高等数学第六版(同济版)第八章复习资料汇总_同济六版高等数学讲义

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第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算

一、向量的相关概念 1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2.向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为 或.3.向量的模：称向量的大小为向量的模，记为.4.自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5.单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作.6.零向量：称模为0的向量为零向量，记作 7.两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作.(即两个向量平移后重合 8.两向量的夹角：，9.两向量平行：若非零向量与所成的角或，则称的与平行，记作.规定: 零向量与任何向量平行 10.两向量垂直：若非零向量与所成的角，则称的与垂直，记作 注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直 11.向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线 12.向量共面：将个向量的起点放到同一点时，若个终点与公共起点在一个平面上，则称这个向量共面.二、向量的线性运算 1．向量的加减法(1).向量的加法 ①．运算法则：设有向量与，求与的和.I.三角形法则： II.平行四边形法则：.②.运算规律： 1°.交换律： 2°.结合律： 注:，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即.(2).向量的减法 ①．负向量：称与向量同模反向的向量为它的负向量，记作 ②.两向量的差：称向量与向量的负向量的和为与的差向量，记作.注：特别地，当时，.③．运算法则：设有向量与，求与的差.I.平行四边形法则：.II.三角形法则：.(3).运算定理：.2．向量与数的乘法(1).定义：称向量与实数的乘积为向量的数乘.注：1°.规定是一个向量 2°.3°.若，则与同向；若，则与反向；若，则.(2).运算规律： ①． 结合律：.②． 分配律：.(3).性质 ①．向量的同向单位向量：，.②．向量平行的充要条件(定理)：若向量，则向量平行于 唯一的实数，使 ③．数轴上的点的坐标为的充要条件为：，其中向量为数轴的单位向量，实数 称为有向线段的值.例1.如图，用、表示、、以及，进而.又，故，进而

三、空间直角坐标系 解：由于，故

1.空间直角坐标系：坐标系或坐标系 2.坐标面：面；面；面.3.卦限：；； ；； ；； ； 4.空间点的坐标：(向径).(1).向量的坐标分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐标：.(4).点的坐标： 注：1°.面上点的坐标：； 2°.轴上点的坐标：； 面上点的坐标：； 轴上点的坐标：； 面上点的坐标：.z轴上点的坐标：

四、利用坐标作向量的线性运算：设，.1.向量线性运算的坐标表示：(1).加减法：.(2).数乘：(3).两向量平行： 注：1°.若，则 2.若，则 例2.已知，求线性方程组的解向量 解：方程①乘2减去方程②乘3得：，方程①乘3减去方程②乘5得： 例3.已知两点、在直线AB上求一点M，使.及实数，解：因为，因此有，整理得，代入坐标得，从而得到点M的坐标 注：线段AB中点坐标公式

五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间距离公式：(1).向量的模：，.(2).两点间距离公式：点与之间的距离： 推导：因为，所以 例4.求证以三点、、为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点间距离公式，有 ； ；，由于，故为等腰三角形.例5.在z轴上求与两点、等距离的点.解：由题可设所求点为，有，即，整理得，故所求点为.例6.已知两点、，求与同向的单位向量 解：因为，所以，于是 2.方向角与方向余弦(1).向量的方向角：称非零向量与三条坐标轴的夹角为向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.； 2°..例7.已知两点、，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，从而有 于是，，由此可得 例8．设点A位于第I卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为的坐标、，且，求点A，解：由于，并且，有 由题可知，故，于是，故点A的坐 标为.3.向量在轴上的投影(1).向量在轴上的投影：设向量与u轴正向的夹角为，称数为向量在u轴上的投影，记作或 注：向量在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即，(2).投影的性质： ①．.②． 例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|= a，求在 解：记，有，于是.§8.2数量积、向量积

一、两向量的数量积 1．常力沿直线所作的功： 2.两向量的数量积(1).定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积为与的数量积，内积或点积，记作 注：1°.2°..3°..(2).运算规律 ①．交换律：.(由定义可知)②．分配律： ③．结合律：； 3.两向量数量积的坐标表示式：若，则 4.两非零向量夹角余弦的坐标公式： 例1.试用向量证明三角形的余弦定理：.解：在中，记，，，有，从而，即

例2.已知三点、和，求 解：由题可得，于是，故 例3.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m(液体的密度为 解：单位时间内经过该区域的液体的体积为，所求质量为.二、两向量的向量积 1.力对支点的力矩： 模：； 方向：与及的方向成右手规则.2.两向量的向量积(1).定义：设有向量与，夹角为，称为与的向量积(叉积、外积)，其中，方向与和的方向符合右手规则，记作.注：1°.2°.3°.的几何意义：以与为邻边的平行四边形的面积.(2).运算规律 ①．反交换律：.②．分配律：.③．结合律：(3).两向量的向量积的坐标表示式：设，则.例4..证明：在三角形中，记，，由于，即，整理得.例5.设，计算 解：.例6.已知三角形ABC的顶点分别是、和，求三角形ABC的面积 解：由于，有，于是.例7.设刚体一角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解：在轴l上引进一个角速度向量，使，其方向与旋转方向 符合右手法则，在l上任取一点O，作向径，它与的夹角为，则点M离开转轴的距离，由物理学中线速度和角速度的关系可知，且、、符合右手规则，于是.§8.3曲面及其方程

一、曲面方程的相关概念 1.曲面方程：若曲面S上任一点的坐标都满足方程，且不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S的方程，而称曲面S为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1).已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2).已知关于点的坐标、、之间的一个方程，研究该方程所表示曲面的形状 例1.建立球心在点、半径为R的球面方程 解：设为所求球面上任一点，有，即，整理得 例2.设有点和，求线段AB的垂直平分面的方程.解：设为所求平面上任一点，由题意，有，即，整理得 例3.方程表示怎样的曲面？ 解：原方程变形为，表示以为球心，以5为半径的球面.二、旋转曲面 1.定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2.旋转曲面的方程： 曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.(绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁 推导：在曲线C上任取一点，有，且点到z轴的距离.当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴旋转到点，其中，点到z轴的距离，由于，有，即，代入曲线方程有 注：1°.曲线C：绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：； 绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为： 2°.曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：； 绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为： 3.常见旋转曲面及其方程(1).圆锥面及其方程 ①．圆锥面：称由直线L绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角为圆锥面的半顶角 ②．圆锥面的方程：以坐标原点o为顶点，以为半顶角，以z轴为旋转轴的圆锥面的方程为：，其中 推导：在坐标面上，过原点且与z轴夹角为的直线方程为，于是，直线L绕z轴旋转而成的圆锥面的方程为，整理得 注：1°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以x，其中 2°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以y，其中(2).旋转双曲面及其方程 ①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双 叶双曲面 ②．旋转双曲面的方程：(双曲线：.旋转单叶双曲面的方程：(绕z轴旋转.旋转双叶双曲面的方程：(绕x轴旋转)

三、柱面 1.柱面的定义： 称由直线L沿定曲线C平行于定直线l移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C为柱面的准线，动直线L为柱面的母线.2.几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁(1).圆柱面：.(准线为坐标面上的圆：，母线平行z轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行x轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行y轴(2).过坐标轴的平面：，过z轴，准线为坐标面上的直线，过x轴，准线为坐标面上的直线.，过y轴，准线为坐标面上的直线四、二次曲面 1.椭球面：.2.椭圆锥面： 3.单叶双曲面：.4.双叶双曲面： 5.椭圆抛物面：.6.双曲抛物面： 7.椭圆柱面：.8.双曲柱面： 9.抛物柱面： §8.4空间曲线及其方程

一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C.二、空间曲线的方程 1.一般式(面交式)方程： 例如：表示圆柱面与平面的交线.表示上半球面又如：与圆柱面的交 线 2.参数方程：，其中点随着参数t的变化遍历曲线C 例1.称由点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，又同时以线速度v沿平行z轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程 解：取时间t为参数，对应点，对应点，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋线的参数方程为，令，则螺旋线的参数方程为

三、空间曲线在坐标面上的投影 1．投影柱面：称以空间曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面为曲线C关于坐标面的投影柱面 2.空间曲线的投影：称空间曲线C关于坐标面的投影柱面与坐标面的交线为空间曲线C在坐标面上的投影曲线，也称为投影 3.空间曲线的投影方程：空间曲线C：在坐标面上的投影方程，其中为方程组消去z所得的投影柱面方程.注：1.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为 2°.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为 例2.求曲线在坐标面上的投影方程.解：现求曲线C在关于坐标面上的投影方程，将方程组消去z得 投影柱面方程：，于是所求投影方程为 例3.求由上半球面和锥面 所围成的立体在坐标面上的投影 解：先求曲线关于坐标面的投影方程，消去z 在坐标面上的投影方程为，从而所求投，故曲线 影为圆域： §8.5平间及其方程

一、平面的点法式方程 1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量 2.平面的点法式方程：过点，以向量为一法向量的平面 推导：在平面上任取一点，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点不在平面上，则向量不垂直法向量，从而，即不在平面上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面的点法式方程.例1.求过点且以为法向量的平面的方程 解：由平面的点法式方程得，整理得.例2.求过三点、和的平面的方程 解：先求所求平面的一个法向量，由题可得向量，可取，于是所求平面的方程为，整理得.二、平面的一般方程 1.平面的一般方程：(*)推导：若点满足方程(*)，则有，(**)两方程相减得，(*** 方程(***)为过点，以向量为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)为平面的一般方程，其一法线向量为 2.几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁(1).过原点的平面方程：，法向量为.(2).平行x轴的平面方程：，法向量为(3).垂直于x轴(平行坐标面)的平面方程：，法向量为.例3．求通过x轴和点的平面的方程 解：由题意，可设所求平面的方程为：，(*)又点在该平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.设一平面与x、y、z轴的交点依次为、，求该平面的方程 解：设所求平面的方程为，(*)将PQR三点坐标代入得，，代入方程(*)，从而有所求平面方程为，称之为平面的截距式方程

三、两平面的夹角及点到平面的距离 得 1.两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角 2.两平面夹角的余弦：设平面1的法线向量为，平面，两平面的夹角

为，则注：1°..2°.3.点到平面的距离：平面外一点到平面的距离为 推导：在平面上任取一点，过点作平面的一法向量，有，由于，，由于 于是，又点在平面 上，故有，从而 例5.求两平面和的夹角.解：由两平面夹角余弦公式，故所求夹角为 例6.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程.解：设所求平面的一个法线向量为，由题可知向量在平面上，已知平面的一个法线向量为，由题意有，有；，有； 由以上两方程可得，故所求平面的法线向量为，于是所求平面的方程为，整理得 另解：由题可知所求平面上一向量，又已知平面的一个法线向量为，易知不平行于，故可取所求平面的一个法线向量为，于是所求平面方程为：，整理得 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线：称空间两平面

1、的交线为空间直线.二、空间直线的方程 1.一般(面交式)方程： 2.对称式(点向式)方程(1).直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量(2).直线的点向式方程：过点以向量为方向向量的直线L.推导：在直线L上任取一点，有向量，由于，故有，(*)即直线L上点的坐标都满足方程(*)反之，若点不在直线L上，则由于不平行，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L的方程，称为直线的对称式或点向式方程.注：1°.mnp不同时为零 2°.若，则直线L的方程为，即平面上的直线 3°.若，则直线L的方程为，即平面与 交线，过点且平行z轴 3.参数方程： 注：一般式对称式参数式 例1.用对称式方程以及参数方程表示直线

解：先找出该直线上一点：不妨取，代入原方程组得，解得，即为该直线上一点 再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为，故可取.，得到所给直线的参数方程：令.三、两直线的夹角 1.两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角 2.两直线夹角的余弦：直线的方向向量为，直线的方向向量 ,两直线的夹角为，则注：1°.2°.例2.求直线.和的夹角.解：由题可知直线的方向向量为，直线的方向向量为，设 的夹角为，则由两直线夹角余弦公式得故

四、直线与平面的夹角 , 1.直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影 直线的夹角为直线与平面的夹角..2.直线与平面夹角的正弦：若直线的方向向量为，平面 为.与的夹角为，则.注：1°.2°..例3.求过点且与平面垂直的直线的方程 解：由题意，可取为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为.五、平面束及其方程 1.平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束 2.平面束的方程：设有直线，其中与不成比例 则通过直线的平面束的方程为：.注：该平面束不包含平面 例4.求直线在平面上的投影直线的方程 解：过直线的平面束的方程为，即，其中为待定常数.由题可知，该平面与已知平面垂直，故，即，解得.由此可得所给直线关于所给平面 的投影平面的方程为，整理得,故所求投影直线的方程为.六、点到直线的距离：直线 外一点到直线的距离为： 为直线上的一点 推导：在直线上任取一点，有向量，设点到直线的距离为，由于，故例5.求点 的距离.解：由题可知，所给直线的方向向量为，点，由平面外一点到直线的距离公式得：.七、杂例： 例6.求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程.解法一(点向式 由题可知两已知平面的法向量分别为和，故可取 线的一个方向向量，即，于是所求直线方程为.解法二(一般式 过点且与平面平行的平面方程为，过点 平行的平面方程为 以所求直线方程为 例7.与平面的交点.解：易知所给直线的参数方程为，，解得，代入直线的参数方程得所求交点的坐标 例8.求过点 垂直相交的直线方程.