小学数学组合图形题讲义 (7)_小学数学组合图形题

2020-02-28 其他范文下载本文

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小学数学组合图形题讲义(8)

一、知识要点

（一）常用的面积公式及其联系图

（二）几种常见的解题方法

对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。常用的基本方法有：

1.直接求面积：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积。例1：求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。

解答：

通过分析发现它就是一个底是

2、高是4的三角形，其面积直接可求为：×2×4=4（平方厘米）

2.相加、相减求面积：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加或相减求出所求图形的面积。

例2：正方形甲的边长是5厘米，正方形乙的边长是4厘米，阴影部分的面积是多少？

解答：

两个正方形的面积：

=41（平方厘米）

三个空白三角形的面积和：（5+4）×5÷2+4×4÷2+5×（5-4）÷2=33（平方厘米）阴影部分的面积：41-33=8（平方厘米）

3．等量代换求面积：一个图形可以用与它相等的另一个图形替换，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大小；两个图形同时增加或减少相同的面积，它们的差不变。

例3：平行四边形ABCD的边BC长8厘米，直角三角形ECB的直角边EC长为6厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，平行四边形ABCD的面积是多少?

解答：

阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，分别加上梯形FBCG,得出的平行四边形ABCD比三角形EBC的面积大8平方厘米。平行四边形ABCD的面积:8×6÷2+8=32(平方厘米)4.借助辅助线求面积：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法求面积。例4：下图中，CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,CD的长是多少?

解答: 结合已知条件看图，很难有思路，连接DA,就可以发现：三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,分别加上三角形DAE得到的三角形ABD比三角形CDA的面积大2平方厘米。

（4×4÷2-2）×2÷4=3（厘米）

5．用比例知识求面积：利用图形之间的比例关系解题。

例5：一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，图中阴影部分的面积是多少？

解答：

因为阴影部分也是一长方形，所以只要求出它的长、宽是多少就行，为此设它的长、宽分别为a、b，面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d.按公式便有：

a×c＝15，c×d＝18，b×d＝30，因为（a×c）×（b×d）＝15×30，而（a×c）×（b×d）＝（a×b）×（c×d）＝18×（a×b）

所以a×b＝15×30÷18＝25 阴影部分的面积为25公顷。

此题可以直接按比例关系来理解。因为（a×c）:(d×c)=(a×b):(d×b),a:d=15：18=阴影面积：30，求出阴影面积为15×30÷18＝25（公顷）。

6．用“弦图”求面积。三国时期吴国数学家赵爽，在为我国早期数学巨著《周髀算经》作注释时，就利用“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，可使我们得到一些面积问题的解题思路。

例6：从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？解答：

先将题目中的已知条件画成图，我们先看图中下面剩下的那个长方形。

已知它的面积等于5平方米，它的长与宽的差为0.5米，根据“弦图”的启示，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个“弦图”。

上图是一个大正方形，它的边长等于长方形的长与宽之和，中间那个小正方形的边长，等于长方形长与宽之差，即等于0.5米。这样小正方形的面积为：0.5×0.5=0.25（平方米），那么大正方形的面积为：5×4+0.25=20.25（平方米）。

由于 4.5×4.5=20.25，所以大正方形的边长为 4.5米。

这样我们便知道了剩下的长方形长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，使用：

（和+差）÷2=大数，（和-差）÷2=小数这两个公式中的任一个，便能求出长方形的长来，这个长就是锯下的小长方形的长。有了这个小长方形的长，而宽又已知为0.5米，那么用面积公式便能求出它的面积来。

5×4+0.5×0.5=20.25（平方米）

因为 4.5×4.5=20.25，所以大正方形边长为4.5米。

原正方形的边长为：（4.5+0.5）÷2=2.5（米）

锯下一条小长方形的面积为：2.5×0.5=1.25（平方米）。7．布列简易方程求图形的面积。

例7：ABCD是一长方形，BC＝9厘米，CD＝6厘米，且三角形ABE、三角形ADF和四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积是多少？

解答：

从图中可以看出，三角形AEF的面积，等于四等边AECF的面积与三角形ECF面积之差，由于三角形ABE、三角形ADF和四边形AECF的面积彼此相等，而长方形ABCD的面积为6×9＝54（平方厘米），所以四边形AECF的面积为54÷3＝18（平方厘米）。另外只要算出EC、FC的长度，便能求出三角形CEF的面积。

因为三角形ABE、ADF是直角三角形，面积都是18平方厘米。而根据面积公式有

18=×AB×BE,18=×AD×DE,AB＝6厘米，AD＝9厘米，即得两个简易方程：

BE＝6厘米，DF＝4厘米。

EC＝BC－BE＝9－6＝3（厘米）

CF＝CD－DF＝6－4＝2（厘米）

×6×BE=18,×9×DF=18,三角形AEF的面积为：18-×EC×FC =18-×3×2=15(平方厘米)。

8.综合使用多种解题方法求面积。

例8.三角形ABC的面积为5平方厘米，AE=DE,BD=2DC,求阴影部分的面积。

解答：

如下图，连接DF。

因为AE=DE, △AEF的面积=△EDF的面积，△ABE的面积 =△BDE的面积。因为BD=2DC,所以△BDF的面积=△DCF的面积×2，因此△ABF的面积=△BDF的面积=△DCF的面积×2。所以△ABC的面积=△DCF的面积×5，于是△DCF的面积=5÷5=1（平方厘米）。

阴影部分面积等于△BDF的面积=△DCF的面积×2=1×2=2（平方厘米）

二、习题

1.△ABC的面积是48平方厘米。D、E分别是边AB、AC上的中点。△BDE的面积是多少？

解答：

因为AE=EC,△ABE的面积是△ABC面积的一半：48÷2=24（平方厘米）同理，可以求出△BDE的面积：24÷2=12（平方厘米）。

2.正方形ABCD，长BC=8厘米，宽AB=5厘米。ABDE是梯形，△BDE的面积是多少？

解答：

3.BCD的面积等于△ABD的面积，等于△BDE的面积（等底等高）。△BDE的面积8×5÷2=20(平方厘米)。

4.在直角三角形ABC中，D、E分别是AC、AB的中点。如果△AED的面积是30平方厘米，△ABC的面积是多少?

解答：方法1：如下图，△ABD的面积30×2=60(平方厘米)，△ABC的面积60×2=120(平方厘米)

方法2：DE是△ABC的中位线，△ABC的底和高分别是三角形△AED的2倍，△ABC的面积是三角形△AED的面积的2×2=4倍，30×2=120(平方厘米)。

4.在△ABC中，BD=2DC,AE=BE。△ABC的面积是18平方厘米，四边形 AEDC 的面积是多少?

解答：

方法1：如下图，连接AD。

△ABD的面积18×=12（平方厘米）

△BDE的面积12÷2=6（平方厘米）

四边形 AEDC 的面积是18-6=12（平方厘米）

方法2：△BDE的底是△ABC的=，高是△ABC的，面积是△ABC的×=，四边形 AEDC 的面积是△ABC的1-=，为18×=12（平方厘米）

5.AB长８厘米，CD长４厘米，BC长６厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米，ED的长是多少？

解答：

三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米，那么梯形ABCD比三角形EBC大18平方厘米。

梯形ABCD的面积：（4+8）×6÷2=36（平方厘米）三角形EBC的面积：36-18=18（平方厘米）EC的长为：18×2÷6=6（厘米）ED的长为： 6-4=2（厘米）

6.两个同样的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

解答：

OC的长：10-4=6（厘米）

阴影梯形的面积等于梯形OEFC的面积：（6+10）×2÷2=16（平方厘米）

7.如图a，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。

解答：

由已知条件无法直接求出三角形DEF的面积。应找到与三角形ABC面积之间的关系。根据BD=AB，CE=2BC，AF=3AC发现，可以分别以BD、CE、AF为底，与三角形ABC作等高三角形。通过观察容易想到连结CD、AE，如图b，这样可以通过各个三角形与小三角形ABC面积之间的关系，求得大三角形DEF的面积。

因为三角形ABC与BDC共顶点C，且AB=BD，所以三角形BDC面积=三角形ABC面积=1

因为三角形ABC与ACE共顶点A，且CE=2BC，所以三角形ACE面积=2×三角形ABC面积=2×1=2

因为三角形ACE与AEF共顶点E，且AF=3AC，所以三角形AEF面积=3×三角形ACE面积=3×2=6

因为三角形ADC与AFD共顶点D，且AF=3AC，所以三角形AFD面积=3×三角形ADC面积=3×（1+1）=6

因为三角形BDC与CDE共顶点D，且CE=2BC，所以三角形CDE面积=2×三角形BDC面积=2×1=2

因此，三角形DEF面积=1+2+2+6+6+1=18。

8.平行四边形的面积是48平方厘米，E、F分别是BC、CD的中点，求阴影部分面积。

解答：如下图，=48÷2÷2=12(平方厘米)=48÷2÷2=12（平方厘米）

=48÷2÷2÷2=6(平方厘米)=48-（+ +）=18（平方厘米）

9.正方形ABCD边长4厘米，E、F分别是BC、AD的中点，P是中方形任意一点，求阴影部分的面积。

解答：如下图，△APF面积×4=矩形MNDA面积，△PEC面积×4=矩形MBCN面积，（△APE面积+△PEC面积）×4=正方形ABCD面积=16（平方厘米）

阴影面积=16÷4=4（平方厘米）

10.三角形ABC和平行四边形BCDF的面积相等，F、E分别是AB、AC上的中点，三角形ABC的高为6厘米，是平行四边形高的2倍。三角形CDE面积是30平方厘米，求三角形ABC的面积。

解答：

很容易看出，此题体重复性给出已知条件，只要选择了突破口，很容易解答。方法1：

如下图，连接FC。

三角形ABC和平行四边形BCDF的面积相等，减去相同的梯形BCEF后，得到三角形AFE面积与三角形CDE面积相等，同为30平方厘米。连接FC, △ACF的面积=2×30=60（平方厘米）△ABC的面积=2×60=120（平方厘米）。方法2 ：

三角形ABC和平行四边形BCDF的面积相等，减去相同的梯形BCEF后，得到三角形AFE面积与三角形CDE面积相等，同为30平方厘米。因为FE为三角形ABC的中位线，三角形ABC的面积是三角形AFE面积的2×2=4倍，为30×4=120（平方厘米）。11.图中正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG=5厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？

解答：

因为长方形面积=长×宽，现在已知长方形DEFG的长，要求宽，所以先求长方形DEFG的面积。而正方形ABCD面积已知，能找出正方形ABCD面积与长方形EFGD面积之间的关系即可.观察两个图形的重叠部分发现，如果连结AG，如图，那么在正方形ABCD中，三角形AGD的底和高分别为正方形边长AD和CD，所以它的面积是正方形ABCD面积的一半。同样在长方形EFGD中，三角形AGD的底为长方形的长DG，高为长方形的宽DE，所以它的面积也是长方形DEFG面积的一半。这样就找到了长方形DEFG与正方形ABCD面积之间的关系。

因为三角形AGD的面积是正方形ABCD面积的一半，也是长方形DEFG面积的一半。所以，长方形DEFG面积=正方形ABCD面积=4×4=16（平方厘米）长方形DEFG的宽 DE=16÷5=3.2（厘米）。

12.四边形ABCD被AC和DB分成甲乙丙丁4个三角形，已知BE=80厘米，CE=60厘米，DE=40厘米,AE=30厘米。问：丙丁两个三角形面积之和是甲乙两个三角形面积之和的多少倍？

解答：以甲、丁为例，两个三角形共有一个顶点，底边在一条直线上，高相等，底边比就是它们的面积比。这是此题的解题知识基础。

甲：丁=80：40=2：1

乙：丁=60：30=2：1

甲+乙=丁×4，丙：甲=60：30=2：1，丙=甲×2=丁×4，因此（丙+丁）：（甲+乙）=5丁：4丁=5：4

丙丁两个三角形面积之和是甲乙两个三角形面积之和的倍。

13.已知△ABC是直角三角形，三条边边长分别是6分米、8分米、10分米。AD=3ED。阴影部分的面积是多少？

解答：方法1：

直角三角形中，斜边最长，因此两条直角边的长度分别为6分米、8分米。△BDE的面积×3=△ABD的面积, △DCE的面积×3=△ADC的面积。

所以（△BDE的面积+△DCE的面积）×3=△ABD的面积+△ADC的面积=△ABC的面积=6×8÷2=24(平方分米)△BCE的面积=△BDE的面积+△DCE的面积=24÷3=8（平方分米）阴影部分的面积等于24-8=16（平方分米）。方法2： AD=3ED，△BCE的面积是与△ABC的面积的，阴影部分的面积是△ABC的面积的1-=，为8×6÷2×=16（平方分米）。

14.正方形ABCD的边长是4厘米，DE长5厘米，CE长3厘米。求AF的长度。

解答：

如图，连结AE。

DE×AF÷2=△AED面积=AD×AB÷2=4×4÷2=8(平方厘米)AF =8×2÷5=3.2(厘米)。

15.长方形ABCD内有一点P，连结P与各点所得的△ABP、△BCP、△CDP的面积分别是24平方厘米、20平方厘米、48平方厘米。求△DAP的面积。

解答：

三角形ABP与三角形CDP的面积和是长方形ABCD的一半；三角形BCP与三角形DAP的面积和是长方形ABCD的一半。

△DAP的面积=△ABP+△CDP-△BCP=24+48-20=52(平方厘米)16.大正方形和小正方形拼成的图形如下图。小正方形的边长是4厘米，阴影部分的面积是28平方厘米。空白部分的面积是多少？

解答：

BC=（28-4×4）×2÷4=6（厘米）

空白部分的面积：（2+6）×6÷2=24（平方厘米）

17.大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是3厘米，阴影部分的面积是多少？

解答：方法1：

用大正方形面积加上小正方形的面积，再减去两个三角形的面积。+-［5×5÷2+（5+3）×3÷2］＝9.5（平方厘米）

方法2：如图，连接BP。

用三角形BFP的面积加上三角形BPD的面积。（5-3）×5÷2+3×3÷2=9.5(平方厘米)18.大正方形的边长是小正方形边长的2倍，空白部分的面积等于9平方厘米，阴影部分的面积是多少？

解答：方法1：

右下角阴影三角形的面积是空白三角形面积的2倍，是18平方厘米，大正方形的面积：9×2×2=36（平方厘米）小正方形的面积：36÷4=9（平方厘米）阴影部分的面积：（9+36）-9=36（平方厘米）方法2：

设小正方形面积为a，空白三角形的面积=9=a×2=

=小正方形面积。

大正方形面积=9×4=36（平方厘米）

阴影部分的面积：（9+36）-9=36（平方厘米）

19.大正方形的边长是4厘米，小正方形的边长是3厘米，阴影部分的面积是多少？

解答：

把图形补成一个矩形，如下图。

阴影部分的面积等于矩形的面积减去三个空白部分的面积。7×4-[÷2+÷2+7×(4-3)÷2]=12（平方厘米）

20.大正方形的周长是24厘米，阴影部分的面积是9厘米，空白部分的面积是多少？

解答：

大正方形的边长：24÷4=6（厘米）小正方形的边长：9×2÷6=3（厘米）空白部分的面积：+

-9+36（平方厘米）

21.长方形ABCD，AB=10厘米，BC=12厘米，CE=8厘米，阴影部分的面积是36平方厘米，三角形CEF的面积是多少？

解答：

DF=36×2÷12=6（厘米）FC=10-6=4(厘米)三角形CEF的面积：8×4÷2=16（平方厘米）22.正方形ABCD,三角形DEF的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米。CD长6厘米，DE的长是多少？

解答：

正方形ABCD的面积：6×6=36（平方厘米）三角形BCE的面积：36+6=42（平方厘米）DE=42×2÷6-6=8（厘米）

23.直角梯形ABCD,AB=10（厘米），AD=6（厘米），阴影部分的面积是6平方厘米。梯形ABCD的面积是多少？

解答：

三角形ABF的面积：10×6÷2-6=24(平方厘米)BF=24×2÷10=4.8(厘米)CE=6×2÷4.8=2.5（厘米）

梯形的面积：[10+(10+2.5)]×6÷2=67.5(平方厘米)24.直角梯形ABCD，AB=4厘米，AD=5厘米，DE=3厘米，三角形OBC的面积是多少？

解答：

三角形ADC与三角形BDC等底等高，面积相等，减去共有的三角形ODC的面积后余下的三角形OAD与三角形OBC面积相等。三角形OBC的面积：5×3÷2=7.5（平方厘米）

25.ABCD是等腰梯形，AD=24厘米，BC=36厘米，AE=20厘米，三角形CDE的面积是多少？

解答：

EC=BC-BE=36-(36-24)÷2=30(厘米)三角形CDE的面积：30×20÷2=300（平方厘米）

26.梯形ABCD的面积是45平方米，BC=10米，梯形的高是6米，三角形AOD的面积是5平方米，阴影部分的面积是多少？

解答：

AD+BC=45×2÷6=15（米）AD=15-BC=15-10=5（米）

三角形AOD的边AD上的高：5×2÷5=2（米）阴影部分的面积：10×（6-2）÷2=20（平方米）

27.直角梯形ABCD的面积是42平方厘米，三角形ACD的面积是多少？

解答：

BC=42×2÷（4+10）=6（厘米）

三角形ACD的面积：4×6÷2=12（平方厘米）

28.平行四边形ABCD中，BC=8厘米，DE=6厘米，梯形ABCE的面积比三角形CDE的面积大10平方厘米。平行四边形ABCD的面积是多少？

解答：

过E作EF平行AB，交BC于点F。

BF=8-6=2（厘米）

平行四边形ABFE的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD与平行四边形ABFE的高相等，底是它的倍, 平行四边形ABCD的面积是10×4=40（平方厘米）。

=4倍,面积也是他的429.梯形ABCD中，三角形AOD的面积是4平方厘米，三角形COD的面积是7平方厘米，梯形ABCD的面积是多少？

解答：

三角形AOD的面积:三角形COD的面积=三角形COD的面积:三角形BCO的面积=4:7。梯形ABCD的面积是4+7+7+7÷4×7=30.25（平方厘米）。

30.ABCD是一个等腰梯形，AD=4分米，BC=10分米，高AE=5分米，阴影部分的面积是多少？

解答：

梯形ABCD的面积：（4+10）×5÷2=35（平方分米）BE=（10-4）÷2=3（分米）

三角形BED的面积：3×5÷2=7.5(分米)阴影部分的面积：35-7.5=27.5（平方分米）

31.ABCD是直角梯形，AB与EC平行，AD=10厘米，BC=6厘米，三角形ABD的面积比三角形CDE的面积大12平方厘米，三角形CDE的面积是多少？

解答：

ED=AD-AE=AD-BC=10-6=4(厘米)因为三角形ABD的面积比三角形CDE的面积大12平方厘米,所以四边形ABCE的面积比三角形BCD的面积大12平方厘米, 三角形BCD的面积就是12平方厘米。CD=12×2÷(10-4)=4(厘米)三角形CDE的面积：4×4÷2=8（平方厘米）。

32.在平行四边形 ABCD中，OB=OE×3，三角形AOB的面积为30平方厘米, 平行四边形ABCD的面积是多少？

解答：方法１：如图，连接EC。

三角形CEO的面积等于三角形AOB的面积等于30平方厘米，三角形BCO的面积：30×3=90（平方厘米）三角形BCE的面积：90+30=120（平方厘米）平行四边形ABCD的面积=120×2=240（平方厘米）方法２：

三角形AOE的面积:三角形AOB的面积=三角形AOB的面积: 三角形OBC的面积=1:3 三角形AOB的面积等于30平方厘米，三角形ABC的面积是30×4＝120（平方厘米）四边形ABCD的面积＝三角形ABC的面积×２＝120×2=240（平方厘米）。33.阴影部分的面积是54平方厘米，三角形ABC的面积是平行四边形CDEF面积的3倍，三角形ABC的面积是多少？

解答：

四边形CDEF的面积：54×2=108（平方厘米）三角形ABC的面积：108×3=324（平方厘米）

34.长方形ABCD中，长是10厘米，宽是8厘米，三角形ADF的面积比三角形BEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少？

解答：

三角形ADF的面积比三角形BEF的面积大20平方厘米，三角形ABD的面积比三角形BDE的面积大20平方厘米，三角形BDE的面积：10×8÷2-20=20（平方厘米）

35.已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍。求阴影部分的面积。

解答: 三角形AED的面积是平行四边形DEFC的面积的，平行四边形DEFC的面积是三角形阿ABC面积的。

阴影部分的面积：56××=14（平方厘米）

36.四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积。

解答: 通常求三角形的面积，都是先求它的底和高。题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求。

直接找三角形HDC与三角形AFH的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD和四边形DEFG是正方形”这一条件。我们不妨将它们都补上梯形DEFH这一块。寻找新得到大三角形CEF和大直角梯形DEFA之间的关系。

设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b, 大三角形CEF和大直角梯形DEFA 的面积均为(a+b)×a×，它们的面积是相等的。从而得到三角形CDH与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米。37.两个等腰直角三角形ABC和DBF的直角边的长分别是8厘米和6厘米，DE与AB垂直，阴影部分的面积是多少？

解答：

CE=FE-FC=6-（8-6）=4(厘米)GC=CE=4(厘米)阴影部分的面积：（4+6）×2÷2=10（平方厘米）

38.等腰梯形ABCD, BD垂直于AC,AD=6厘米，BC=8厘米，阴影部分的面积是多少？

解答：

如图，过O点作梯形的高EF。

OE=BC=4（厘米）OF=AD=3（厘米）

阴影部分面积：

×BC×OE+×AD×OF=×8×4+×6×3=25(平方厘米)39.一个梯形的下底是上底的1.6倍，如果把上底延长9厘米，就成为平行四边形，且面积增加18平方厘米，原梯形的面积是多少？解答：

梯形的上底：9÷（1.6-1）=15（厘米）下底：15×1.6=24（厘米）梯形的高：18×2÷9=4（厘米）

原梯形的面积：（15+24）×4÷2=78（平方厘米）

40.一个梯形的上底是下底的1.2倍，如果上底减少3分米，就成了平行四边形，且面积减少6平方分米，原梯形的面积是多少？解答：

梯形的下底：3÷（1.2-1）=15（分米）梯形的上底：15×1.2=18（分米）梯形的高：6×2÷3=4（分米）

梯形的面积：（18+15）×4÷2=66（平方分米）

41．一个梯形，如果上底增加3厘米，下底和高不变，就成了一个平行四边形；如果上底减少4厘米，就成了一个三角形，并且面积减少12平方厘米。原梯形的面积是多少？解答：

梯形的上底是4厘米，下底是4+3=7（厘米）梯形的高：12×2÷4=6（厘米）

梯形的面积：（4+7）×6÷2=33（平方厘米）42.三角形ABC的面积为10，梯形BCDE的面积为30，并且BC=2DE，三角形ADE的面积是多少？

解答：

设三角形ABC的边BC上的高为,梯形BCDE的高为，DE=a, ×2a×=10,a×=10；

×(a+2a)×=30,a ×=20。

a×(+)=30,三角形ADE的面积是: ×a×(+)=15 43.在直角梯形ABCD中，AD=25厘米，AB=18厘米，BC=30厘米，DF垂直于BC且交BC于E,三角形CDE的面积是多少？

解答：

三角形CEF和三角形CAB是相似三角形，CF:CB=EF:AB，(30-25):30=EF:18 EF=3，DE=18-3=15 三角形CDE的面积：×DE×CF=×15×5=37.5(平方厘米)44.正方形ABCD的边长为4厘米，EF平行于AB,三角形EHC的面积是6平方厘米，GF的长是多少？

解答：

三角形EHC的面积：6=EG×4=2EG，EG=3(厘米)GF=EF-EG=4-3=1(厘米)

EG×BF+EG×FC=EG×(BF + FC)= EG×BC=45.四边形ABCD中，M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA的中点，若四个小三角形AHQ，BEM，CFN，DGP的面积和为5平方米，阴影面积是多少？

解答：

连接AC, 因为M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA的中点，三角形ADP与ACP相等，三角形BCM与ACM相等，四边形APCM的面积等于四边形ABCD的一半。同理，四边形BNDQ的面积是四边形ABCD的一半。

四边形APCM的面积加上四边形BNDQ的面积等于四边形ABCD的面积。四边形EFGH的面积等于四个小三角形的面积和。四边形EFGH的面积是5平方米。

46.一个腰长是20厘米的等腰三角形ABC的面积是140平方厘米，在底边BC上任意取一点D,作DM垂直于AB，DN垂直于AC,DM与DN的长度和是多少？

解答：

如图，连接AD。

三角形ABD的面积加上三角形ACD的面积等于三角形ABC的面积，所以

×AB×DM+×AC×DN=140

10×(DM+DN)=140,DM+DN=14(厘米)47.直角三角形ABC的三边长分别是AB=1.8,BC=2.4,CA=3。ED垂直于AC于D,且ED=1,正方形BFEG的边长是多少？

解答：

如图，连接AE,BE,CE。

S△ABC= S△ABE +S△BCE+S△CAE=×1.8×2.4=2.16

×AB×EF+×BC×EG+×AC×DE=0.9×EF+1.2×EG+1.5=2.1×边长+1.5=2.16 边长=

48．四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，且AF＝CE，BG＝DE，当四边形ABCD的面积为25平方厘米时，三角形EFG的面积是多少？

解答: 从图中可以看出：三角形EFG的面积等于四边形ABGF的面积与三角形ABE面积之和。只要找到四边形ABGF与三角形AED、CDE、BCE面积之间的关系，问题可望解决。为此可添辅助线AG与CG，如图。

因为AF＝CE，且三角形AFG中AF边上的高与三角形CEG中CE边上的高相等，所以三角形AFG与三角形CEG的面积相等。又因为BG＝DE，且三角形ABG与三角ADE的高，三角形BCG与三角形CDE的高分别相等。所以三角形ABG与三角形ADE的面积，三角形BCG与三角形CDE的面积也分别相等。

四边形ABGF的面积等于三角形AGF的面积加三角形ABG的面积，等于三角形CEG的面积加三角形ADE的面积，等于三角形BCE的面积加三角形CDE的面积加三角形ADE的面积。

这样一来三角形EFG的面积与四边形ABCD的面积相同，所以三角形EFG的面积为25平方厘米。

49.两个边长均为2厘米的正方形，其中一个正方形的某一个顶点，正好在另一个正方形的中心位置上。且图中两个阴影三角形面积相等。问这两个正方形不重合部分的面积和是多少？

解答: 从图中可以看出，两个正方形的重叠部分是一个四边形，其面积不容易直接求出。但条件告诉我们，图中两个阴影三角形的面积相等，而这两个三角形各有一条边是正方形对角线长度的一半，还有两组角彼此相等，通过叠合演示可以判定这两个三角形是全等三角形，这一来可将两个正方形重叠的那个阴影三角形“割”下来，“补”到另一个阴影三角形所在位置上去。这样一来，重叠部分四边形的面积与一个三角形的面积相等。而这个三角形的面积正好是正方形面积的四分之一。

因为正方形边长为2厘米，所以正方形面积为4平方厘米。重叠部分的面积为：4×=1（平方厘米）

两个正方形不重叠部分的面积和为： 4×2－1×2＝6（平方厘米）。50.直线CF与平行四边形ABCD的AB边相交于E点，如果三角形BEF的面积为6平方厘米，求三角形ADE的面积是多少？

解答: 如图，连AC。

因为AB平行CD，AE是三角形ADE、ACE的公共底边，所以三角形ADE与三角形ACE的面积相等。

又因为BC平行于AF，AF是三角形AFC与三角形ABF的公共底边，所以三角形ACF与三角形ABF的面积相等。

三角形ACF的面积＝三角形ACE的面积＋三角形AEF的面积，三角形ABF的面积＝三角形BEF的面积＋三角形AEF的面积。

从上面这两个等式可以得到：三角形ACE的面积＝三角形BEF的面积、而三角形BEF的面积为6平方厘米，所以三角形ACE的面积也为6平方厘米，再根据三角形ADE与三角形ACE面积相等这一结论，最后可知三角形ADE的面积为6平方厘米。

51.三角形ABC中，AE =AC,CD=的面积比是多少?

BC,BF=AB。那么三角形DEF的面积与三角形ABC

解答: 三角形FBD的面积是三角形ABC的(1-)×=;三角形EDC的面积是三角形ABC的×(1-)=;三角形AFE的面积是三角形ABC的×(1-)=;三角形DEF的面积与三角形ABC的面积比是1---=

52.有一大一小的两个正方形（见图a），对应边之间的距离都是1厘米，如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？

解答：

要想求出图a中大正方形的面积，只要先求出大正方形或小正方形的边长就行。下面设法来求这两个量中的某个量。

方法1：添辅助线将图a变成图b，就成了一个“弦图”。

图b中小正方形外围的四个长方形的形状和面积都一样，这样其中一个的面积为12÷4=3平方厘米，又因为这个长方形的宽为1厘米，所以长方形的长为3÷1=3厘米，大正方形的边长为4厘米，这一来面积就可求出了。

12÷4=3（平方厘米）（一个长方形面积）

3÷1=3（厘米）（长方形的长）

3+1=4（厘米）（大正方形的边长）

4×4=16（平方厘米）（大正方形的面积）方法2：添辅助线，将图a变成图c。

先求图中长方形A的面积，因为大正方形四角都是边长为1厘米的正方形，而剩下的四个长方形形状和面积都一样，所以A的面积为：（12-1×4）÷4=2（平方厘米）

又因为长方形A的宽为1厘米，所以它的长为：2÷1=2（厘米）

大正方形的面积为：12+2×2=16（平方厘米）方法3：添辅助线，将图a变为图d。

图d中4个梯形的形状和面积都一样，所以每个梯形的面积为12÷4=3（平方厘米）。梯形面积等于上、下底之和乘以高再除以2，每个梯形上、下底（即大、小正方形的两个边长）之和为6，而大小正方形边长之差为2厘米，所以大正方形的边长为4厘米，这一来大正方形面积为4×4=16（平方厘米）。方法4：移动小正方形后，再添辅助线，将图a变为图e。

因图e中两个梯形的面积与形状都一样，所以一个梯形的面积为12÷2=6（平方厘米）。和解法3类似，可求出梯形上、下底之和与差分别为6厘米和2厘米。故梯形的上底（即大正方形的边长）为4厘米，大正方形的面积为4×4=16（平方厘米）。53.用同样大小的22个小纸片摆成图所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积和.解答：

图猛一看似乎无从下手，但只要你仔细观察，马上就会发现，该图中间三个图形的形状一样，都是 “弦图”。我们知道，“弦图”的特点是，小长方形的长与宽的和，恰好是大正方形的边长，而长方形的长与宽之差，恰好是小正方形的边长。现在要求图中阴影部分的面积和，由于每个小阴影部分都是一个小正方形，所以只要求出它的边长就行了，而小正方形边长等于长方形长与宽之差，由于长方形的长是18厘米，因此只要求出它的宽，问题便解决了。

为求出长方形的宽，我们再来观察图。从图的第一排和第二排可以看出，小纸片的五个长等于它的三个长加它的三个宽，也就是它的两个长等于它的三个宽。由于两个长等于18×2=36厘米，所以每个宽为36÷3=12厘米，这样问题就好解决了。一个阴影部分小正方形的边长等于长方形长与宽的差，即小正方形的边长为18-12=6（厘米）。

因此一个阴影小正方形的面积为6×6=36（平方厘米），3个阴影部分面积和为：36×3=108（平方厘米）。

54.如图，△ABC的面积为1平方厘米，DC=2BD，AE=3ED，求△ACE的面积。

解答：

△ABD和△ADC是共高三角形，根据“等高的两个三角形面积之比为底之比”，三角形ABC的面积×=三角形ADC的面积

三角形ADC的面积×=三角形ACE的面积三角形ACE的面积是1××=。

55.如图，求阴影部分的面积。

解答：

由AECG知AECG为平行四边形，又

绕正方形中心旋转90°可得四边形BFDH，所以，两个四边形AECG，BFDH全等，又有MNPQ为正方形。

于是: =-2·S△FCD=-2·=10 又 =DF·MN=10

所以MN=

=+=+=34 所以==×==