第十六章多元函数的极限与连续_多元函数的极限和连续

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第十六章 多元函数的极限与连续

§1平面点集与多元函数

1、判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并区分它们的聚点与界点？分析：由定义结合图形直接得。

(1)[a,b)[c,d)解：是有界集，区域，聚点：E={(x,y)|(x,y)[a,b][c,d]}界点：E={(x,y)|(a,y),(b,y),cyd或(x,c),(x,d),axb}(2){(x,y)|xy0}解：是开集，聚点：E=R2,界点：{(x,y)|xy=0}(3){(x,y)|xy=0}解：是闭集，聚点：E={(x,y)|xy=0}(4){(x,y)|y>x2}解：是开集，区域，聚点：E{(x,y)|yx2}，界点集：{(x,y)|y=x2}(5){(x,y)|x2,y2,xy2}解：是开集，有界集，区域，聚点：E{(x,y)|x2,y2,xy2}界点集：{(x,y)|x2,0y2}{(x,y)|y2,0x2}{(x,y)|xy2,0x2}(6){(x,y)|x2y21,y0,0x1}解：是闭集，有界点集，聚点：E{(x,y)|x2y21y0,0x1},界点：EE(7){(x,y)|x2y21或y0,1x2}解：是闭集，有界集，聚点：E{(x,y)|x2y21或y0,1x2}，E{(x,y)|x2y21,y0,1x2}(8){(x,y)|x,y均为整数}解：是闭集，界点集{(x,y)|x,y均为整数}1(9){(x,y)|ysin,x0}x1解：是闭集，聚点E{(x,y)|ysin,x0}x{(0,y)|1y1},EE2、试问集合{(x,y)|0

分析：画出它们表示的图形即可知结论，{(x,y)|0

解：不相同，因为点集E1={(x,y)|xa,0

证：若{Pn}E，且各点互不相同,PnP0，但limPnP0,对>0,NN+n当n>N时，有PnU0(P0,)P0是E的聚点.反之，若P0是E的聚点对11,P1U0(P0,)E.1对2=min{,(P0,P1)}，则P2U0(P0,)E.2显然(P2,P0)

4、证明：闭域必为闭集，举例说明反之不真。证：若D是闭域，由于闭是开域连同其边界所成点集，故对任意一点PE()若是开域中一点P是一内点P一定是聚点()若P是一界点P同样也是D的聚点(因为开域的边界上的界点是非弧上点)从而推得D上一切点都是D的聚点，所以D是闭集反之不真：如E={(x,y)|x2+y21或y=0,2x3}这里E的一切点都是聚点，且是E的全部聚点，所以E是闭集，然而E中的开域是E1{(x,y)|x2+y21}及E1{(x,y)|x2+y21}且E1E1E，所以E不是闭域

5、证明：点列{Pn(xn,yn)}收敛于P0(x0,y0)的充要条件是limxn=x0和limyn=y0

nn

证：“必要性”，若limPn=P0>0,NN+,当n>N时，就有PnU(P0,)n即 (Pn,P0)(xn-x0)2(yn-y0)2推得xn-x0(Pn,P0)，即limxn=x0nyn-y0(Pn,P0)，即limyn=y0n“充分性”，若limxn=x0，limyn=y0对0,NNnn

当n>N时，就有xn-x0,yn-y0221212=，22这时(Pn,P0)(xn-x0)2(yn-y0)2即PnU(P0,),所以limPn=P0n

6、求下列各函数的函数值1+31-3arctan(x+y)(1)，f(x,y)=,求f(,)arctan(x-y)22 2xyy(2)f(x,y)=2,求f(1,).xy2xx(3)f(x,y)=x2+y2-xyarctan,求f(tx,ty).y212arctan(1+3+1-3)1+31-3arctan192解:(1)f(,)16122arctan3arctan(1+3-1+3)221yyx2xy(2):f(1,)x12(y)2x2y2xtxx(3)f(tx,ty)=(tx)2+(ty)2-(tx)(ty)arctant2(x2+y2-xyarctan)tyy27、设F(x,y)=lnxlny，证明：若u>0,v>0，则 F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)证：右式=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=(lnx+lny)lnu+(lnx+lny)lnv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxylnuv=左式

8、求下列各函数的定义域，画出定义的图形，并说明是何种点集。

x2y2(1)f(x,y)=2xy2

定义域D={(x,y)|yx},是开集，但不是开域，图略。(2)f(x,y)=12x23y2

解：定义域D={(x,y)|2x23y20},是开集，也是开域.图略。(3)f(x,y)=xy解：定义域D={(x,y)|xy0},是闭集，也是闭域.图略。(4)f(x,y)=1-x2y21

解：定义域D={(x,y)|x1,y1},是闭集，但不是区域。图略。(5)f(x,y)lnxlny解：定义域D={(x,y)|x>0,y>0},是开集，也是开域。图略。

(6)f(x,y)=sin(x2y2)解：定义域D={(x,y)2kx2+y2(2k+1),k0,1,2,} 是闭集，但不是区域.(7)f(x,y)=ln(y-x)解：定义域D={(x,y)|y>x}，是开集，也是开域.(8)f(x,y)=e-(x2y2)2解：定义域D=R,是开集，又是闭集，是闭域又是开域.(9)f(x,y,z)=zx2y21

解：定义域D=R2，是开集也是闭集，是开域又是闭域.（10）f(x,y,z)=R2x2y2z21xyzr2222(Rr)

22222解：定义域{(x,y,z)rxyzR}不是开集，也不是闭集，是有界集。

9、证明：开集与闭集具有对偶性---若E是开集，则CE是闭集；若E是闭集，则CE是开集。分析：由开、闭集的定义。

证：(1)若E是开集PE且不为E的界点，若>0，使U(P，)E=点P有U(P，)CE.故P是CE的内点，从而也是CE的聚点；若P是E的界点，那么P同时也是CE的界点P是CE的聚点。从而CE的一切点都是CE的聚点.于是CE是闭集。(2)若E是闭集对PCE，即PE，则P不是E的聚点总存在P的某个邻域U(P，)，使U(P，)E=U(P，)CEP是CE的内点CE的每个点都是CE的内点，所以CE也是开集.10、证明：(1)若F1，F2是闭集，则F1F2与F1F2都是闭集证：先证：C(F1F2)=CF1CF2；C(F1F2)=CF1CF2若PC(F1F2)P(F1F2)PF1且PF2PCF1且PCF2PCF1CF2)C(F1F2)=CF1CF2反之，若QCF1CF2QCF1且QCF2QF1且QF2QF1F2QC(F1F2)C(F1F2)=CF1CF2故C(F1F2)=CF1CF2.类似可证C(F1F2)=CF1CF2由于F1，F2是闭集，由习题9知，CF1，CF2是开集PC(F1F2)PCF1CF21>0.有U(P，1)CF1且2>0.有U(P，2)CF2U(P，min{1，2})CF1CF=C(F1F2)是开集F1F2是闭集.而对QC(F1F2)QCF1CF2'1>0,有U(P，'1)CF1或者'2>0,有U(P，'2)CF2U{Q，min{'1,'2}}CF1CF2C(F1F2)C(F1F2)是开集，F1F2是闭集。(2)若E1，E2是开集，则E1E2与E1E2都为开集。证：E1，E2都为开集CE1，CE2都为闭集CE1CE2=C(E1E2)CE1CE2=C(E1E2)都是闭集(见(1))E1E2，E1E2(见习题9)(3)若F是闭集，E为开集，则FE为闭集，EF为开集证：先证：任何两个集A，B：AB=ACB因为：xABxA，xBxA，xCBxACB反之，yACB=yAyA，yByAB，所以AB=ACB由于 F是闭集，E为开集CF是开集，CE是闭集FCE是闭集FE为闭集，而ECF是开集，EF是开集。注：本题亦可以按定义证明：这里只证EF为开集，pEF，则pE,pF,由此知p为E的内点，p为F的外点，于是分别存在10和20,使得U(p;1)E,U(p;2)F=,取=min(1,2),则有U(p;)EF,即p是EF的内点，所以EF为开集。

11、试把闭域套定理推广 闭集套定理，并证明之.闭集套定理：设{Dn}是R2中的闭集列，它满足(i)DnDn+1,n1,2,(ii)dnd(Dn),limdn0n则存在唯一点P0D,n1,2,.其中为Dn非空点集证：任取点列PnDn,n=1,2,,由于Dn+pDn,Pn+p,Pn从而有 (Pn+p,Pn)dn0(n)根据柯西准则，P0R2,使limPnP0n对任意确定的nN+，对pN+，有Pn+pDn,再令p因为Dn是闭集，P0作为Dn的聚点必属于Dn，即 P0limPn+pDn,n=1,2,,p若还有P'0Dn,n=1,2,，则由(P0,P'0)(P0,Pn)(P'0,Pn)2d0(n)(P'0,Pn)0,即P0P'0，故定理成立.12、证明定理16.4定理：设DR2为一有界闭域，{}为一开域族，它覆盖D(即DU)，U则在{}中必存在有限开域1,23n，它覆盖了D(即D)，)证：因为DR2为一有界域a,b,c,d,使 Dn{(x,y)|axb,cyd}1反证法：若不存在有限个开域覆盖D，则取直线x=(a+b)及21y=(c+d)将区域划分成四个区域，这四个区域将D划分若个2区域，且其中至少有一个闭域不能被有限个开域所覆盖.则D1D且记上述闭域为D1，而A中包含A1则：D1D，A1A且d1d(D1)1(ba)2(dc)22记A1{(x,y)|a1xb1,c1xd1}11b1a1(ba),d1c1(ba)22同理将长方形区域，划分成四个长方形子域，而D1被划分成若个闭子域，其中至少有一个闭子域D2，不能被有限个开域所覆盖。记上述闭域为D2，而A1中包含D1的区域为A2.1(b1a1)2(d1c1)221记A2{(x,y)|a2xb2,c2yd2}b2a22(ba),d2c22112(dc).如此继续，得一闭域套{Dn}，其中bnann(ba)221dncnn(dc),n3,4,2且满足(i)Dn+1Dn,n1,2,3,，且Dn不能被有限中开域所则D2D1，A2A1，d2d(D2)覆盖.(ii)dnd(Dn)所以limdn0n12n(ba)2(dc)2.根据闭域定理，存在唯一点P0Dn，N=1,2，3，根据闭域定理，存在唯一点P0Dn，n=1,2，3，存在某个区域，使P0存在P0的某个邻 域U(P0)使U(P0)但因为limdn0NN,当n>N时，就有n

DnU(P0)与假设矛盾故必存在有限个区域1,2,n，使它们覆盖D.