屈婉玲版离散数学课后习题答案【4】_离散数学课后习题答案

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屈婉玲版离散数学课后习题答案

第十章部分课后习题参考答案

4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1）整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元

（2）非零整数集合错误！未找到引用源。普通的除法运算。不封闭

（3）全体nn实矩阵集合错误！未找到引用源。（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n错误！未找到引用源。2。

封闭

均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元；

乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；

（4）全体nn实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n错误！未找到引用源。2。不封闭

（5）正实数集合错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。运算，其中错误！未找到引用源。运算定义为：

错误！未找到引用源。

不封闭

因为 1111111R

（6）n错误！未找到引用源。关于普通的加法和乘法运算。封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元； 乘法无单位元（n1），零元是

0；n1单位元是1

（7）A = {a1,a2,,an} 错误！未找到引用源。n错误！未找到引用源。运算定义如下：

错误！未找到引用源。

封闭 不满足交换律，满足结合律，（8）S = 错误！未找到引用源。关于普通的加法和乘法运算。封闭

均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律

（10）S = 错误！未找到引用源。,S关于普通的加法和乘法运算。屈婉玲版离散数学课后习题答案

加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律

5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。

见上题

7． 设 * 为Z错误！未找到引用源。上的二元运算x,yZ，X * Y = min(x，y),即x和y之中较小的数.(1)求4 * 6，7 * 3。

4,(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律

(3)求*运算的单位元，零元及Z中所有可逆元素的逆元。单位元无，零元1, 所有元素无逆元

8．SQQ Q为有理数集，*为S上的二元运算，错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。S有

* =

（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？

不可交换：*= * 可结合：(*)*=*= *(*)=*=(*)*=*(*)不是幂等的

（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。设是单位元，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。S，*= *= 则==，解的=，即为单位。屈婉玲版离散数学课后习题答案

设是零元，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。S，*= *= 则==，无解。即无零元。

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。S，设是它的逆元*= *= == a=1/x,b=-y/x 所以当x0时，x,y11x,yx

10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，错误！未找到引用源。分别有表10.8确定。

(a)

(b)

(c)

(d)

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a)交换律，结合律，幂等律都满足，零元为a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元

a1a,b1b

(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律

a(bb)a(bb)aab,(ab)b(ab)baba

没有单位元, 没有零元

(d)不满足交换律，满足结合律和幂等律

没有单位元, 没有零元

(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。见上

16．设V=〈 N，+，错误！未找到引用源。〉，其中+，错误！未找到引用源。分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？

（1）S1=错误！未找到引用源。是屈婉玲版离散数学课后习题答案

（2）S2=错误！未找到引用源。

不是 加法不封闭（3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭

第十一章部分课后习题参考答案

8.设S={0，1，2，3}，为模4乘法，即

y=(xy)mod 4 “x,y∈S, x问〈S，〉是否构成群？为什么？

y=(xy)mod 4S解：(1)x,y∈S, x,是S上的代数运算。

(2)x,y,z∈S,设xy=4k+r 0(xy)z =((xy)mod 4)

r3

z=rz=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x(yz)=(xyz)mod 4 y)z = x1)=(1

(y

z)，结合律成立。所以，(x(3)x∈S,(x(4)111,31x)=x,，所以1是单位元。

3, 0和2没有逆元

所以，〈S，〉不构成群

9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下： ” x,y∈Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群？为什么？ 解：(1)x,y∈Z, xoy= x+y-2(2)x,y,z∈Z,(xoy)oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。

(3)设e是单位元，x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2(4)x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x1y4xZ,o是Z上的代数运算。

所以〈Z，o〉构成群 屈婉玲版离散数学课后习题答案

11.设1G=00,1100,1100,11001，证明G关于矩阵乘法构成一个群．

解：(1)x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。

(2)矩阵乘法满足结合律(3)设1001是单位元，(4)每个矩阵的逆元都是自己。所以G关于矩阵乘法构成一个群．

14.设G为群，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明：G是交换群。证明:x,y∈G，设x xyaaaklkla,lkkyaaall，则

yxak

所以，G是交换群

17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。证明:设e0

18.设G为群，a,b,c∈G,证明

∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明：先证设(abc设(abc)kG也是幂等元，则e02e0，即e02e0e，由消去律知e0e)ke(bca)ke

e,则(abc)(abc)(abc)(abc)e，a(bc)(abc)(abc)a(bc)aa1即

e

左边同乘a1，右边同乘a得

(bca)(bca)(bca)(bca)(bac)kkka1eae

反过来，设(bac)e,则(abc)e.由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣ 屈婉玲版离散数学课后习题答案

19.证明：偶数阶群G必含2阶元。

证明：设群G不含2阶元，aG，当ae时，a是一阶元，当ae时，a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是k阶的,则a1也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元e,这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元

20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba.证明：先证明G含至少含3阶元。

若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾； 若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元，则a2a,bG,a1e1，a1a，a,b1b,(ab)1ab,所以aba1b(ba)1ba与G为Abel群矛盾；

所以，G含至少含一个3阶元，设为a，则a令ba2a2，且a2aaa2。的证。

21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。（1）全体对称矩阵 是子群（2）全体对角矩阵 是子群

（3）全体行列式大于等于0的矩阵.不是子群（4）全体上（下）三角矩阵。是子群

22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即

N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 证明N（a）构成G的子群。证明：ea=ae,ex,yN(a),N(a),所以xy1则axxa,ayya a(xy)(ax)y(xa)yx(ay)x(ya)(xy)aN(a)

由axxa，得x1axx1x1xax1,x1aeeax，即x1aax1，所以x1N(a)

所以N（a）构成G的子群

31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明12

是G1到G3的同态。屈婉玲版离散数学课后习题答案

证明：有已知1是G1到G2的函数，2是G2到G3的函数，则1·2是G1到G3的函数。

a,bG1,(12)(ab)(2(1(a)))(2(1(b)))2(1(ab))2(1(a)1(b))(12)(a)(12)(b)

所以:1·2是G1到G3的同态。

33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。

证明：设G是循环群,令G=,x,yG,令xxyaaaklkla,yakl,那么

alkaalkyx,G是阿贝尔群

克莱因四元群,G{e,a,b,c}

eabceeabcaaecbbbceaccbae

是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。36.设,是5元置换，且

2121344551，332435415 2(1)计算(2)将,,11,1,1；,,1表示成不交的轮换之积。

(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。解：(1)411253533434251 4112324313142435552 1142531425 312215 41511

(2)(3) 1(1425)(14253)(143)(25)

(14)(12)(15)奇置换，(14)(12)(15)(13)偶置换 (14)(13)(25)奇置换 1