05秋期末复习辅导_05秋期末复习辅导1

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第2章 不等式

重点难点

1.熟练掌握常用的不等式的解法和不等式的证明方法。2.掌握柯西不等式和均值不等式及其应用。

3.理解凸函数定义和性质，掌握它们的某些应用。

一、初等不等式的求解和证明

23的解集是（）．

x22(A)(―,―)(B)

(―,―)(0,+)

3322(C)(－,0)(0,+)

(D)(―,0)33[分析]求解或证明含变量的不等式时，应注意函数的定义域和隐含条件。

22+3x解：设f(x)=+3= ,则f(x)的定义域为(∞,0)∪(0,∞)，即x≠0

xx例１ 不等式欲使f(x)>0，则必有(2+3x)x>0

22把实数分为区间(,),(,0),(0,)，显然

332在(,)和(0,)内，f(x)0；

32所以不等式的解为(,)(0,).所以选择B。

3例2 解不等式x23x2x3 解 方法1 设f(x)x23x2x3 不等式的定义域为(,1)(2,)，7方程f(x)x23x2(x3)0的根为x，9若x30，则x3，将定义域分为

77(,3),(3,),(,1),(2,)四个区间

997经讨论知在(,3),(3,)内f(x)0

977所以不等式的解区间为(,)，即不等式的解为x。

99方法2 不等式的定义域为(,1)(2,)，解不等式x23x2x3等价于解

x23x20（Ⅰ）或

x30x23x2(x3)2x23x20（Ⅱ）x30解不等式（Ⅰ）得解为3x所以不等式的解为x

7，解不等式（Ⅱ）得解为x3，97。9例3 试列出证明不等式常用的方法．

一般初等不等式的求解和证明方法有 方法1.欲证AB，可证Ａ－Ｂ>0;方法2.欲证Ａ>Ｂ，可证

A>1, 其中Ａ>0, Ｂ>0;B方法3.欲证AB，可证AC,CB;方法4.可将某式变为平方项任何数的平方大于等于０;方法5.用数学归纳法;

二、几个重要的不等式及其应用 例4.写出柯西不等式和均值不等式 1．柯西不等式

对于任意两组实数a1,a2,…,an和b1, b2,…bn，有

2222(a1b1a2b2anbn)2(a12a2an)(b12b2bn)当aa1a2n时，等号成立。b1b2bn2．均值不等式（算术平均数大于或等于几何平均数）

n个正实数的算术平均数大于或等于这n个数的几何平均数 即 a1a2anna1a2an；

n当a1a2an时，不等式的等号成立

例5．设x，y，z为非负实数，且满足

9x2+12y2+5z2=9 求f(x,y,z)=3x+6y+5z的极大值．

[分析] 利用柯西不等式可以求出某式的极大（极小）值或最大（最小）值（1）若所给的式子含有带平方项的和式，则多考虑用柯西不等式（2）求某式的极大（极小）值或最大（最小）值用放缩法。

当求极大值或最大值时，用不等式放到最大，则等号成立时，求得结果。当求极小值或最小值时，用不等式缩到最小，则等号成立时，求得结果。

解 利用柯西不等式

125z5 212 (9x212y25z2)(15)＝9981

4所求极大值是81． 3x+6y+5z＝3x×1+12y

例6

若a1,a2,,an都是正数，求证：

(a1a2an)(111)≥n2 a1a2a1证明

构造两个实数列

则由柯西不等式得

a1,a2,an;111 ，,a1a2an[(a1)2(a2)2(an)2][(121212)()()] a1a2an≥(a1a2an)(111)a1a2an即(a1a2an)(111)≥n2 a1a2an

例7．设x，y，z为非负实数，且满足3x+2y+z=9, 求f(x,y,z)=xyz的极大值．

[分析] 利用均值不等式也可以求出某式的极大（极小）值或最大（最小）值（1）若所给的式子含有一次乘积项，则多考虑用均值不等式（2）求某式的极大（极小）值或最大（最小）值用放缩法。

当求极大值或最大值时，用不等式放到最大，则等号成立时，求得结果。当求极小值或最小值时，用不等式缩到最小，则等号成立时，求得结果。

3x2yz33x2yz33213xyz 解：利用均值不等式

32332634xyz3，当3x2yz时，即x,y332,z2332

3633

3．其它著名不等式参看教材

三、凸函数及其应用

例8 叙述凸函数的定义：

（1）如果函数f(x)满足条件：对任意x1与x2，有f(q1x1q2x2)q1f(x1)q2f(x2)

其中q10,q20,且q1q21，则称f(x)是上凸函数．（2）如果函数f(x)满足条件：对任意x1与x2，有f(q1x1q2x2)q1f(x1)q2f(x2)

其中q10,q20,且q1q21，则称f(x)是下凸函数．

说明 1.上凸（下凸）函数的定义还可以推广到n个节点的情形。

2.记忆上凸（下凸）函数的定义时，把f(q1x1+q2x2)为曲线的纵坐标，q1f(x1)+q2f(x2)为端点连线的纵坐标，若满足f(q1x1q2x2)q1f(x1)q2f(x2)为上凸函数；若满足f(q1x1q2x2)q1f(x1)q2f(x2)为下凸函数．

22例9．若x1x2xn1,求x12x2的最小值。xn解 设f(x)x2，已知f(x)是下凸函数，对任意的x1,x2,,xn 且x1x2xn1，有

22x12x2xnf(x1)f(x2)f(xn)nn

xx2xn11f(1)f()2nnn122所以x12x2的最小值为。xnn例10 如果函数f(x)满足条件：对任意x1与x2，有

f(q1x1q2x2)q1f(x1)q2f(x2)其中（），则称f(x)是上凸函数．

(A)q10,q20

(B)q1,q20且q1q21

(C)q10,q20,且q1q21

(D)q10,q20且q1q21 答案：B