中考菱形压轴题_菱形中考题含答案

2020-02-28 其他范文下载本文

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2018年中考菱形压轴题

一．解答题（共19小题）

1．如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：

（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；

（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；

（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．

2．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．（1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；（2）如图，四边形OABC是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60° ①求“抛物菱形OABC”的面积．

②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F，△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．

3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．

4．如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．（1）求抛物线的解析式；

（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？

5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出

发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？

（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．

6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN=，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标．

7．已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似？若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；

（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；

（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．

10．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．

11．如图，▱ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=tan∠ACB=．

（1）求抛物线的解析式；

x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t为何值时，△APQ是直角三角形？

12．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，若M点是CD所在指向下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N，设点M的横坐标为t，MN的长度为L，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标；

（3）△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，当四边形ABCD是菱形时，连接BD，点P在抛物线上，若△PBD是以BD为直角边的直角三角形，请求出此时P点的坐标．

13．如图，直线y=x+1与y轴交于A点，过点A的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+

（其中a、b为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；

（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求

抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，设动点P在直线OE下方的抛物线上移动，则点P到直线OE的最大距离是

．

16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（6，0）和C（0，4）三个点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点E（m，n）是抛物线上一个动点，且位于第四象限，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形，求四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当四边形OEBF的面积为24时，请判断四边形OEBF是否为菱形？

17．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）两点．

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）若点D是直线l下方抛物线上的一动点，过点D作DE∥y轴交直线l于点E，求DE的最大值，并求出此时D的坐标；

（3）在（2）的条件下，DE取最大值时，点P在直线AB上，平面内是否存在点Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，抛物线y=﹣x2﹣

x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EG⊥x轴，交直线AB于点F，交抛物线于点G．设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在（2）的条件下（不考虑点E与点O、C重合的情况），连接CF，BG，当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形？请说明理由．

19．如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；

（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；

（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．

2018年04月19日191****7496的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共19小题）

1．如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：

（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；

（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；

（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．

【解答】解：（1）S△ABC=S四边形AFBD，理由：由题意可得：AD∥EC，则S△ADF=S△ABD，故S△ACF=S△ADF=S△ABD，则S△ABC=S四边形AFBD；

（2）△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，理由如下：∵F为BC的中点，∴CF=BF，∵CF=AD，∴AD=BF，又∵AD∥BF，∴四边形AFBD为平行四边形，∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，∴平行四边形AFBD为矩形，∵∠BAC=90°，F为BC的中点，∴AF=BC=BF，∴四边形AFBD为正方形；

（3）如图3所示：

由（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC，设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理得：CG=sin∠CGF===

k，．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），四边形OABC是正方形，∴A（1，2）或（1，﹣2），当A（1，2）时，解得：

当A（1，﹣2）时解得

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣；（2）①∵由抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）可知OB=b，∵∠OAB=60°，∴A（，b），b=﹣（）2+b，解得：b=

2，代入y=﹣x2+bx得：∴OB=2，AC=6，∴“抛物菱形OABC”的面积=OB•AC=6②存在；；

当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小，∵OE⊥AB，∴∠EOB==30°，同理∠BOF=30°，∵∠EOF=60°

∴OB垂直EF且平分EF，∴三角形OEF是等边三角形，∵OB=2∴OE=3，∴OE=OF=EF=3，∴△OEF的面积=

．，【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2，把点A（3，3）代入得3=a×32，解得a=；设一次函数的解析式为y=kx+b，把点A（3，3）、点B（6，0）代入得，解得，所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x2，y=﹣x+6；

（2）C点坐标为（0，6），∵DE∥y轴，∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，∵∠DOE=∠EDA，∴∠DOE=∠OCD，∴△OCD∽△DOE，∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OC•DE，设E点坐标为（a，a2），则D点坐标为（a，6﹣a），OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2，∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=，∵E是抛物线上OA段上一点，∴0＜a＜3，∴a=，∴点E坐标为（，）；

（3）以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形．理由如下：

如图，过O点作OF∥AC交抛物线于F，过F点作FM∥y轴交AC延长线于M点，交x轴于H点，则四边形OCMF为平行四边形，∵OC=OB=6，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠HOF=45°，∴△OHF为等腰直角三角形，∴HO=HF，设F点坐标为（m，﹣m）（m＞0），把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3，∴m=﹣3，∴HO=HF=3，∴OF=OH=3，而OC=6，∴四边形OCMF不为菱形．

【解答】解：（1）∵A（0，2）为抛物线的顶点，∴设y=ax2+2，∵点C（3，0），在抛物线上，∴9a+2=0，解得：a=﹣，∴抛物线为；y=﹣x2+2；

（2）如果四边形OEAE′是菱形，则AO与EE′互相垂直平分，∴EE′经过AO的中点，∴点E纵坐标为1，代入抛物线解析式得： 1=﹣x2+2，解得：x=±，∵点E在第一象限，∴点E为（，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得：，∴BC的解析式为：y=﹣x+3，将E点代入y=ax，可得出EO的解析式为：y=由，x，得：，∴Q点坐标为：（∴当Q点坐标为（，0），0）时，四边形OEAE′是菱形；

（3）法一：设t为m秒时，PB∥DO，又QD∥y轴，则有∠APB=∠AOE=∠ODQ，又∵∠BAP=∠DQO，则有△APB∽△QDO，∴=，由题意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，又∵点D在直线y=﹣x+3上，∴DQ=3m，因此：=，解得：m=，经检验：m=是原分式方程的解，∴当t=秒时，PB∥OD．

法二：作BH⊥OC于H，则BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC﹣OH=2，∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，易知DQ=CQ，设t为m秒时PB∥OE，则△ABP∽△QOD，∴∴==，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3﹣3m，解得m=，经检验m=是方程的解，∴当t为秒时，PB∥OD．

5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？

【解答】解：（1）由题意得，顶点D点的坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4（a≠0），∵抛物线经过点B（﹣3，0），代入y=a（x+1）2+4 可求得a=﹣1

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．

（2）由题意知，DP=BQ=t，∵PE∥BC，∴△DPE∽△DBC． ∴==2，∴PE=DP=t．

∴点E的横坐标为﹣1﹣t，AF=2﹣t．

将x=﹣1﹣t代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4． ∴点G的纵坐标为﹣t2+4，∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t．如图1所示：连接BG．

S四边形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四边形BDGQ=BQ•AF+EG•（AF+DF）=t（2﹣t）﹣t2+t． =﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．

∴当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2．（3）存在． ∵CD=4，BC=2，∴tan∠BDC=，BD=2∴cos∠BDC=∵BQ=DP=t，∴DE=t．．

．

如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB．

∵BE=BD﹣DE，∴BQ=BD﹣DE，即t=

2﹣

t，解得t=20﹣8．

．

∴菱形BQEH的周长=80﹣32如图3所示：当BE为菱形的对角时，则BQ=QE，过点Q作QM⊥BE，则BM=EM．

∵MB=cos∠QBM•BQ，∴MB=∴BE=t． t．

∵BE+DE=BD，∴t+t=2，解得：t=

．

或80﹣32

．

∴菱形BQEH的周长为综上所述，菱形BQEH的周长为

6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；

【解答】解：（1）对于抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴C（0，3），∴﹣3a=3，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）如图2中，作DT⊥AB于T，交BC于R．设D（t，﹣t2+2t+3）．

∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°，∵DE⊥BC，∴∠DER=90°，∴△DER是等腰直角三角形，∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴R（t，﹣t+3），∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴DE=DR•cos45°=﹣

t2+

t．

（3）如图3中，∵四边形DHMN是菱形，点H在对称轴上，∴D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上，设DM交FH于Q，作HK⊥DN于K． ∵tan∠HDK==，设HK=12k，DK=5k，则DH=

=13k，∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k，在Rt△NHK中，NH=∴QN=QH=2k，=

4k，∵S△DNH=•NH•DQ=•DN•HK，∴DQ=3，=，∴tan∠QDH=

∵DF⊥DH，∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°，∴∠DFQ=∠QDH，∴tan∠DFQ==，∵抛物线的顶点F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3），∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3），∴解得t=，∴D（，），∴DQ=﹣1=，∵=，=，∴QN=1，∴N（1，7．已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A．（1）求抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似？若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．）．

【解答】解：

（1）设B点坐标为（x1，0），C点坐标为（x2，0），则x1、x2是方程ax2+bx+8=0的两根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵BC=|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴﹣=4①，把D点坐标代入抛物线解析式可得25a+5b+8=3②，由①②可解得或（舍去），∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+8；

（2）在y=x2﹣6x+8中，令y=0可得x2﹣6x+8=0，解得x=2或x=4，∴B（2，0），C（4，0），设直线BD解析式为y=kx+s，把B、D坐标代入可得∴直线BD解析式为y=x﹣2，∴A（0，﹣2），①当点N在x轴上时，设N（x，0），则点N应在点B左侧，∴BN=2﹣x，∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3），∴AB=2，BD=3，解得，∵∠ABN=∠DBC，∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN，当△BCD∽△BNA时，则有（，0）；

=，即

=，解得x=，此时N点坐标为

当△BCD∽△BAN时，则有为（﹣4，0）；

=，即=，解得x=﹣4，此时N点坐标②当点N在y轴上时，设N（0，y），则点N应在A点上方，∴AN=y+2，由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB，当△BCD∽△ABN时，则有（0，4）；

当△BCD∽△ANB时，则有为（0，）；

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；

=，即=，解得y=4，此时N点坐标为

=，即=，解得y=﹣，此时N点坐标（3）∵点P在直线BD上，∴可设P（t，t﹣2），∴BP=

|t﹣2|，PC=

=，∵以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形，∴有BC为边或BC为对角线，当BC为边时，则有BP=BC，即坐标为（2+，）或（2﹣

|t﹣2|=2，解得t=2+，）； |t﹣2|=，解得t=3，此时P或t=2﹣，此时P点当BC为对角线时，则有BP=PC，即点坐标为（3，1）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2+1）．，）或（2﹣，）或（3，8．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；

【解答】解：（1）由题意可求，A（0，2），B（﹣1，0），点C的坐标为（4，0）．设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），把点A（0，2）代入，解得：a=﹣，所以抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣4）（x+1）=（2）如图1，物线y=的对称轴为：x=，由点C是点B关于直线：x=的对称点，所以直线AC和直线x=的交点即为△GAB周长最小时的点G，设直线AC的解析式为：y=mx+n，把A（0，2），点C（4，0）代入得：．，解得：所以：y=，x+2，当x=时，y=，所以此时点G（，）；（3）如图2

使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（2，），Q4（﹣2，），证明Q1：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M，由题意：∠APQ1=90°，AP=PQ1，∴∠APO+∠MPQ1=90°，∵∠APO+∠PAO=90°，∴∠PAO=∠MPQ1，在△AOP和△MPQ1中，∴△AOP≌△MPQ1，∴PM=AO=2，Q1M=OP=，∴OM=，此时点Q的坐标为：（，）；（4）存在点N的坐标为：（0，﹣2），（9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．，2），（﹣，2），（，2）．

【解答】解：（1）∵OB=OC=6，∴B（6，0），C（0，﹣6），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6，∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，∴点D的坐标为（2，﹣8）；

（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，x2﹣2x﹣6），则FG=|x2﹣2x﹣6|，在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，∴A（﹣2，0），∴OA=2，则AG=x+2，∵B（6，0），D（2，﹣8），∴BE=6﹣2=4，DE=8，当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，∴△FAG∽△BDE，∴=，即

==，当点F在x轴上方时，则有点坐标为（7，）；

=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F当点F在x轴下方时，则有F点坐标为（5，﹣）；

=﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此进综上可知F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；

（3）∵点P在x轴上，∴由菱形的对称性可知P（2，0），如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，∵PQ=MN，∴MT=2PT，设PT=n，则MT=2n，∴M（2+2n，n），∵M在抛物线上，∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=+1；

或n=

（舍去），当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n），∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=﹣1；

+1或

﹣1．

或n=

（舍去），综上可知菱形对角线MN的长为

10．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

【解答】解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：解得：a=1，c=﹣8．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8． ∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．

（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0）． ∵y=（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E（1，0）．

∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线． ∴∠BEP=45°．

设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．

将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=x=．

或，∵点P在第四象限，∴x=∴y=．．

∴P（，）．

（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．

设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2． ∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．

将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6）．

设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．

当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．，）． ∴点M的坐标为（﹣当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．

∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．综上所述，点M的坐标为（﹣

11．如图，▱ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=tan∠ACB=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

【解答】解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB=AC=5． ∴tan∠ACB=∴． =，由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，∴（∴）2+OC2=52，解得OC=±4（负值舍去）．，OB=OC=4，AD=BC=8．

∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．

∴

解之得，x2+x+5； ∴抛物线的解析式为y=

（2）存在．

∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC=AB=CD．又∵AD≠CD，∴当以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE．由对称性可得，此时点E的坐标为（4，6）当x=4时，y=x2+x+5=6，所以点（4，6）在抛物线y=

x2+x+5上．

∴存在点E的坐标为（4，6）；

（3）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°．

∴当△APQ是直角三角形时，∠APQ=90°或∠AQP=90°． ∵∴．，由题意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5．当∠APQ=90°时，∴解得，．，．，当∠AQP=90°时，∴∵∴或，解得，．

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，若M点是CD所在指向下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N，设点M的横坐标为t，MN的长度为L，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点

M的坐标；

（3）△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，当四边形ABCD是菱形时，连接BD，点P在抛物线上，若△PBD是以BD为直角边的直角三角形，请求出此时P点的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线顶点在直线x=上，∴﹣=，解得b=﹣∵抛物线y=x2+bx+c经过点B（0，4），∴c=4，∴抛物线对应的函数关系式为y=x2﹣

x+4；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则解得，所以，直线AB的解析式为y=x+4，当过点M平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时，点M到CD的距离最大，此时MN的值最大，此时，设过点M的直线解析式为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣x+4=x+m，整理得，2x2﹣14x+12﹣3m=0，△=b2﹣4ac=（﹣14）2﹣4×2×（12﹣3m）=0，解得m=﹣此时，x=﹣y=×﹣，=，=，）使MN的值最大．所以，点M（（3）四边形ABCD是菱形时，点C、D在该抛物线上．理由如下：∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB==5，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=5，∴D（2，0），∴直线BD的解析式为y=﹣2x+4，①当B为Rt△PBD 直角顶点时，直线PB的解析式为y=x+4，由解得或，∴P（，）．

②当D为Rt△PBD 直角顶点时，直线PD的解析式为y=x﹣1，由解得或，∴P（，），）或（，）．综上所述，满足条件的点P坐标为（13．如图，直线y=x+1与y轴交于A点，过点A的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．（1）直接写出抛物线的解析式；

【解答】解：（1）∵BC⊥x轴，垂足为点C，C（3，0），∴B的横坐标为3．

将x=3代入y=x+1得：y=． ∴B（3，）．

将x=0代入y=x+1得：y=1． ∴A（0，1）．

将点A和点B的坐标代入得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+，解得：b=

x+1．，c=1．

（2）设点P的坐标为（t，0），则N（t，﹣t2+∴S=（﹣t2+

t+1），M（t，t+1）．

t+1）﹣（t+1）=﹣t2+

t．（0＜t＜3）．

（3）∵MN∥BC，∴当MN=NB时，四边形BCMN为平行四边形． ∴﹣t2+t=，解得t=1或t=2．

∴当t=1或t=2时，四边形BCMN为平行四边形．当t=1时，M（1，）．

依据两点间的距离公式可知：MC=∴MN=MC．

∴四边形BCMN为菱形．当t=2时，M（2，2），则MC=∴MC≠MN．

∴此时四边形BCMN不是菱形．

综上所述，当t=1时，四边形BCMN为菱形．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+

（其中a、b为常数，a≠

． =．

0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；

（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四

边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+

中，得：，解得：，∴该抛物线的表达式为y=﹣

x2+

x+．

（2）当x=0时，y=∴C（0，），．

∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4，AC=2，BC=2∵AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形．且∠ABC=30°，设直线BC的解析式为y=kx+将点B（3，0）代入y=kx+得：0=3k+，解得：k=﹣，中，x+

．，∴直线BC的解析式为y=﹣当x=1时，y=∴D（1，）．，设点P的坐标为（m，﹣

m2+

m+），如图1，过点P作PE⊥OB于点E，则BE=3﹣m，PE=﹣在Rt△ABC中，∵△DPB∽△ACB，∴∠ABC=∠DBP=30°，∴∠PBE=60°，则tan∠PBE=，即

m2+

m+，=，解得：m=2或m=3（舍），∴点P的坐标为（2，）．

（3）根据题意，如图2，直线BC垂直平分OQ，且kBC=﹣，∴kOQ=，x，点Q的坐标为（a，a），a），设直线OQ解析式为y=则OQ的中点F坐标为（a，将点Q代入直线BC的解析式为y=﹣解得：a=，∴Q（，则BQ=），=3，x+，得：﹣a+=a，①当BQ是四边形BQNM的边时，∵四边形BQNM是菱形，∴NQ∥BC，且NQ=BQ，∴kNQ=kBC=﹣，（x﹣）+，即y=﹣

2，∴直线NQ解析式为y=﹣设N（m，﹣m+2），由NQ=BQ，即NQ2=BQ2可得（m﹣）2+（﹣解得：m=，）、（m+2﹣）2=9，此时点N的坐标为（若MQ∥BN，且BN=BQ，）；

根据菱形的性质可知BM垂直平分NQ，∴点N与点O重合，即N（0，0）； ②当BQ为四边形BMQN的对角线时，∵四边形BMQN是菱形，∴BQ、MN互相垂直平分，由B（3，0）、Q（，∴kMN=则yMN=，（x﹣）+

x，）可得yBQ=﹣

3，BQ中点H（，），由可得点M（，），设点N坐标为（m，n），由M、N的中点H（，）可得：，解得：，即点N的坐标为（3，综上，点N的坐标为（（3，）．），）或（，）或（0，0）或15．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，设动点P在直线OE下方的抛物线上移动，则点P到直线OE的最大距离是 0.1 ．

【解答】解：（1）由题可设抛物线的解析式为y=a（x﹣）2+k，∵抛物线经过点A（6，0）和B（0，4），∴．

解得；．

∴抛物线的解析式为y=（x﹣）2﹣，此时顶点坐标为（，﹣）．

（2）过点E作EH⊥OA，垂足为H，如图1，由（x﹣）2﹣=0得x1=1，x2=6．

∵点E（x，y）是抛物线上位于第四象限一动点，∴1＜x＜6，﹣≤y＜0．

∵四边形OEAF是平行四边形，∴△OAE≌△AOF．

∴S=2S△OAE=2×OA•EH=OA•EH =﹣6y

=﹣6×[（x﹣）2﹣=﹣4（x﹣）2+25．

∴四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式为S=﹣4（x﹣）2+25，其中1＜x＜6．

]

（3）①当S=24时，﹣4（x﹣）2+25=24，解得x1=4，x2=3． Ⅰ．当x=4时，y=×（4﹣）2﹣

=﹣4，则点E（4，﹣4）．

过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2，则有OH=4，EH=4，AH=2． ∵EH⊥x轴，∴OE=4，AE=2．

∴OE≠AE．

∴平行四边形OEAF不是菱形． Ⅱ．当x=3时，y=×（3﹣）2﹣

=﹣4，则点E（3，﹣4）．

过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图3，则有OH=3，EH=4，AH=3． ∵EH⊥x轴，∴OE=5，AE=5． ∴OE=AE．

∴平行四边形OEAF是菱形．

综上所述；当点E为（4，﹣4）时，平行四边形OEAF不是菱形；当点E为（3，﹣4）时，平行四边形OEAF是菱形． ②不存在点E，使四边形OEAF为正方形．理由如下：

当点E在线段OA的垂直平分线上时，EO=EA，则平行四边形OEAF是菱形，如图4，此时，xE==3，yE=﹣4，点E为（3，﹣4）．

则有OA=6，EF=8． ∵OA≠EF，∴菱形OEAF不是正方形．

∴不存在点E，使四边形OEAF为正方形．

（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，点E的坐标为（3，﹣4）．设直线OE的解析式为y=mx，则有3m=﹣4，解得m=﹣． ∴直线OE的解析式为y=﹣x．

设与直线OE平行且与抛物线y=（x﹣）2﹣x+n，相切的直线l的解析式为y=﹣

∴方程（x﹣）2﹣=﹣x+n即2x2﹣10x+12﹣3n=0有两个相等的实数根．

∴（﹣10）2﹣4×2×（12﹣3n）=0．解得：n=﹣．

∴直线l的解析式为y=﹣x﹣．

设直线l与x轴、y轴分别相交于点M、N，过点O作OG⊥MN．垂足为G，如图5，由﹣x﹣=0得x=﹣，则点M（﹣，0）；由x=0得y=﹣，则点N（0，﹣）．在Rt△MON中，∵OM=，ON=，∴MN=∴OG===0.1．

．

∴直线OA与直线l之间的距离是0.1． ∴点P到直线OE的最大距离是0.1．故答案为：0.1．

16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（6，0）和C（0，4）三个点．

（1）求抛物线的解析式；

（3）当四边形OEBF的面积为24时，请判断四边形OEBF是否为菱形？

【解答】（1）解：∵把A（1，0），B（6，0），C（0，4）代入y=ax2+bx+c得：解得：a=，b=﹣，c=4，x+4．，∴抛物线的解析式是y=x2﹣

（2）解：∵E在抛物线y=x2﹣

x+4上，E（m，n），∴E的坐标是（m，m2﹣

m+4），∵E在第四象限，且四边形OEBF是平行四边形，OB为对角线，∴平行四边形OEBF的面积等于2S△OBE，即S=2××OB×（﹣n），∴S=2××6×（﹣m2+∵A（1，0），B（6，0），∴m的范围是1＜m＜6，答：四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式是S=﹣4m2+28m﹣24，自变量m的取值范围是1＜m＜6．

m﹣4）=﹣4m2+28m﹣24，（3）解：根据题意得：S=﹣4m2+28m﹣24=24，即m2﹣7m+12=0，解得：m=3，m=4，当m=3时，y=x2﹣当m=4时，y=x2﹣

x+4=﹣4，x+4=﹣4，=5，∵当O（0，0），E（3，﹣4），B（6，0）时，由勾股定理得：OE=BE=即OE=BE，∴此时四边形OEBF是菱形；

∵当O（0，0），E（4，﹣4），B（6，0）时，由勾股定理得：OE=BE==

2，=4=5，即OE和BE不相等，∴此时四边形OEBF不是菱形；

综合上述，当四边形OEBF的面积为24时，四边形OEBF不是菱形．

17．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）

两点．

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）若点D是直线l下方抛物线上的一动点，过点D作DE∥y轴交直线l于点E，求DE的最大值，并求出此时D的坐标；

【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与直线l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）两点，∴，λ

解得：，．

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣1，直线的解析式为：y=x﹣1；