函数的凸性与拐点解读_函数的凸性与拐点

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九江学院理学院

《数学分析》教案

§ 5 函数的凸性与拐点

一． 凸性的定义及判定：

1． 凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数f(x)在区间I上连续.若对x1,x2I 和(0,1)恒有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)

则称曲线 yf(x)在区间I的凸函数, 反之, 如果总有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)

则称曲线 yf(x)在区间I的凹函数.若在上式中, 当x1x2时, 有严格不等号成立, 则称曲线yf(x)在区间[a,b]上是严格凸(或严格凹)的.引理 yf(x)为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: x1x2x3 , 总有

f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)x2x1x3x2定理6.13 设函数f(x)在区间I上可导, 则下面条件等价:(i)

为I上凸函数

(ii)

为I上的增函数(iii)对I上的任意两点x1,x2 有

f(x2)f(x1)f(x1)(x2x1)

2． 利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 6.14 设函数f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数, 则在(a,b)内

⑴ f(x)0,  f(x)在(a,b)内严格上凸;⑵ f(x)0,  f(x)在(a,b)内严格下凸.证法一(用Taylor公式)对x1,x2(a,b), 设x0

x1x2, 把f(x)在点 2九江学院理学院

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x0展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有

f(x1)f(x0)f(x0)(x1x0)f(1)(x1x0)2, 2f(2)(x2x0)2.2 f(x2)f(x0)f(x0)(x2x0)其中 1 和 2在 x1 与 x2 之间.注意到 x1x0(x2x0), 就有

f(x1)f(x2)2f(x0)1f(1)(x1x0)2f(2)(x2x0)2, 2于是, 若有f(x)0,  上式中0,  f(x1)f(x2)2f(x0), 即 f(x)严格上凸.若有f(x)0,  上式中0,  f(x1)f(x2)2f(x0), 即f(x)严格下凸.证法二(利用Lagrange中值定理.)若f(x)0, 则有f(x)↗↗.不妨设 x1x2, 并设 x0x1x2, 分别在区间[x1,x0]和[x0,x2]上应用2Lagrange中值定理, 有

1(x1,x0),  f(x0)f(x1)f(1)(x0x1), 2(x0,x2),  f(x2)f(x0)f(2)(x2x0).有x11x02x2,  f(1)f(2), 又由 x0x1x2x00，

f(1)(x0x1)

x1x2，f(x)严格下凸.2九江学院理学院

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3． 凸区间的分离: f(x)的正、负值区间分别对应函数f(x)的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.例1 确定函数f(x)xex的上凸、下凸区间和拐点.解 f的定义域为( , ),f(x)ex(12x2), f(x)2x(2x23)ex.令f(x)0, 解得

x12223 , x20 , x323.2在区间( , 3333),( , 0),(0 ,),(, )内f 的符号依次为 222233333232 ,  ,  , ， .拐点为: 2 , 2e ,(0 , 0),  2 , 2e.倘若注意到本题中的f(x)是奇函数, 可使解答更为简捷.Jensen不等式及其应用: Jensen不等式: 设函数f(x)为区间[a,b]上的凸函数, 则对任意 xi[a,b], i0,i1,,i1, 有Jensen不等式: i1nf(ixi)if(xi),i1i1nn且等号当且仅当x1x2xn时成立.1n证 令x0xk, 把f(xk)表为点x0处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿nk1前述定理的证明，注意(xk1nkx0)0, 即得所证.九江学院理学院

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例2 证明: 对x,yR, 有不等式 exy21x(eey).2例3 证明均值不等式: 对a1,a2,,anR, 有均值不等式

aa2an na1a2an  1.111na1a2ann证 先证不等式 na1a2an  a1a2an.n 取f(x)lnx.f(x)在(0 , )内严格上凸, 由Jensen不等式, 有

1n1n1n1nlnnxklnxkf(xk)fxklnxk.nk1nk1k1nk1nk1由f(x)↗↗  na1a2an  na1a2an.n对111，,R用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.a1a2an例4 证明: 对x1,x2,,xnR, 有不等式

22x1x2xnx12x2xn .(平方根平均值)

nn222例5 设xyz6，证明 xyz12.2解 取f(x)x, 应用Jensen不等式.例6 在⊿ABC中, 求证 sinAsinBsinC33.2解 考虑函数f(x)sinx, 0x.fsinx 0 , 0x . sinx在 区间(0 , )内凹, 由Jensen不等式, 有

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sinAsinBsinCf(A)f(B)f(C)3ABC. fsin33332 sinAsinBsinC33.2例7 已知a,b,cR, abc1.求证 33a733b733c76.解 考虑函数f(x)3x, f(x)在(0 , )内严格上凸.由Jensen不等式, 有

3a733b733c7f(3a7)f(3b7)f(3c7)

f33a73b73c7f(abc7)f(8)382.

3 33a733b733c76.例8 已知 0 , 0 , 332.求证 2. 解 函数f(x)x在(0 , )内严格下凸.由Jensen不等式, 有

33332()3f()f()1,  f228222()38 ,  2.