“哥德巴赫猜想”讲义(第13讲)_政治第13讲讲义

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“哥德巴赫猜想”讲义

（第13讲）“哥德巴赫猜想”证明（8）

主讲王若仲

第12讲我们讲解了核心部分的定理2，这一讲我们讲核心部分的定理3。

定理3：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，„，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，„，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt；那么集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，„，mtpt}中正整数的总个数与集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}∩„∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}中正整数的总个数相等。其中m1p1为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，m2p2为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，m3p3为对应的集合情形下不大于偶数

2m的最大正整数，„，mtpt为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。

证明：对于集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}，我们令2m-mr+1pr+1=hr+1，因为mr+1pr+1为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然hr+1＜pr+1，则2m-（mr+1-1）pr+1=2m-mr+1pr+1+pr+1=pr+1+hr+1，2m-（mr+1-2）pr+1=2m-m r+1p

r+1

+2pr+1=2pr+1+hr+1，„，（2m-2pr+1）= 2m-[m r+1-（m r+1-2）]pr+1=（mr+1-2）

pr+1+2m-m r+1pr+1=（m r+1-2）pr+1+hr+1，（2m-pr+1）=2m-[mr+1-（mr+1-1）]pr+1 =（mr+1-1）pr+1+2m-mr+1pr+1 =（mr+1-1）pr+1+hr+1；那么集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}={（pr+1-kr+1），（2pr+1-kr+1），（3pr+1-kr+1），„，[（mr+1-1）pr+1-kr+1]，（mr+1pr+1-kr+1）}={ hr+1，（pr+1+hr+1），（2pr+1+hr+1），„，[（mr+1-2）pr+1+hr+1]，[（mr+1-1）pr+1+hr+1]}；我们令2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；„；2m-mtpt=ht；同理可得：集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}={ hr+2，（pr+2+hr+2），（2pr+2+hr+2），„，[（mr+2-2）pr+2+hr+2]，[（mr+2-1）pr+2+hr+2]}；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}={ hr+3，（pr+3+hr+3），（2pr+3+hr+3），„，[（mr+3-2）pr+3+hr+3]，[（mr+3-1）pr+3+hr+3]}；„；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}={ ht，（pt+ht），（2pt+ht），„，[（mt-2）pt+ht]，[（mt-1）pt+ht]}。

因为前面令2m-mr+1pr+1=hr+1，2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；„；

2m-mtpt=ht。那么有2m≡hr+1（modpr+1），2m≡hr+2（modpr+2），2m≡hr+3（modpr+3），„，2m≡ht（modpt）；所以集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}对应同余方程xr+1≡hr+1（modpr+1）；集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}对应同余方程xr+2≡hr+2（modpr+2）；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}对应同余方程xr+3≡hr+3（modpr+3）；„；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}对应同余方程xt≡ht（modpt）。

由孙子—高斯定理可知，同余方程组x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）有无穷多解,且这些解关于模M=pr+1pr+2p r+3„pt同余，因为（p1p2p3„pr，pr+1pr+2p r+3„pt）=1，由同余性质定理1可知，同余方程组x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的任一解与p1p2p3„pr的乘积关于模M´=p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt同余，又因为偶数2m是同余方程x≡hr+1（modpr+1）的解，偶数2m也是同余方程x≡h r+2（modp r+2）的解，偶数2m也是同余方程x≡h r+3（modp r+3）的解，„，偶数2m也是同余方程x≡ht（modpt）的解；那么偶数2m也是同余方程组x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的一个解；在偶数2m范围内，同余方程组x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的所有解对应集合{ h´，（pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（2pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（3pr+1pr+2p

r+3

„pt+h´），„，[（v-2）pr+1pr+2p r+3„pt，+h´]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3„

pt+h´]}，其中vpr+1pr+2p r+3„pt为不大于偶数2m的最大正整数。显然

集合{ h´，（pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（2pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（3pr+1pr+2p r+3„pt+h´），„，[（v-2）pr+1pr+2p r+3„pt，+h´]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3„pt+h´]} 对应同余方程w≡h´（modpr+1pr+2p r+3„pt）。

我们设集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}∩„∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}中的任一奇数均对应同余方程y≡e（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt）的一个解，对于同余方程y≡e（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt），e为小于p1p2p3„pt的正整数，因为同余方程组x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的任一解与p1p2p3„pr的乘积关于模M´=p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt同余，由同余性质定理1可知，e=p1p2p3„prh´，根据前面得到的同余方程w≡h´（modpr+1pr+2p r+3„pt），我们再设同余方程z≡h´（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt），那么在偶数2m范围内，同余方程z≡h´（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt）的所有解对应的集合为{ h´，（p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´），（2p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´），（3p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´），„，[（u-2）p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´]，[（u-1）p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+h´]}，其中up1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt为不大于偶数2m的最大正整数；显然p1p2p3„prh´＜p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt，而

e=p1p2p3„prh´，所以在偶数2m范围内，同余方程y≡e（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt）的所有解对应的集合为{ e，（p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e），（2p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e），（3p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+ e），„，[（u-2）p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e]，[（u-1）p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+e]}，显然（u-1）p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+p1p2p3„prh´＜2m。所以e对应p1p2p3„ptu，（p1p2p3„pt+e）对应p1p2p3„p（，（2p1p2p3„pt+e）tu-1）对应p1p2p3„p（，（3p1p2p3„pt+e）对应p1p2p3„p（，„，[（u-1）tu-2）tu-3）p1p2p3„pt+e]对应p1p2p3„pt。故集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，„，mtpt}中正整数的总个数与集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}∩„∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}中正整数的总个数相等。故定理3成立。

参考文献

[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版

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二〇一四年四月十九日