点列,递归数列和数学归纳法_数学归纳法和递归定义
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点列、递归数列和数学归纳法
【考题回放】
1．已知数列{ an }的前n项和为Sn，且Sn=2(an-1)，则a2等于(A)
A.4 B.2 C.1 D.-2 2．在数列
3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=__2-3___.4．对正整数n，设曲线
在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，n+1中，且，则 35 ．
则数列 的前n项和的公式是
2-2.n+15．已知n次式项式算
.若在一种算法中，计的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P10（x0）的值共需要 65 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，„，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要 2n 次运算.6．已知函数f(x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在两点的直线平行（如图）.处的切线与经过（0，0）和（x,f(x)）求证：当n 时，(Ⅰ)x（Ⅱ）.【解答】(I)证明：因为 所以曲线 即
（II）因为函数 而，当
时单调递增，和
两点的直线斜率是
以
.在处的切线斜率
所以，即 因此
又因为
令 则
因为 所以
因此
【考点透视】
故
本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．
【热点透析】
高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：
（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．
（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．
（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．
【范例讲解】
【范例1】已知数列
．
中，对一切自然数，都有
且求证：(1)
(2)若；
表示数列的前项之和，则． 解析：(1)由已知
又因为，所以
得，, 因此，即．
(2)由结论(1)可知，即，于
是，即
【点睛】从题目的结构可以看出，条件键，必须从中找出
和的关系．
是解决问题的关
．
【文】
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和
记
解析（I）
整理得
（Ⅱ）由
所以
【范例2】设数列
（Ⅰ）求首项的前项的和，与通项；
（Ⅱ）设，证明： 解析(Ⅰ)由
①
得
所以
再由①有
②
将①和②相减得:
整理得: an+2=4(an－1+2n n
n－
1),n=2,3, „, 因而数列{an+2}是首项为a1+2=4,公比为4= 4 , n=1,2,3, „, 因而an=4－2, n=1,2,3, „
n
n
n
n的等比数列，即an+2= 4×4（n－1
Ⅱ)
所以 = =
【点睛】Sn与an始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧．
【文】设数列的等比数列.（１）求数列
（２）试比较的大小，并证明你的结论.的通项公式
（用S1和q表示）；的前n项和为Sn，若
是首项为S1各项均为正数且公比为q
解析（１）∵
当n=1时，a1=S1； 当
．
是各项均为正数的等比数列，∴
．
∴
（２）当n=1时，∴ 当 时，．
∵
①当q=1时，②当 ③当
综上可知：当n=1时，若
【范例3】由坐标原点O向曲线
引切线，切于O以外的若
．当
点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2}），如此进行下去，得到点列{ Pn 求：（Ⅰ）
（Ⅱ）数列
（Ⅲ）当 }.的关系式；的通项公式；
时，的极限位置的坐
解析（Ⅰ）由题得 过点P1（的切线为
过原点
又过点Pn（因为 整理得
过点Pn-1（的（Ⅱ）由（I）得
所以数列{xn-a}是以
公比为的等比数列
（法2）通过计算
再用数学归纳法证明.（Ⅲ）的极限位置为（【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．
【文】数列
（Ⅰ）写出 的前项和为，已知
与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设 解析由
得，求数列的前项和．，即，所以，对成立．
由，„，相加得 当 时，也成立．，又，所以，（Ⅱ）由 而，得．，.【范例4】设点
(，0)，和抛物线
：y＝x＋an x＋bn(n∈N*)，2其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：
x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，„，点0)到
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{
解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0), C1：y=x-7x+b1.设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|=
2在抛物线：y＝x＋an x＋bn上，点
(，的距离是 到 上点的最短距离．
}是等差数列．
令f(x)=(x-1)+(x-7x+b1), 则 由题意得
又P2(x2,0)在C1上, ∴2=x2-7x2+b1
解得x2=3, b1=14.故C1方程为y=x-7x+14.(Ⅱ)设P(x,y)是C1上任意一点,则
|AnP|=
令g(x)=(x-xn)+(x+anx+bn),则 由题意得, 又∵
即(1+2)xn+1-xn+2 an =0,(*)
下面用数学归纳法证明xn=2n-1.① 当n=1时,x1=1,等式成立.② 假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2)xk+1-xk+2ak=0,(*)
k+1
kn+1
n 2
2, 即，即=0，∴(xn+1-xn)+2(2xn+1+an)=0(n≥1),n又ak=-2-4k-,∴.即当n=k+1,时等式成立.由①②知,等式对n∈N成立,∴{xn}是等差数列.【点睛】注意第（1）小题其实是第（2）小题的特例，对于求数列的通项公式，归纳猜想证明是十分常用的手段．
【文】已知数列
（I）证明：数列
（II）求数列
（II）若数列
解析（I）证明：
满足
证明
是等差数列．的通项公式；
是等比数列；
满足
+
是以
（II）解：由（I）得
（III）证明：
为首项，2为公比的等比数列．
①
②
②－①，得 即
④－③，得
自我提升
是等差数列．
即
④
③
1.设数列的前n项和为，令，„，称为数列，„，的“理想数”，已知数列，„„，的“理想数”为2004，那么数列2，的“理想数”为（A）
(A)2002(B)2004(C)2006(D)2008
2.数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n∈N*满足以下运算性质：(1)2*2 = 1，(2)(2n + 2)* 2 = 3(2n * 2)．则2n*2用含n的代数式表示为 3_
n-13.若数列{an}满足
若，则的值为（B）(A)(B)(C)(D)
4.弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛，使剩下的弹子尽可能少，那么剩余的弹子有(B)
（A）0颗（B）4颗（C）5颗（D）11颗
5.一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P（n）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（0）=0，那么下列结论中错误的是（C）
（A）P(3)=3（B）P(5)=1（C）P(101)=21（D）P(103)
6.已知函数f(x)= 2x－x,则使得数列{与q所满足的关系式为.p=-2q
}(n∈N)成等差数列的非零常数p
+7.(理)已知x轴上有一点列：P1(x1,0), P2(x2,0), „,Pn(xn,0),„点Pn+2分有向线段
（1）设an=xn+1－xn，求数列{a n}的通项公式；
（2）设f(λ)= 所成的比为λ，其中n∈N*，λ>0为常数，x1=1, x2=2.x n，当λ变化时，求f(λ)的取值范围.解析（1）由题得
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴
∴当λ>0时
(文)设曲线与一次函数y＝f（x）的图象关于直线 y＝x对称，若f(-1)=0，且点
在曲线上，又a1= a2．
（1）求曲线C所对应的函数解析式；
（2）求数列{a n}d的通项公式．
解析：（1）y＝x-1(2)a n＝（n－1）！
8．（理）过P（1，0）做曲线C：y=x(x(0,+),kN+，k>1)的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，„，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、„、Qn的横坐标为an，求证：
（Ⅰ）数列{an}是等比数列；
k（Ⅱ）；
（Ⅲ）
解：（Ⅰ）
则切线方程为
若切点是，当 时，切线过点P（1，0）即得
当 时，切线过点即得
∴数列（Ⅱ是首项为，公比为的等比数列.„6分）
（Ⅲ）记，则
两式相减
（文）已知曲线C：xy=1，过C上一点线交曲线C于另一点，点列
作一斜率为的直的横坐标构成数列{}，其中 ．
（1）求 与的关系式；（2）求证：{}是一等比数列.解析：（1）过C：
上一点作斜率为的直线交C于另一点，则，于是．
（2）记，则，因为，因此数列{
}是等比数列．
注：以上答案均为参考答案
