级线性代数试题和答案 A卷_线性代数试卷a答案

级线性代数试题和答案 A卷由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“线性代数试卷a答案”。

经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷(A卷)

答案及评分标准

一、填空题（每小题4分、本题共28分）

1111.设A 为n 阶方阵, A为其伴随矩阵, detA, 则detA15A _____ 432.已知1,2均为2维列向量, 矩阵A(212,12), B(1,2).若行列式A6, 则B _____ 3.若r(1,2,,s,)r(1,2,,s)k,r(1,2,,s,)k1,则r(1,2,,s,,)= _____ 4.设A 为5阶方阵, 且r(A)4, 则齐次线性方程组Ax0（A是A的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为

_____

T5.设A(aij)33是实正交矩阵, 且a11=1,b=(1,0,0),则线性方程组Axb的解是

**_____

2226.若使二次型f(x1,x2,x3)x12x24x32x1x22tx1x3为正定的, 则 t 的取值范围是

_____ 7.设3阶方阵A满足A2A3E0, 且0

_____ 答案：（1）(1)n3

（2）-2

（3）

k +（4）

（5）(1,0,0)

（6）tT2（7）3

二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）

1.设A为n阶方阵, B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵, 则有（）(A)AB

(B)AB

(C)若A0, 则一定有B0

(D)若A0, 则一定有B0 32.设行列式D2050273420202, 则第四行各元素代数余子式之和的值为（）02(A)28

(B)-28

(C)0

(D)336 3.设A为m阶方阵, B为n阶方阵, CB0A, 则 C 等于（）0(A)AB

(B)AB

(C)(1)mnAB

(D)(1)mnAB 4.设n维列向量组1,2,m(mn)线性无关, 则n维列向量组1,2,m线性无关的充分必要条件是（）

(A)向量组1,2,m可由向量组1,2,m线性表示

(B)向量组1,2,m可由向量组1,2,m线性表示

(C)矩阵(1,2,m)与矩阵(1,2,m)等价

(D)向量组1,2,m与向量组1,2,m等价 5．设A、B 为n阶方阵, 且r(A)r(B), 则（）

(A)r(AB)0

(B)r(AB)2r(A)(C)r(AB)r(A)r(B)

(D)r(AB)2r(A)

116.设矩阵A11111111111410,B10010000000000, 则A与B（）00（A）合同且相似

（B）合同但不相似

(C)不合同但相似

（D)不合同且不相似

7．设1,2是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为1,2, 则A(12),2线 性无关的充分必要条件是（）

（A）10

（B）20

(C)10

(D)20 答案：CCC CCA A

三、计算题（每小题8分、本题共32分）

a0a1a2anb1d1001．计算n+1阶行列式 Dn1b20d20.bn00dn解 分三种情况讨论：

（1）当d1,d2,,dn全不为0时，D为箭型行列式且 naakbk0a1a2ank1dcbj1dcjnDj0kd10000d20(a0akbk)d1d2dn;k1dk000dn（2）当d1,d2,,dn中只有一个为0时，不妨假设di0，则

aia1ai1a0ai1an0dd1b11c1cDi10ddi1bi1i1baibii0ddi1i10bndnaibid1di1di1dn（3）当d1,d2,,dn中有两个以上为0时，显然D0.n综合以上三种情况，我们有D(aakbk0)d1d2dn;dk0(k1,2,...,n)k1dakibid1d2...di1di1dn;i,di02.设矩阵A满足关系式(2EC1B)ATC1, 其中

12321201B01231200012,C00012, 求A？ 00010001解

在等式(2EC1B)ATC1等号两边同时乘以C, 得A(2CB)1T, 123402CB012312101210012,(2CB)1000001120001dn,A(2CB)1T00121012112000.01x1x22x33x40x3x5x2x112343．设线性方程组 

xxax4x13412x17x210x37x4b（1）问：a, b取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解

设题中线性方程组为Axb.用消元法, 对线性方程组Axb的增广矩阵A施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：

112135A11a1710由此可知：

3247０1－１初等行变换０１００ｂ123２３１０a－１０００００１ ０ｂ－４当b≠4时,r(A)r(A)线性方程组Axb无解;当b=4时, 恒有r(A)r(A)线性方程组Axb有解.若a1,r(A)r(A)3,方程组有无穷多个解，通解为：1171(，0,0)Tk(,,0,1)T

k为任意实数 2222若a1,r(A)r(A)2,方程组有无穷多个解，通解为：

111371(，0,0)Tk1(,,1,0)Tk2(,,0,1)T

k1、k2为任意实数 2222223240121*4．设矩阵A202,Q101,BQAQ, 求B2010E的特征值和特征423123向量.其中A是A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵.解

计算A的特征多项式 *32EA24242(8)(1)2.3故A 的特征值为18,231.因为Ai8,若AXX,则A*X*

AX.所以A*的特征值为1,-8,-8.由于BQ1A*Q与A相似, 相似矩阵有相同的特征值，所以

B2010E的特征值为：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因为B(QX)(QAQ)(QX)QAX11*11*|A|Q1X,我们有矩阵B的属于量为Q1X A的特征向量为Q1X, 因此矩阵B2010E的属于

A2010的特征向第三步 求出A 的全部特征向量

2对于18，求解线性方程组(8EA)x0得特征向量 11.2对于231，求解线性方程组(EA)x0得特征向量

1120,32.10第四步 求出B2010E 的全部特征向量，即计算Q11,Q12,Q13.11131222221111Q111,Q11,Q22,Q31,0111332222综合以上分析我们有：

12矩阵B2010E属于特征值2011的特征向量为k1,k为任意实数

72322属于特征值2002的特征向量为 k12k21,k1、k2为任意实数

032

四、证明题（每题6分，共12分）1.已知向量组1,2,s,s1(s1)线性无关, 向量组1,2,s可表示为iitii1(i1,2,,s), 其中ti是实数.证明1,2,s线性无关.证明

用定义.假设存在 s 个数k1,k2,ks, 使 k11k22kss0, 即

k1(1t12)k2(2t23)ks(stss1)0, 也就是

k11(k1t1k2)2(k2t21k3)3(ks1ts1ks)skstss10.又因为1,2,s,s1(s1)线性无关, 所以上式中系数部分都为0, 即

k10ktk0112

解得 k1k2ks0, 故1,2,s线性无关.ktk0s1s1sksts022.设n 阶矩阵 A 满足AA2E0且AE.证明A相似于对角矩阵.2证

由AA2E0可得(EA)(2EA)0(2EA)(AE)

(1)可得A 的特征值为 1或-2，要证明A相似于对角矩阵，也就是A可以对角化，即要证明A 有n个线性无关的特征向量。

由（1）式有 r(2EA)r(AE)r(2EA)r(EA)n，（2）又(2EA)(AE)E可得r(2EA)r(AE)n

（3）

综合（2）和（3）有r(2EA)r(AE)n，不妨假设r(2EA)r,r(AE)nr,则矩阵2E+A 有 r 个线性无关的列向量，由（1）式中第一个等号知这r 个列向量也是特征值1的特征向量；同理由（1）式中第二个等号可知矩阵 A-E 的n-r 个线性无关的列向量是 特征值-2 的特征向量。于是矩阵A有r+（n-r）=n 个线性无关的特征向量。故A可以对角化.