“哥德巴赫猜想”讲义(第12讲)_入中论讲义第12讲

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“哥德巴赫猜想”讲义

（第12讲）“哥德巴赫猜想”证明（7）

主讲王若仲

第11讲我们讲解了核心部分的定理1，这一讲我们讲核心部分的定理2。

定理2：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，„，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，„，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}中正整数的总个数相等。其中pi，pj，„，pr，ps为两两互不相同的奇素数，且均小于√2m；mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mjpj为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，„，mrpr为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，msps为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。

证明：对于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}，我们令2m-mipi=hi，因为mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然hi＜pi，则2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，„，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]p1=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），„，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；

我们令2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：（2m-pj）{，（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），„，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，„，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），„，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}={hs，（ps+hs），（2ps+hs），„，[（ms-2）ps+hs]，[（ms-1）ps+hs]}。

因为前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），„，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}对应同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}对应同余方程xj≡hj（modpj）；„；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}对应同余方程xr≡hr（modpr）；

集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}对应同余方程xs≡hs（modps）。

由孙子—高斯定理可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj

（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有无穷多解,且这些解关于模M=pipj„prps同余，又因为偶数2m是同余方程xi≡h（imodpi）的解，偶数2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，„，偶数2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶数2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶数2m也是同余方程组xi≡h（，xj≡h（，„，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一个解。那么同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的解总可以转化为同余方程y≡k（modpipj„prps）的解, k为小于pipj„prps的正整数，且k=2m-pipj„prpsu，pipj„prpsu为小于偶数2m的最大正整数。那么2m-（u-1）pipj„prps=2m-pipj„prpsu+pipj„prps=pipj„prps+k，2m-（u-2）pipj„prps=2m-pipj„prpsu+2pipj„prps=2pipj„prps+k，„，（2m-2pipj„prps）=2m-[u-（u-2）] pipj„prps=（u-2）pipj„prps+2m-pipj„prpsu=（u-2）pipj„prps+k，（2m-pipj„prps）=2m-[u-（u-1）] pipj„prps=（u-1）pipj„prps +2m-pipj„prpsu=（u-1）pipj„prps+k；那么集合{（2m-pipj„prps），（2m-2pipj„prps）,（2m-3pipj„prps），（2m-4pipj„prps），（2m-5pipj„prps），„，（2m-upipj„prps）}={ k，（pipj„prps+k），（2pipj„prps+ k），„，[（u-2）pipj„prps+k]，[（u-1）pipj„prps+k]}。

又从前面可知，偶数2m是同余方程y≡k（modpipj„prps）的一个

解,则偶数2m=upipj„prps+k。所以k对应pipj„prpsu，（pipj„prps+k）对应pipj„prp（，（2pipj„prps+k）对应pipj„prp（，（3pipj„su-1）su-2）prps+k）对应pipj„prps（u-3），„，[（u-1）pipj„prps+k]对应pipj„prps。故集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}中正整数的总个数相等。故定理2成立。

例

5：证明集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整数的总个数与{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整数的总个数相等。

证明：因为集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}={21，42，63，84}。

又因为集合{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}={（100-21），（100-42），（100-63），（100-84）}。所以集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整数的总个数与{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整数的总个数均为4个。（证毕）

参考文献

[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版

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二〇一四年四月十八日