均值不等式的应用_均值不等式及其应用

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均值不等式的应用

教学目标：

1.掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理

2.运用基本不等式和极值定理熟练地处理一些极值与最值问题 教学重点：应用 教学难点：应用

教学方法：讲练结合 教

具：多媒体 教学过程

一、复习引入：

1.算术平均数与几何平均数定义，平均不等式 2.算术平均数与几何平均数之间的关系----并推广：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 3.极值定理：积定和最小；和定积最大

注：①极值定理成立的条件：一正二定三相等 ②应用时应该注意的问题： 4.练习：

3①若x0,求y12x的最大值.xx22x2②4x1,求的最值.2x2y221,求x1y2的最大值.③xR,且x21④ yx(23x)⑤y14x

54x

二、新授：

1.基本应用：

掌握用重要不等式求最值的方法，重视运用过程中的三个条件：正数、相等、常数

4例1.求函数yx的值域.x(,4]或[4,)

例2.已知x2y1,x、yR，求x2y的最大值.11xx4y31x2y32)(2)分析：x2yxx4y（443432721当x=4y即x,y时取等号.36例3.设a,b,x,yR，且有a2+b2=3,x2+y2=6,求ax+by的最大值.分析：运用柯西不等式 2．变形运用：

对于某些复杂的函数式，需适当变形后，再运用重要不等式求最值.23例4.求ysinxcos2x(x(0,))函数的最大值.29ab例5.已知a,b,x,yR且1，求xy的最小值.xy分析：此题若能灵活变形，运用重要不等式求最值，则能起到事半功倍的效果.解法一：用判别式法----转换为一个未知数利用判别式 解法二：换元法----令xacsc2,ybsec2 解法三：转换为一个字母利用基本不等式求解

ab解法四：利用xy=(xy)()

xy11变形：已知a,b,x,yR，且x2y1,求u的最小值.xy3.综合运用：

例6.已知直角三角形的内切圆半径为1，求此三角形面积的最小值.解：略.例7.将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个 无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解：设剪去的小正方形的边长为x

a则其容积为Vx(a2x)2,(0x)

2114x(a2x)(a2x)32a3V4x(a2x)(a2x)[]

44327aa2a3当且仅当4xa2x即x时取“=”即剪去的小边长为时，容积为

6627

三、练习：

663x2的最小值，y23x的最小值.xx2.已知a,b满足abab3,求ab的范围.1.x0时求y3.已知x,y满足xyxy1，求xy的最小值.4.已知a2b210，求a+b的范围.5.已知x0,y0,z0，求(1x2)(1y2)(1z2)8xyz的解.四、小结：

五、作业：

1.若0x1, 求yx4(1x2)的最大值

2．制作一个容积为16m3的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）(R2m,h4m)

六、板书设计：