线性代数综合练习题及答案7_线性代数练习题及答案

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线性代数综合练习题

（七）一、选择题

1.设A、B为n阶矩阵，则下面必成立的是（）。

（A）ABAB

（B）(AB)1A1B（C）ABBA

（D）ABBA 2.设A为n阶矩阵，且A0，则(EA)1（）。

（A）EA

（B）EAA2Ak1

（C）EAAA2k1k

（D）EA

3.设向量组1,2,,m的秩为3，则（）。

（A）任意三个向量线性无关

（B）1,2,,m中无零向量

（C）任意四个向量线性相关

（D）任意两个向量线性无关 4.线性方程组Amnxn1bm1，(b0)有解的充要条件是（）。

（A）R(A)R(A|b)

（B）R(A)m

（C）R(A)n

（D）R(A)R(A|b)

5.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是（）。

（A）A的n个特征值互不相同

（B）A可逆

（C）A无零特征值

（D）A有n个线性无关的特征向量

二、填空题

1.各列元素之和为0的n阶行列式的值等于。

2.设三阶矩阵A412321，则A

。3.设矩阵A111，B2，则AB，BA，33。(BA)

（k为正整数）k14.设R(A34)2，P0012012，则R(PA)

。35.设向量组1,2,3线性无关，则向量组112，223，331线性。

6.设三阶可逆矩阵A的特征值分别为2、3、5，则A，A的伴随矩阵A的特征值为。

7.设实二次型f(x1,x2,x3)x12x2kx32x1x22x1x32x2x3为正定二次型，则参数k的取值范围是。

三、计算题

01.设1010000X110000102110387954，求矩阵X。62222.当取何值时，线性方程组

x1x2x31x1x2x3 xxx2123有（1）惟一解；（2）无解；（3）无穷多解，并求通解。

11012121363.设四维向量组1，，24351124，求001115该向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。

4.求一个正交变换XPY，将实二次型

f(x1,x2,x3)2x1x2x34x2x3

222化为标准形，并判断该二次型是否正定。

四、证明题

21.设A为n阶矩阵，如果AE，则R(AE)R(AE)n。

2.设n阶矩阵A0，A0（k为正整数），则A不能与对角矩阵相似。

k线性代数综合练习题

（七）参考答案

一、选择题

1.D

2.B

3.C

4.A

5.D

二、填空题

01.0

2.01201300

3.3, 01412312132k12, 33113123121322 31134.2

5.无关

6.30，15，10，6

7.k1

三、计算题

01.解：X100101231001004560011213879879514060514060001001010

102011301

078.92.解：线性方程组的系数行列式

A11111(2)(1)，21（1）当A0，即2且1时，方程组有惟一解；

（2）当2时，R(A)2R(Ab)3，方程组无解；

（3）当1时，1b)111111111r1110010010010 0A(A因为R(A)R(A)13，所以方程组有无穷多解，且通解为

111xk11k200，k1,k2为任意实数.0103.解：A(1,2,3,4,5)110012110111132126r45100001001100001012，30所以

R(1,2,3,4,5)3，1,2,4为向量组1,2,3,4,5的一个极大线性无关组，且

312，51223

424.解：二次型的矩阵

A00A的特征多项式

01202，12AE00012021(1)(2)(3)，所以A的特征值为11，22，33.0011对应的线性无关的特征向量为11，单位化得p112112110，单位化得p20； 00； 22对应的线性无关的特征向量为20033对应的线性无关的特征向量为31，单位化得p312.112x1所求正交变换为

x2x301212210020y11y2，21y322二次型的标准形为

fy12y23y3，因为110，所以该二次型不是正定二次型.四、证明题

1.证：由A2E，得(AE)(AE)0，则

R(AE)R(AE)n；

又

R(AE)R(AE)R(AE)R(EA)R(2E)n，所以

R(AE)R(AE)n.2.证：反证法，假设A与对角矩阵相似，则存在可你矩阵P，使得

P1APdiag(1,2,,n)，1(1,2,,n)P则

APdiagkkkk，1(1,2,,n)P从而

APdiag0，所以 10，20，…，n0，因而 A0，这与A0矛盾，故A不能与对角矩阵相似.