高等数学第9章试题_高等数学下试题答案
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高等数学
院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______ 题 号 选择题 填空题 计算题 证明题 其它题总 分
型
题 分 20 20 20 20 20 核分人
得 分
复查人
一、选择题（共 20 小题，20 分）
1、设
Ω是由z≣及x2+y2+z2≢1所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3三者大小关系是
A.I1>I2>I3;
B.I1>I3>I2;
C.I2>I1>I3;
D.I3>I2>I1.答（）
2、设f(x,y)为连续函数，则积分
可交换积分次序为
答（）
3、设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
答（）
4、设u=f(t)是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x|≢1;|y|≢1;|z|≢1.I=
a,b,c为常数，则
(A)I>0
(B)
I
(D)I的符号由a,b,c确定
答()
5、设Ω为正方体0≢x≢1;0≢y≢1;0≢z≢1.f(x,y,z)为Ω上有界函数。若，则
(A)f(x,y,z)在Ω上可积
(B)f(x,y,z)在Ω上不一定可积(C)因为f有界，所以I=0
(D)f(x,y,z)在Ω上必不可积
答（）
6、由x2+y2+z2≢2z,z≢x2+y2所确定的立体的体积是(A)
(B)
(C)
(D)
答（）
7、设Ω为球体x2+y2+z2≢1,f(x,y,z)在Ω上连续，I=(A)4(C)2x2yzf(x,y2,z3)dv
(D)
0 x2yzf(x,y2z3)dv
(B)
4x2yzf(x,y2,z3),则I= x2yzf(x,y2,z3)dv
答（）
8、函数f(x,y)在有界闭域D上有界是二重积分
存在的(A)充分必要条件；
(B)充分条件，但非必要条件；
(C)必要条件，但非充分条件；(D)既非分条件，也非必要条件。
答（）
9、设Ω是由3x2+y2=z,z=1－x2所围的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
答()
10、设
f(x,y)是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为
答（）
11、设Ω1,Ω2是空间有界闭区域，Ω3=Ω1∪Ω2,Ω4=Ω1∩Ω2，f(x,y,z)在Ω3上可积，则的充要条件是
(A)f(x,y,z)在Ω4上是奇函数
(B)f(x,y,z)≡0,(x,y,z)∈Ω4
(C)Ω4=空集
(D)
答（）
12、设Ω1:x2+y2+z2≢R2;z≣0.Ω2:x2+y2+z2≢R2;x≣0;y≣0;z≣0.则(A)(C)z99dv=4x99dv=4x99dv
.(B)y99dv
.(D)
y99dv=
4z99dv.(xyz)99dv.(xyz)99dv=4
答（）
13、设Ω为正方体0≢x≢1;0≢y≢1;0≢z≢1.f(x,y,z)在Ω上可积，试问下面各式中哪一式为f(x,y,z)在Ω上的三重积分的值。(A)
(C)
(B)limf(ni1nin,in,in)1n
(D)
答（）
14、设，则I满足
答（）
15、函数f(x,y)在有界闭域D上连续是二重积分
存在的(A)充分必要条件；
(B)充分条件，但非必要条件；
(C)必要条件，但非充分条件；
(D)既非充分条件，又非必要条件。
答（）
16、若区域D为|x|≢1,|y|≢1,则
－
(A)e;
(B)e1;
(C)0;
(D)π.答（）
17、二重积分
(其中D：0≢y≢x2,0≢x≢1)的值为
答（）
18、设有界闭域D1与D2关于oy轴对称，且D1∩D2=,f(x,y)是定义在D1∪D2上的连续函数，则二重积分
答（）
19、设Ω为单位球体x2+y2+z2≢1,Ω1是Ω位于z≣0部分的半球体，I=(x+y+z)f(x2+y2+z2)dv,则
(A)
I>0
(B)
I
I=0
(D)I=
2(x+y+z)f(x2+y2+z2)dv
答（）20、设Ω为一空间有界闭区域，f(x,y,z)是一全空间的连续函数，由中值定理
而V为Ω的体积，则：
(A)若f(x,y,z)分别关于x,y,z为奇函数时f(ξ,η,ζ)=0(B)必f(ξ,η,ζ)≠0(C)若Ω为球体x2+y2+z2≢1时f(ξ,η,ζ)=f(0,0,0)(D)f(ξ,η,ζ)的正负与x,y,z的奇偶性无必然联系
答()
二、填空题（共 20 小题，20 分）
1、根据二重积分的几何意义
=___________.其中D：x2+y2≢1.2、设Ω是一空间有界闭区域，其上各点体密度为该点到平面Ax+By+Cz=D的距离平方。则Ω质量的三重积分公式为________________.3、设D：x2+y2≢2x,由二重积分的几何意义知
=________.4、设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，且f(x,y)＞0,则__________________.5、二次积分____________.6、设积分区域D的面积为S,(r,e)为D中点的极坐标，则
7、根据二重积分的几何意义的几何意义是
f(x,y)dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为
_________.其中D：x2+y2≢a2,y≣0,a＞0.8、设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域Δσi(i=1,2,…,n)，在每一个小区域Δσi上任取一点(ξi,ηi),如果极限
存在(其中入是
___________________)，则称此极限值为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作
9、设积分区域D的面积为S，则
10、设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=[f(xy)]2所围立体的体积可用二重积分表示为___________________________________________.11、设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上可积，Ω=Ω1∪Ω2,，则 I=f(x,y,z)dv=f(x,y,z)dv+________________________________ _____。
12、设Ω为空间有界闭区域，其上各点的体密度为该点到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。则Ω关于直线的转动惯量的三重积分公式为_________________.13、设D：x2+y2≢4,y≣0,则二重积分
14、设Ω1:x2+y2+z2≢R2,Ω2:x2+y2+z2≢R2;x≣0;y≣0;z≣0.u=f(t)是(－∞,+∞)上的偶函数，且在(0，+∞)上严格单调增加，则(A)(C)f(x+y)dv=4f(x+y)dv
(D)
f(xyz)dv=
4f(xyz)dv xf(x)dv=4xf(x)dv
(B)
f(x+z)dv=4
f(x+z)dv
答（）
15、二次积分___________.f(x,y)dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为
16、=___________________。
17、设平面薄片占有平面区域D，其上点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，如果μ(x,y)在D上连续，则薄片的质量m=__________________.18、设区域D是x2+y2≢1与x2+y2≢2x的公共部分，试写出
在极坐标系下先对r积分的累次积分_________________.19、设Ω为一有界闭区域，其上各点的体密度为ρ(x,y,z).设M为其质量，而
(x,y, z)为其重心，Ω关于xoy平面的静矩定义为：Mxy
= x
M,Mxy的三重积分计算式为________________.20、设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域Δσi(i=1,2,…,n),在每一个小区域Δσi任意选取一点(ξi,ηi),如果极限
(其中入是Δσi(i=1,2,…,n)的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。
三、计算题（共 20 小题，20 分）
1、计算二重积分
其中
2、设Ω是由x=0,y=0,z=0,x=1－y2及
所围的有界闭区域。计算I=
.3、设D是由直线x+y=a,x+y=b,y=αx,y=βx所围的有界闭区域(0
eD(xy)2dxdy.4、设Ω是由x2+y2=R2;z=0;z=1;y=x;y=积分I=
.所围恰好位于第一卦限部分的一立体。试求
5、设Ω是由曲面x2+y2=1,z=0,z=1所围的有界闭区域，计算
6、设Ω是由bz≢x2+y2+z2≢az
(a>b>0)所确定的闭区域。试计算
7、计算二重积分
其中D：0≢y≢sinx,..8、计算二重积分 其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p(p>0)所围成的区域。
9、设Ω是由曲面z=x2+y2,z=2(x2+y2),xy=1,xy=2,y=2x及x=2y所围位于x≣0及y≣0 部分的闭区域。试计算I=
10、计算三重积分I=，其中Ω是由所围位于部分的立体
所确定的闭
11、设Ω是由a2≢x2+y2≢2a
2(a>0)，y≣0，z≢0以及区域。试计算
12、计算二重积分
13、由二重积分的几何意义，求
其中D：x2+y2≢1.14、计算二重积分(a>0).15、设Ω是由
其中积分区域D是x2+y2≢a2
以及0≢z≢sin(x+y)所确定的立体。试计算
16、计算二次积分
17、计算二重积分
其中
18、计算二重积分
19、设Ω是由
其中D：x≢y≢,y=0,z=0及,0≢x≢1..所围的有界闭区域。试计算20、计算二重积分
x= 所围成的区域。
其中D是由直线x=－2,y=0,y=2及左半圆
四、证明题（共 20 小题，20 分）
1、试证：在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。
2、设f(t)是连续函数，证明
3、锥面x2+y2－z2=0将闭区域x2+y2+z2≢2az(a>0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3：1.4、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D1和D2，证明
5、设f(u)为可微函数，且f(0)=0,证明
6、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且M，m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，证明：
其中σ是D的面积。
2227、设Ω为单位球体x+y+z≢1,试证可选择适当的坐标变换，使得
(a2+b2+c2=1)
8、设f(x,y)为区域D：上的连续函数，试证
9、设函数f(x,y)和g(x,y)在D上连续，且f(x,y)≢g(x,y),(x,y)D，利用二重积分定义证明：
10、设f(x)是[a,b]上的连续正值函数，试证不等式： 其中D：a≢x≢b,a≢y≢b.11、设f(u)为连续函数，试证
12、设Ω是上半单位球体x2+y2=z2≢1,z≣0,f(x,y,z)在Ω上连续，试利用球面坐标积分方法证明(ξ，η，ζ)∈Ω使得
f(x,y,z)dvf(,,)(2)(2222)2.13、设p(x)是[a,b]上的非负连续函数，f(x),g(x)是[a,b]上的连续单增函数，证明
14、设f(x)是[0,1]上的连续单增函数，求证：
15、设Ω为由
≢1所确定的立体(0＜a≢b≢c)，其密度函数ρ=ρ(z)为关
[(x于z的偶函数。试证：对任意的(x0,y0,z0)∈Ω，关于(x0,y0,z0)的转动惯量满足I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(z)dv≢I(0,0,c).16、设Ω是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所围的有界闭区域，,f(x,y,z)在Ω上连续，试证：(ξ，η，ζ)∈Ω满足
.17、证明： 大于1的自然数。
18、设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，若
f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)·V,V为Ω的体积，试
其中n为证：当f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值时f(x,y,z)在Ω必是一个常数。
19、设Ω为区域x2+y2+z2≢1,P0(x0,y0,z0)为Ω外的一点，试证：。
20、设f(x)是[0,1]上的连续正值函数，且f(x)单调减少，证明不等式：
五、其它题型（共 20 小题，20 分）
1、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分
2、按照三重积分的定义：λ,(ξi,ηi,ζi)分别代表什么?
3、设f(x,y)是连续函数，交换积分
4、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分
的积分次序。
.试问这里的的积分次序。的积分次序。
5、Ω是由x2+y2+z2≢2Rz
(R>0)所确定的立体，试将f(xy)d化成球面坐标下的三次积分式。
6、在形状为z=x2+y2的容器内注入k立方单位的水，问此时水平面高度为多少，并求出高度对k的变化率。
7、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分的积分次序。
8、试求由封闭曲面(x2+y2+z2)2=az(x2+y2),(a>0)所围立体的体积。
9、设Ω是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所围的有界闭区域，试将I=别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。
10、将积分
分
化为在极坐标系中先对r积分的累次积分。
11、Ω是边长分别为a,b,c的长方体，若其内任一点处的体密度等于该点到一顶点距离的平方，试求Ω是质量。
12、F(t)=≢t,|x+y－z|≢t来确定。求,其中f(u)为连续的偶函数，区域Ωt:由|x+y+z|≢t,|x－y+z|。
13、设f(x,y)是连续函数，交换积分
14、平面薄片由曲线yex的积分次序。
sinx1x22,ysinxsinx1x22,x=0及所围成，其面密度函数为ρ(x,y)=x.试求薄片质量。
15、将积分－x
及y=1所围成的区域。
16、设Ω是由
化为在极坐标系中的累次积分，其中D是由直线y=x,y=
以及1≢x2+y2+z2≢4所确定的闭区域，试将化成球面坐标下的三次积分式。
17、空间立体r2≢x2+y2+z2≢R2,z≣0(0
18、试求由曲面z=x2+y2,x2+y2=x,x2+y2=λx(λ>1), z=0所围空间立体的体积。
19、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分序。
20、设扇形薄片由极坐标下|θ|≢α
与r≢a(a>0)所确定，而薄片上各点的积分次
分的面密度等于该点到直角坐标下y轴的距离，试求其质心坐标。
