四川省绵阳市届高三上学期一诊数学试卷(理科) 含解析_绵阳高三一诊理科数学
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2017-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷
（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.设集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，则A∩B=（）A.（2，4）B.{2，4} C.{3} D.{2，3} 【答案】D 【解析】由题意，得；故选D.2.若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（）A.x＜y B.【答案】C 【解析】因为，且，所以，即，则
；故选C.2
2，则 C.x＞1 D.y＜1
223.已知向量 =（x﹣1，2），=（x，1），且∥，则A.B.2 C.2 D.3 【答案】D 【解析】因为故选D.，所以，解得，则
=（），；点睛：利用平面向量的坐标形式判定向量共线或垂直是常见题型： 已知4.若，则，则tan2α=（）
D.，.A.﹣3 B.3 C.【答案】D 【解析】因为，所以，则 ；故选D.5.某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米． A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】C 【解析】设该职工的月实际用水为x立方米，所缴水费为y元，由题意得，即。
根据题意得该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以解得。选C。
x06.已知命题p：∃x0∈R，使得e≤0：命题q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b﹣2|，则a﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（）A.p B.¬q C.p∨q D.p∧q 【答案】B 【解析】因为函数的值域为，所以命题为假命题，为真命题；故选B.7.在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，时，“，所以成立，此时，成立；当，所以不成立；综上知“
时，如取”是”的”的充分不必要条件，选A.cosϖx（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将8.已知函数f（x）=sinϖx+y=f（x）的图象向右平移 个单位得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是（）A.x=0 B.【答案】C 【解析】因为
图象的最高点
与相邻最低点的距离 C.D.为，所以，即，解得，则将的，即图象向右平移个单位，得到是函数 的对称轴方程，经验证，得
到的图象，令
是其中一条对称轴方程；故选C.的变换是易错点，要注意，而不是
.点睛：在处理三角函数的图象变换时，由平移的单位仅对于自变量（）而言，若本题中的图象向右平移个单位，应是9.已知0＜a＜b＜1，给出以下结论： ① ；② ③
④
则其中正确的结论个数是（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】易知，正确，错误；故选B.210.已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（）A.2﹣2 B.1﹣2 C.﹣2 D.﹣1 【答案】D 【解析】因为单调递增，即为，显然在，所以当，即函数有零点，（1）若，即，②若
时，单调递减，当，因为，即
或，此时，若
时，所以的零点在[﹣
存在唯一零点，即符合题意；（2）若2，0]上只有一个零点，则，解得
在[﹣2，0]上有两个零点，则
；故选D.，即的最小值为点睛：本题考查两个函数的零点问题，难点是根据二次函数的零点分布情况求参数；利用二次函数的零点分布求参数，往往是看二次函数的开口方向、判别式的符号、对称轴与所给区间的关系、区间端点函数值的符号进行判定.11.已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+A.[﹣2，2] B.C.的取值范围是（）D.【答案】B 【解析】∵函数∴则则存在则故；故选B．，其中，的图象都相切，得，，若存在两条互相垂直的直线与函数，使，由，其中点睛：求有关三角函数的最值或值域问题，主要有以下题型： ①化为形成②形如“行求解.12.若存在实数x，使得关于x的不等式成立，则实数a的取值集合为（）
A.{} B.[，+∞）C.{} D.[，+∞）【答案】C 【解析】不等式表示点，即为距离的平方不超过，即最大值为．由相切的直线的切点为，在直线
上，解得，+x2﹣2ax+a2≤（其中e为自然对数的底数）
型：一般是利用二倍角公式、两角和差公式、配角公式进行恒等变，再利用三角函数的单调性进行求解；
”，一般是利用换元思想（令），再利用二次函数的性质进设与直线平行且与切点为，可得切线的斜率为，由切点到直线的距离为直线上的点与曲线，解得，则的取值集合为的距离的最小值，可得
；故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知变量x，y满足约束条件【答案】3 【解析】将直线化为，作出可行域和目标函数基准直线
（如图所示）．当，则z=2x+y的最小值是_____．
向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，由图象可知当直线经过点时，z取得最小值，最小值为．
14.已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是_____． 【答案】
【解析】∵函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）为偶函数，且在(-∞,0）上单调递减。
由题意得不等式f（2x+1）＜1等价于f（2x+1）＜f（2），∴解得或。
。答案：。，所以原不等式的解集为15.在△ABC中，AB=2，AC=4，cosA=，过点A作AM⊥BC，垂足为M，若点N满足则 =_____．
【答案】
【解析】以为原点，以直角坐标系，在由余弦定理可得∴，∴，中，所在的直线为轴，以
所在的直线为轴，建立如图所示的平面，由正弦定理可得，得，∵∴，在中，∵点满足∴∴∴∴，，.16.如果{an}的首项a1=2017，其前n项和Sn满足Sn+Sn﹣1=﹣n2（n∈N*，n≥2），则a101=_____． 【答案】1917 【解析】∵∴即∴故∴数列则
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在△ABC中，D是边BC上一点，且，BD=2．，的所有奇数项构成以
.为首项，以
为公差的等差数列，，，∴，（1）求∠ADC的大小；（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）（2）【解析】试题分析：
（1）利用正弦定理，根据角的范围写出角，利用内角和即可求出；（2）利用余弦定理求出边长CD，再根据面积公式即可求出.试题解析：
（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理得∴ ．，∴，(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2． 在△ACD中，由余弦定理：即，整理得CD2+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，∴ S△ABC=
．
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.18.设公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列（Ⅰ）求Tn；
（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tTn＜an+11恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）（2）
的前n项和为Tn．
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等差数列前项和公式、通项公式结合等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，再利用裂项求和法进行求和；（Ⅱ）分离未知数，利用基本不等式进行求解.试题解析：（Ⅰ）设{an}的公差为d（d＞0），由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，①…
又∵a1，a4，a13成等比数列，∴a4=a1a13，即（a1+3d）=a1（a1+12d），化简得3d=2a1，②… 联立①②解得a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1． ∴∴（Ⅱ）∵tTn＜an+11，即∴又∴∴t＜162．
点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其主要适用于以下题型； ①③；②
.的部分图象如图所示．
； ≥6，当且仅当n=3时，等号成立，≥162，…，…，． 2219.若函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，（I）设x∈（0，）且f（α）=，求sin 2a的值；（II）若x∈[ ]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣）的最大值为，求实数λ的值．
【答案】（1）（2），进而求出值，可得函数【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的图象求出最值和周期，可得的解析式，再利用和差公式进行求解；；（Ⅱ）分类讨论满足条件的实数的值，综合讨论结果，可得答案.试题解析：（Ⅰ）由图得，A=2． …，解得T=π，于是由T=∵∴∴由已知因为∴∴==
． …，…，于是0≤≤1．…
=0时，g（x）取得最大值1，与已知不符． ≤，=，即． …，即，所以
．，，得ω=2．…，即，k∈Z，又，故，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，===∵x∈∴0≤①当λ＜0时，当且仅当②当0≤λ≤1时，当且仅当由已知得2λ+1=，解得λ=． ③当λ＞1时，当且仅当
2=λ时，g（x）取得最大值2λ+1，2=1时，g（x）取得最大值4λ﹣1，由已知得4λ﹣1=，解得λ=，矛盾． 综上所述，λ=．…
点睛：由三角函数的图象求函数低点的纵坐标列出关于的方程组求得值的解析式的一般思路：先利用最高点和最，利用相邻零点间的距离、相邻对称轴间的距离、零点和对称轴间的距离求出值，再代入最高点或最低点的坐标求出值.20.已知函数f（x）=kex﹣x3+2（k∈R）恰有三个极值点xl，x2，x3，且xl＜x2＜x3．（I）求k的取值范围：（II）求f（x2）的取值范围． 【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，整理得进行求解；（Ⅱ）求出函数的导数，求出可.试题解析：（Ⅰ）f'（x）=kex﹣3x2． 由题知方程ke﹣3x=0恰有三个实数根，整理得．… x2，令，根据函数的单调性的范围即的解析式，根据函数的单调性求出令，则，由g'（x）＞0解得0＜x＜2，由g'（x）＜0解得x＞2或x＜0，∴g（x）在（0，2）上单调递增，在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减．… 于是当x=0时，g（x）取得极小值g（0）=0，当x=2时，g（x）取得极大值
． …
且当x→﹣∞时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→0，∴．…
x
2（Ⅱ）由题意，f'（x）=ke﹣3x=0的三个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，∴0＜x2＜2，且，…
∴令μ（x）=﹣x+3x+2（0＜x＜2），则μ'（x）=﹣3x+6x=﹣3x（x﹣2），当0＜x＜2时，μ'（x）＞0，即μ（x）在（0，2）单调递增，… ∴f（x2）∈（2，6）． …
21.已知函数f（x）=axlnx﹣x+l（a∈R），且f（x）≥0．（I）求a；
（II）求证：当，n∈N*时，【答案】（1）1（2）见解析
232，…
试题解析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）． 若a＜0，f（2）=2aln2﹣1＜0，与已知矛盾．…
若a=0，则f（x）=﹣x+1，显然不满足在（0，+∞）上f（x）≥0恒成立．… 若a＞0，对f（x）求导可得f'（x）=alnx+a﹣1． 由f'（x）＞0解得∴f（x）在（0，∴f（x）min=，由f'（x）＜0解得0＜）上单调递减，在（=1﹣a
． …
≥0成立，即
≤恒成立．，+∞）上单调递增，∴要使f（x）≥0恒成立，则须使1﹣a两边取对数得，≤ln，整理得lna+﹣1≤0，即须此式成立． 令g（a）=lna+﹣1，则，显然当0＜a＜1时，g'（a）＜0，当a＞1时，g'（a）＞0，于是函数g（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴g（a）min=g（1）=0，即当且仅当a=1时，f（x）min=f（1）=0，f（x）≥0恒成立，∴a=1满足条件． 综上，a=1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x＞1时，xlnx﹣x+1＞0，即lnx＞
恒成立．
令（n∈N*），即＞，即同理，…，…，，…
将上式左右相加得：
==ln4．=2ln2…
22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设
（α为参数），以坐标原点O，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．
【答案】（1）ρ=6cosθ+8sinθ．（2）........................试题解析：（1）∵曲线C的参数方程是
（α为参数），2∴将C的参数方程化为普通方程为（x﹣3）+（y﹣4）=25，即x+y﹣6x﹣8y=0． …
∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ． …（2）把∴把∴∴S△AOB=代入ρ=6cosθ+8sinθ，得． …
代入ρ=6cosθ+8sinθ，得． …
=
=
． …，2223.已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）≥6；
（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值． 【答案】（1）（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．（2）的【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分段讨论法进行求解；（Ⅱ）利用三角不等式求出函数最值，再利用基本不等式进行求解.试题解析：（1）当x≤
时，f（x）=﹣2﹣4x，由f（x）≥6解得x≤﹣2，综合得x≤﹣2，… 当时，f（x）=4，显然f（x）≥6不成立，…
当x≥时，f（x）=4x+2，由f（x）≥6，解得x≥1，综合得x≥1，…
所以f（x）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（2）f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4，即f（x）的最小值m=4． … ∵a•2b≤，…，由2ab+a+2b=4可得4﹣（a+2b）≤解得a+2b≥∴a+2b的最小值为，．…
