极限的四则运算函数的连续性_极限与函数的连续性

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极限的四则运算函数的连续性

极限的四则运算，函数的连续性

二.教学重、难点： 1.函数在一点处连续

2.函数在开区间，闭区间上连续 3.连续函数的性质

（1）若与在处连续，则，（）在处也连续。

（2）最大、最小值，若是[]上的连续函数，那么在上有最大值和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。

【典型例题】 [例1] 求下列极限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2] 求下列各数列的极限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式

[例3] 已知数列是正数构成的数列，且满足，其中是大于1的整数，是正数。

（1）求的通项公式及前项和；（2）求的值。解：

（1）由已知得

∴ 是公比为的等比数列，则

（2）① 当时，原式 ② 当时，原式 ③ 当时，原式

[例4] 判定下列函数在给定点处是否连续。（1）在处；（2），在处。解：（1），但

故函数在处不连续（2）函数在处有定义，但，即

故不存在，所以函数在点处不连续。

[例5] 已知函数，试求：（1）的定义域，并画出的图象；（2）求，；

（3）在哪些点处不连续。解：

（1）当，即时，当时，不存在 当时，当时，即或时，∴

∴ 定义域为（）（），图象如图所示

（2）

∴ 不存在（3）在及处不连续

∵ 在处无意义 时，即不存在∴ 在及处不连续

[例6] 证明方程至少有一个小于1的正根。证明：令，则在（0，1）上连续，且当时。时，∴ 在（0，1）内至少有一个，使

即：至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小于1的正根。

[例7] 函数在区间（0，2）上是否连续？在区间[0，2]上呢？ 解：（且）任取，则

∴ 在（0，2）内连续，但在处无定义 ∴ 在处不连续，从而在[0，2]上不连续

[例8] 假设，在上不连续，求的取值范围。

解：若函数，在上连续，由函数在点处连续的定义，必有，因为，所以，所以，若不连续，则且。

[例9] 设

（1）若在处的极限存在，求的值；（2）若在处连续，求的值。解：

（1），因为在处极限存在，所以，所以，即（2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且，由（1）知，且，又，所以。

【模拟试题】 一.选择题：

1.已知，则下列结论正确的是（）

A.B.不存在C.=1

D.= 2.的值为（）

A.5

B.4

C.7

D.0 3.的值为（）

A.1

B.0

C.D.4.的值为（）

A.B.C.1

D.5.若，则的取值范围是（）

A.B.C.D.6.若在上处处连续，则常数等于（）

A.0

B.1

C.2

D.7.在点处连续是在点处连续的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

8.的不连续点是（）

A.无不连续点

B.C.D.二.解答题： 1.求下列极限：

（1）

（2）

（3）2.为常数，1，求。

3.已知

（1）在处是否连续？说明理由；（2）讨论在和上的连续性。

【试题答案】 一.1.B

2.C

3.C D

二.1.解：（1）（2）

① 当时，∴

② 当时，∴

③ 当时，（3）2.解：∵

∴

∴，4.B

5.C

6.C

7.A

8.3.解：

（1）∵，则

∴

∵，且

∴

∵

∴ 不存在∴ 在处不连续（2）∵

∴ 在上是不连续函数 ∵

∴ 在上是连续函数。