结构（以蕴涵式的形式给出）和判断过程（至少给出两种判断方法）：
（1）若今天是星期一，则明天是星期三；今天是星期一。所以明天是星期三。
（2）若今天是星期一，则明天是星期二；明天是星期二。所以今天是星期一。
（3）若今天是星期一，则明天是星期三；明天不是星期三。所以今天不是星期一。
（4）若今天是星期一，则明天是星期二；今天不是星期一。所以明天不是星期二。
（5）若今天是星期一，则明天是星期二或星期三。
（6）今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一。所以明天不是星期三。
2． 构造下面推理的证明：
（1）前提：p→(q→r), p, q
结论：r∨s
（2）前提：p→q, ┐(q∧r), r 结论：┐p
（3）前提：p→q
结论：p→(p∧q)
（4）前提：q→p, qs, st, t∧r 结论：p∧q
（5）前提：p→r, q→s, p∧q 结论：r∧s
（6）前提：┐p∨r, ┐q∨s, p∧q 结论：t→(r∨s)
3． 用附加前提法证明下面各推理：
（1）前提：p→(q→r), s→p, q
结论：s→r
（2）前提：(p∨q)→(r∧s),(s∨t)→u
结论：p→u
4． 用归谬法证明下面推理：
（1）前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s
结论：┐p
（2）前提：p∨q, p→r, q→s
结论：r∨s
5． 构造下面推理的证明。
（1）如果小王是理科学生，他必学好数学；如果小王不是文科生，他必是理科生；小王没学好数学。所以，小王是文科生。
（2）明天是晴天，或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我看电影，我就不看书。所以，如果我看书，则明天是雨天。答案
1．设p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。
（1）推理的形式结构为
(p→r)∧p→r
此形式结构为重言式，即
(p→r)∧pr 所以推理正确。
（2）推理的形式结构为
(p→q)∧q→p
此形式结构不是重言式，故推理不正确。
（3）推理形式结构为
(p→r)∧┐r→┐p
此形式结构为重言式，即
(p→r)∧┐r┐p
故推理正确。
（4）推理形式结构为
(p→q)∧┐p→┐q
此形式结构不是重言式，故推理不正确。
（5）推理形式结构为
p→(q∨r)它不是重言式，故推理不正确。
（6）推理形式结构为(pr)∧┐p→┐r
此形式结构为重言式，即(pr)∧┐p┐r
故推理正确。
推理是否正确，可用多种方法证明。证明的方法有真值表法、等式演算法。证明推理正确还可用构造证明法。
下面用构造证明法证明（6）推理正确。
前提: pr, ┐p
结论: ┐r
证明: ① pr 前提引入
②(p→r)∧(r→p)①置换
③ r→p ②化简律
④ ┐p 前提引入 ⑤ ┐r ③④拒取式
所以，推理正确。2．
（1）证明：
①p→(q→r)②p ③q→r ④q ⑤r ⑥r∨s
前提引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 ③④假言推理 ⑤附加律
（2）证明：
①┐(q∧r)②┐q∨┐r ③r ④┐q ⑤p→q ⑥┐p
前提引入 ①置换 前提引入 ②③析取三段论 前提引入 ④⑤拒取式
（3）证明：
①p→q ②┐p∨q
③(┐p∨q)∧(┐p∨p)④┐p∨(p∧q)⑤p→(p∧q)
前提引入 ①置换 ②置换 ③置换 ④置换
也可以用附加前提证明法，更简单些。
（4）证明：
①st 前提引入 ①置换 ②化简 ②(s→t)∧(t→s)③t→s
④t∧r ⑤t ⑥s ⑦qs ⑧(s→q)∧(q→s)⑨s→q ⑩q q→p p p∧q
前提引入 ④化简 ③⑤假言推理 前提引入 ⑦置换 ⑧化简 ⑥⑨假言推理 前提引入 ⑩⑩
假言推理 合取
（5）证明：
①p→r ②q→s ③p∧q ④p ⑤q ⑥r ⑦s ⑧r∧s
前提引入 前提引入 前提引入 ③化简 ③化简 ①④假言推理 ②⑤假言推理 ⑥⑦合取
（6）证明：
①t ②┐p∨r ③p∧q ④p ⑤r ⑥r∨s
附加前提引入 前提引入 前提引入 ③化简
②④析取三段论 ⑤附加
说明：证明中，附加提前t，前提┐q∨s没用上。这仍是正确的推理。
3．（1）证明：
①s 附加前提引入
②s→p ③p ④p→(q→r)⑤q→r ⑥q ⑦r
前提引入 ①②假言推理 前提引入 ③④假言推理 前提引入 ⑤⑥假言推理
（2）证明：
①p ②p∨q
附加前提引入 ①附加
③(p∨q)→(r∧s)前提引入 ④r∧s ⑤s ⑥s∨t ⑦(s∨t)→u ⑧u
②③假言推理 ④化简 ⑤附加 前提引入 ⑥⑦假言推理
4．（1）证明：
①p ②p→┐q ③┐q ④┐r∨q ⑤┐r ⑥r∧┐s ⑦r ⑧┐r∧r
结论否定引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 ③④析取三段论 前提引入 ⑥化简 ⑤⑦合取
⑧为矛盾式，由归谬法可知，推理正确。
（2）证明：
①┐(r∨s)②p∨q ③p→r ④q→s ⑤r∨s
⑥┐(r∨s)∧(r∨s)
结论否定引入 前提引入 前提引入 前提引入 ②③④构造性二难 ①⑤合取
⑥为矛盾式，所以推理正确。
5．（1）
令p：小王是理科生，q：小王是文科生，r：小王学好数学。
前提：p→r, ┐q→p, ┐r
结论：q 证明：
①p→r ②┐r ③┐p ④┐q→p ⑤q
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式
（2）
令p：明天是晴天，q：明天是雨天，r：我看电影，s：我看书。
前提： p∨q, p→r, r→┐s
结论： s→q
证明：
①s ②r→┐s ③┐r ④p→r ⑤┐p ⑥p∨q ⑦q
附加前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
