数列求和的常用方法_常用数列求和方法

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数列求和的常用方法

一、公式法

1、差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d2

2(q1)na1n2、等比数列求和公式：Sna1(1q)a1anq (q1)1q1q

例

1、设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列．

（1）求数列{an}的等差数列．

（2）令bnlna3n1，n1求数列{bn}的前n项和T．，2，二、倒序相加法

若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.2x1 例

2、设函数f(x)x的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若(OP1OP2)22

2且点P的横坐标为1.2

2n3nnn（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值； *（II）若Snf()f()f()f(),nN,求Sn;

1n

三、裂项相消法：

如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

（1）

1nn

1n1n

（2）

 1111

[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)

（3）

若数列{an}为等差数列，an0，公差d0，

aa11d1111

n1n,()anan1anan1anan1anan1danan1

1111111111

}的前n项和Sn()()()

da1a2da2a3danan1anan1

则数列

1111aan

。()n11

da1an1da1an1a1an1

例

3、求和：Sn。

1 1447710(3n2)(3n1)

四、错位相减法

若数列cn的通项公式cnanbn，其中an、bn中一个是等差数列，一个是等比数列求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。这种方法叫错位相减法。例

4、求数列1，3a，5a2，7a3，… …(2n-1)an-1，… …(a1)前n项和。解: 因sn= 1+3a+5a2+7a3+… …+(2n-1)an-1(1)

(1)乘以a得：a.sn= a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an(2)

(1)-(2)得：(1-a)sn= 1+2a+2a2+2a3+… +2an-1+(2n-1)an

=2(1+a+a2+a3+…+an-1)-(2n-1)an-

111an22n1an1

1a

21an2n1an1

所以：sn

21a1a





五、拆项求和法

若数列cn的通项公式为cnanbn，其中an、bn中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般利用拆项求和法。

23、4例

5、求数列

1、解：因为ann所以Sn1

1214181、的前n项的和。16n

2111232481

nn

2

123

1111

nn

2482

1112nn122nnn1n1

22212

数列求和练习题

1．在数列{an}中，an

1nn

1,若其前n项和Sn9，则项数n为

（）

A．9 B．10 C．99 D．100

－

2．数列1，（1+2），（1+2+22），„，（1+2+22+„+2n1），„的前n项和等于

A．2

n1

（）

n B．2

n1

n2 C．2n1

n

D．2n2D．2

（）（）

n

3．设Sn1234(1)n1n,则S17S33S50=

A．－1

B．0

C．1

4．数列1，111，,的前n项和为12123123n

B．

A．

n n12n

n1

C．

n(n1)

D．

n(n1)

（）

222

5．数列{an}的前n项和Sn2n1,则a1a2an

D．(41)

A．(21)

n2

B．(21)

n

C．41

n

3n

6．数列{an}中,an4n1,令bn

A．n

a1a2an,则数列{bn}的前n项和为（）

n

C．n(n1)

D．n(2n1)

B．n(n2)

7．数列1,2,3,4,51214111,6,的前10项之和为81632

111x2

f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f()＝8．已知f(x)，则

2341x2

9．已知{an}的前n项和Snn24n1,则|a1||a2||a10|的值为10．已知数列{an}的通项公式是an,则前n项和为

n25n6

n11、已知数列xn的首项x13，通项xn2pnpnN*,p,q为常数，且x1,x4,x5成等差数列。求：（I）p,q的值；(II)数列xn前n项和Sn的公式。



12．数列{an}的前n项和为Sn，且满足a11,2Sn(n1)an,（I）求an与an1的关系式，并求{an}的通项公式；（II）求和Wn

.222

a21a31an11

13.在数列

ann中，a11，an12an2.(I)设ban

n2

n1

.证明：数列bn是等差数列；

求数列an的前n项和Sn(II)