《数学分析》考试大纲_考试大纲数学分析

2020-02-28 其他范文下载本文

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《数学分析》考试大纲

课程编号：04006 适应专业：数学与应用数学专业（师范、信息技术教育方向本科）

一、课程性质与目的要求

数学分析是数学与应用数学专业的一门重要基础理论课。其目的是为学生提供函数、极限、微积分等连续量方面的必不可少的数学理论基础知识。通过本课程的的学习，使学生具有一定的逻辑推理能力和计算能力，为后继课程的学习和以后的工作打下较好的基础。

二、学习用书

1、《数学分析》（上、下册），华东师范大学数学系编，高等教育出版社。

2、《数学分析》（上、下册），刘玉琏等编，高等教育出版社。

3、《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社。

4、《微积分学教程》，菲赫金哥尔茨著，人民教育出版社。

5、《数学分析习题集》，吉米多维奇著。

三、课程内容与考核要求

第一章函数

1、考核知识点：函数、函数的四大特性、复合函数与反函数。

2、考核要求：

（1）掌握求函数定义域及函数值域的方法。

（2）了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性。

（3）给出简单函数会求复合函数或给出复合函数会分解为简单函数。（4）了解反函数存在的条件，并会求函数的反函数。

第二章极限

1、考核知识点：数列极限；收敛数列的性质；数列收敛的判别法；函数极限；函数极限的性质；两个重要极限；无穷小与无穷大。

2、考核要求：

（1）掌握数列极限的N定义，并能用这个定义来证明数列敛散性。（2）了解收敛数列的性质，掌握数列收敛判别法。

（3）掌握函数极限概念，包括单侧极限，了解函数极限的性质，函数极限与单侧极限的关系，函数极限存在的条件。（4）掌握两个重要极限，并能灵活使用。

（5）了解无穷小量与无穷大量的概念，并能进行无穷小量阶的比较。

第三章连续函数

1、考核知识点：函数在一点的连续性性；函数在区间的连续性；函数的间断点。

2、考核要求：

（1）掌握函数在一点连续和在区间连续的概念。

（2）了解连续函数的局部性质，掌握反函数、复合函数及初等函数的连续性。（3）了解函数的间断点，能够求函数间断点并加以分类。

（4）掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性、介值性）。

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共4页

第四章实数的连续性

1、考核知识点：实数连续性定理；一致连续性。

2、考核要求：

（1）了解实数连续性定理（闭区间套定理、确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则）的条件与结论，以及有关概念。（2）掌握上确界、下确界的概念，并能求集合的上、下确界。（3）掌握一致连续性的定义，并会证明函数的一致连续性。

第五章导数与微分

1、考核知识点：导数的定义；求导公式与求导法则；隐函数的求导；参数方程给出的函数的求导；函数的微分；微分与导数的关系；高阶导数与高阶微分；微分在近似计算中的应用。

2、考核要求：

（1）掌握导数与微分的概念，求导公式与求导法则，特别是复合函数的求导法则，及微分的运算法则。

（2）掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程与法线方程。（3）掌握隐函数与参数方程的求导法则，对数求导法。

（4）掌握高阶导数与高阶微分的概念，会求函数的高阶导数，特别是会使用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数。（5）了解微分在近似计算中的应用。

第六章微分学基本定理及其应用

1、考核知识点：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；洛必达法则；泰勒公式；导数地研究函数上的应用。

2、考核要求：

（1）掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件与结论，并能用微分中值定理解决相应的问题。

（2）了解柯西中值定理及泰勒公式。

（3）握洛必达法则，熟练使用洛必达法则求函数未定式的极限。（4）掌握常用的几个初等函数的泰勒展开式。

（5）用导数来判断函数的单调性，以及函数极值的求法，包括函数的最大值与最小值。

（6）掌握函数凹凸性判定及函数拐点的求法。（7）会求曲线的渐近线，了解函数的作图。

第七章不定积分

1、考核知识点：原函数与不定积分的概念；分部积分法与换元积分法；有理函数的不定积分；简单无理函数与三角函数的不定积分。

2、考核要求：

（1）掌握原函数与不定积分的概念，掌握不定积分与导数（微分）的关系。（2）掌握基本积分表、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法。（3）掌握有理函数与可化为有理函数的积分。

（4）掌握某些简单无理函数及三角函数有理式的积分。

第八章定积分

1、考核知识点：定积分的概念；可积条件；定积分的性质；微积分学基本定理；定积分的计算；定积分的应用。

2、考核要求：

（1）掌握定积分的概念，掌握小和与大和的概念及它们的性质。

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共4页（2）掌握可积的必要条件与可积函数类。（3）掌握可积的充分必要条件（可积准则）。（4）掌握定积分的性质及积分上限函数的性质，掌握定积分的基本公式即牛顿—莱布尼兹公式。

（5）掌握定积分的换元法与分部积分法。

（6）掌握微元法，会用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长，应用截面面积求立体体积、旋转体的侧面积、定积分在物理上的某些应用。（7）了解定积分的近似计算。

第九章级数

1、考核知识点：数项级数；数项级数的敛散性及收敛级数的性质；正项级数；一般项级数；函数级数及其一致收敛性；函数列的一致收敛性；和函数的分析性质；幂级数的收敛半径与收敛区间；幂级数和函数的分析性质；泰勒级数；初等函数的幂级数展开式；傅立叶级数。

2、考核要求：

（1）掌握级数的概念、级数的收敛性及其性质。

（2）掌握正项级数收敛性的判别法、交错级数收敛的判别法、一般项级数收敛性判别法。

（3）了解绝对收敛级数的性质。

（4）掌握函数级数的收敛域，一致收敛的概念，包括函数列的一致收敛性的概念。（5）掌握函数级数及函数列一致收敛性的判别法。掌握和函数的分析性质。

（6）掌握幂级数的收敛半径和收敛区间，掌握幂级数和函数的分析性质，并能求幂级数的和函数。

（7）了解泰勒级数，掌握一些基本初等函数的幂级数展开式。（8）了解幂级数的应用。

（9）了解三角级数、三角函数系的正交性。

（10）掌握以2（或以2l）为周期的函数的傅立叶级数。

（11）掌握奇函数与偶函数的傅立叶级数。

第十章多元函数微分学

1、考核知识点：平面点集；坐标平面的连续性；多元函数的概念；二元函数的极限与连续性；偏导数；全微分；可微的几何意义；复合函数微分法；方向导数；高阶偏导数；二元函数的泰勒公式；二元函数的极值。

2、考核要求：

（1）了解平面点集、坐标平面的连续性（闭矩形套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则、致密性定理）；多元函数的概念。

（2）掌握二元函数的极限（二重极限）与二次极限，二元函数的连续性。

（3）掌握在有界闭区域上连续的二元函数的性质（有界性、最值性、介值性）（4）掌握多元函数的偏导数与全微分，并能熟练求函数偏导数与全微分。（5）掌握复合函数的偏导数与全微分。

（6）掌握可微的几何意义，会求曲面在某点的切平面与法线方程。（7）会求方向导数和高阶偏导数。（8）了解二元函数泰勒公式。

（9）掌握求二元函数极值的方法。

第十一章隐函数

1、考核知识点：隐函数；隐函数组；函数行列式；条件极值；隐函数存在定理在几何方面上的应用。

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共4页

2、考核要求：

（1）了解隐函数的概念及隐函数存在定理的条件与结论，了解隐函数组的概念及隐函数组存在定理。

（2）掌握求隐函数或隐函数组的偏导数（或导数）的方法。（3）了解函数行列式概念及其性质。

（4）掌握函数的条件极值与拉格朗日乘数法。

（5）会求空间曲线的切线与法平面方程，以及曲面的切平面与法线方程。

第十二章广义积分与含参变量的积分

1、考核知识点：无穷积分；瑕积分；含参变量的有限积分；含参变量的无穷积分；函数与B函数。

2、考核要求：

（1）掌握无穷积分及瑕积分的收敛与发散的概念，无穷积分及瑕积分的性质。（2）了解无穷积分与级数的关系，无穷积分与瑕积分的关系。（3）掌握无穷积分及瑕积分敛散性的判别法。（4）掌握含参变量有限积分在闭区间的分析性质。（5）掌握含参变量无穷积分的一致收敛及其判别法。（6）掌握含参变量无穷积分的分析性质。

（7）了解函数与B函数的定义及其性质、它们之间的关系。

第十三章重积分

1、考核知识点：二重积分的概念；二重积分的性质；二重积分的计算；三重积分的概念；三重积分的计算。

2、考核要求：

（1）掌握二重积分的定义、二重积分存在条件、二重积分的性质。

（2）掌握二重积分的计算，化二重积分为累次积分，二重积分的换元法。（3）掌握三重积分的定义。

（4）掌握三重积分的计算，化三重积分为累次积分。

第十四章曲线积分与曲面积分

1、考核知识点：第一型曲线积分；第二型曲线积分；格林公式；曲线积分与路线无关的条件；第一型曲面积分；第二型曲面积分；奥高公式；斯托克斯公式。

2、考核要求：

（1）了解第一型曲线积分与第二型曲线积分的概念。（2）了解第一型曲面积分与第二型曲面积分的概念。（3）掌握第一型曲线积分与第二型曲线积分的计算。（4）掌握两类曲线积分的关系。

（5）掌握格林公式，会用格林公式求闭曲线的积分。（6）掌握曲线积分与路径的无关的条件。