切线不等式的应用_常用切线不等式

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利用不等式“xR,exx1”解决高考压轴题

呼和浩特市第二中学

郎砺志

“xR,exx1”这一结论频繁地出现在与导数相关的各种教辅材料中，可以说学生很熟悉这个不等式的结论和证明过程，但是大多数人可能仅仅把它当成是一道练习题，殊不知，就是这样一个看似不起眼的结论，却撑起了近5年高考理科数学导数试题（压轴题）的半边天，所以本文的主要内容就是：分析近几年高考导数试题，诱发新的解题线索，提供高效而实用的解题方案，最后给出2013年全国理科数学新课标卷第21题的一种新解法。命题1.xR,exx1.可以从两个角度证明这个命题的正确性。角度1.构造函数

证明：设f(x)exx1,xR，则f(x)ex1

令f(x)ex1=0，解得x0，则当x(,0)时，f(x)0，f(x)单调递减； 则当x(0,)时，f(x)0，f(x)单调递增；

于是由单调性可知，f(x)minf(x)极小=f(0)0，即xR,exx1。角度2.数形结合在同一坐标平面内作出两个函数f(x)e,g(x)x1的图象，如下图所示，证完！

由上图可知，这个不等式实际上反映的是曲线f(x)e和其图象上的点(0,1)处的切线图形的高低关系。

xx于是这里得到，定理.xR,exx1，当且仅当x0时取等号。

由上面的定理可以立即得到，推论1.x[0,),e1xx12x 2xx证明：让我们换一套思路证明它，tR,et1，则 xR,edt(1x)dt，00tt根据牛顿-莱布尼茨公式可得e1xx12x，证完！2这里要点明，这个结论实际上在高等数学中是显然的，根据函数的幂级数展开可得，x2x31e1x1xx2,x[0,).。

2!3!2x推论2.xR,lnxx1，当且仅当x1时取等号。

证明：由定理可得，xR,ex1x，两边同时取以e为底的对数得，lnxx1，当且仅当x1时取等号。

推论3.x[1,),lnx11(x).2x证明：t[1,),lntt1，则x[1,),化简可得推论3.接下来就是高考试题的分析。

题1（2010年全国理科数学Ⅱ卷第22题节选）设函数f(x)1e.xx1lntdt(t1)dt，1xx。x1x证明：欲证 当x1时，f(x)，只须证明：

x111ex1，即

x11ex，也即

x1求证：当x1时，f(x)exx1，得证。

题2.(2013年辽宁理科数学卷第21题节选)已知函数f(x)(1x)e2x.求证：当x[0,1]时，f(x)1.1x证明：事实上，等价于证明e2x(x1)2，也即

exx1.题3.(2010年理科数学新课标卷第21题节选)设函数f(x)ex1xax2，当x0时，f(x)0.求实数a的取值范围。解：由推论1可知，a111满足条件，于是当a时均满足条件，事实上，当a时，222故当x(0,ln(2a))时，f(x)ex2a0,f(x)ex12ax,f(x)ex2a，此时函数f(x)单调递减，有f(x)f(0)0,从而函数f(x)单调递减，所以f(x)f(0)0，这和题目条件矛盾，综上，a1。2这里顺便指出，利用这道题的结论可以轻松断定2012年辽宁理科数学高考第12题的A选项是错误的，从而我们也能感受到高考试题的延续性。题4.（2011年湖北省理科数学卷第21题节选）设ak,bk(k1,2,3,,n)均为正数，证明：

若a1b1a2b2anbnb1b2bn, 则a11a22an证明：欲证a11a22anbbbnbbbn1。

bbb1，只须证ln(a11a22ann)ln10，即b1lna1b2lna2bnlnan0 ① 事实上，根据题意即推论2可知，lnakak1,k1,2,3,,n，带到①式左边可得，b1lna1b2lna2bnlnanb1(a11)b2(a21)bn(an1)

=(b1a1b2a2bnan)(b1b2bn)0,证完。

题5.（2010年湖北省理科数学卷21题节选）求证：1111n ln(n1)23n2(n1)证明：由推论3知：x[1,),lnx11(x)； 且 2x11当x1,lnx(x)；

2xk1k11k111,(k1,2,3,n), 有ln()令xkk2kk1111[(1)(1)]2kk1111()2kk1

于是有，ln(k1)lnk111(),k1,2,3,n.2kk1将这n个同向不等式相加并整理即可得：

1证完。111n ln(n1)23n2(n1)下面给出2013年全国新课标卷第21题的一种新解法。题6.已知函数f(x)eln(xm)当m2时，f(x)0.证明：很明显，f(x)eln(x2)，若记g(x)elnx(2)，则只须证明

xxxg(x)exln(x2)0即可，事实上，由推论2，ln(x2)x1知，g(x)ex(x1)，设h(x)ex(x1)，由定理可知h(x)0成立，但上述等号无法同时取得，综上，利用“>”的传递性可得，当m2时，f(x)0.证完！上面的各个例题告诉我们，不等式“xR,ex1”及其推论在高考试卷中的应用是广泛而重要的，能灵活地运用这些结论对快速高效地解决高考导数大题意义深远，另外，通过分析高考试题，我们也可以得到一个结论：看似纷繁芜杂的导数试题中其实蕴含着永恒的规律，遵循本文给出的解题线索，你一定能拥有针对性极强的解题意识，在高考压轴题的海洋中遨游。

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