1.2 数列极限_2数列的极限

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第一章函数与极限

第二节 数列极限

教学目标数列极限的定义、数列极限性质、存在准则 教学重点数列极限的定义、数列极限性质、存在准则 教学难点数列极限的定义

教学过程

一、数列 的极限定义

１数列的定义

定义1:按照某一法则,对每个自然数n对应一个确定的实数xn，这些实数xn按照下标n对从小到大排列得到一个序列

x1,x2,,xn,

就叫数列,简记数列为xn

其中,数列中的每一个数叫做数列的项,例１1,1111，，(1)通项为xn 23nn

123nn，,，(2)通项为xn 234n1n1第n项叫做数列通项。

143n(1)n1n(1)n12，，，(3)通项为xn 234nn

2,4,8,,2n,(4)通项为 xn2n

1,1,1,,(1)n1,(5)通项为xn(1)n

1注：1)数列就是自变量取正整数的函数xnf(n),nN函数值按自变量从小到大排列。项数n就是函数xn的自变量，第n项xn就是函数值。

2)微积分对数列研究的重要内容是当项数n无限增大时n,xn是否无限接近某个数值若能够的话，这个数值是什么？

换句话说就是一个数列是否收敛，若收敛极限是什么？

这具有重要的理论和实际意义，如刘徽的割圆术

考察例１中数列的情况

又考察sin1,2sin

111，,nsin,xnnsin，n，xn? 2nn

n(1)n1

1特征 分析已知lim

nn

注意到xn与1的距离是xn1使xn1

11，故欲使xn1只需n100时均成立，欲n100

1110

0n10只需时均成立，对欲使只需即可。nxn1010

即它有特征：

“对0，存在正整数N只要nN就有xn1”（*）通俗地讲就是：“要有多接近，从某项后就有多接近”

反之若对数列xn满足（*），则由于正数的任意性，关键是可任意小，可知当n时，xn越来越接近1。

故一般地若对数列xn满足：“对0，存在正整数N只要nN就有xna”，就有当n时，xn越来越接近a。即数列以a极限。2 数列极限的定义

定义2 若数列xn与及常数 a 有下列关系 :

对0，存在正整数N只要nN就有xna 则称该数列xn的极限为 a ,记作limxna或limxna或xna(n)此时

n

也称数列收敛。若数列不以任何常数为极限，则称数列发散.注（1）定义是说“对a的邻域，都能找到正整数N，使得从第N项以后数列所有项都在a的邻域”

由任意性关键是可任意小，从而使得落在a的邻域项越来越接近a，从而的确反映了数列xn以a为极限是当项数越来越大时项也越来越接近a这一事实。由此定义中正数任意性不可少，关键是可任意小。

（2）定义的精妙之处不是首先看xn随n怎样变化，（A)而是先对极限a取任意邻域,(B)再确定数列从某项开始都在a的给定邻域内。由此可以看到数列xn以极限为 a则必然有

（A)对a取任意邻域，数列有无穷多项在该邻域内。(B)对a取任意邻域，数列只有有限项在该邻域外。思考：由（A)或(B)成立能否得出数列极限为a。

（3）是a的邻域半径;都在a的所给邻域内。

正数任意小不可少。N是分界项数；从第N项以后所有项

通常N的大小与大小有关：“越小N越大”，另外对给定，N的取值不唯一。

故有时正整数N用N表示。

（4）这个定义使得我们有了判断数列xn以a为极限方法: “对0，寻求正整数N，使得当nN时xna”

(),1，在解这可以解通过不等式xna解出nN()，令NmaxN

xna时可以将xna放大。

在证明的书写中必需体现出：对0，取Nmax

N(),1，当nN时

xna。

思考：(1)写出数列xn不以a为极限的定义

00,对任意自然数n,总存在自然数n0n使得

xn0a0

(2)能否说数列xn不以a为极限就意味着数列发散。(3)

若limxna现改变数列xn有限项，得一新数列记为yn，yn是否收敛，n

若收敛极限是什么？

n(1)n,证明数列xn以1为极限 例2.已知xn

n

(1)n

例3.已知xn,证明limxn0.2n(n1)

例4.设q1,证明等比数列1,q,q2,,qn1,的极限为 0.思考题：已知limxna，证明limxna

n

n

思考(1)已知limxna，能否得出limxna或a

n

n

（2）已知limxn0，能否得出limxn0

n

n

二、收敛数列的性质

1.定理 收敛数列的极限唯一.例4.证明数列xn(1)n1(n1,2,)是发散的.2.定理 收敛数列一定有界.注此性质反过来不一定成立.n

1例 数列(1)虽有界但不收敛.

3.收敛数列的保号性.定理 若limxna, limynb,且ab.则存在自然数N，当nN时xnyn

n

n

注1）定理意思是说数列极限越大，则从某项开始项越大。

2）若limxna,且a0(a0)，则存在自然数N，当nN时xn0(xn0)。

n

亦即极限大于零（小于零），则从某项开始项也大大于零（小于零）。

定理存在自然数N，当nN时xnyn，且limxna, limynb,则ab.n

n

注1）从某项开始项越大，则极限也越大。

2）若存在自然数N，当nN时xn0(xn0)，且limxna,则a0.a0

n

3）不能由xnyn得出ab.同理不能由xn0(xn0)得出a0.a0 4.定理收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.注由此性质可知若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例 xn(1)

n

则原数列一定发散.n1

(n1,2,)发散!

n

n

思考题 limxnalimx2na,且limx2n1a

三、极限存在准则 1.夹逼准则

定理(1)ynxnzn(N,nN，)(2)limynlimzna，则limxna

n

n

n

例5.证明limn

n

111

22

n2nnn2

1 

注 利用夹逼准则求极限时关键是对xn进行缩和放：ynxnzn，且要保证新的两个数列极限相同。

2.单调有界数列必有极限(准则2)定理单调有界数列必有极限

n

例6 已知xn(11证明数列xn极限存在.)(n1,2,),例7.设x1

xn1



limxn

n

*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

定理 数列xn收敛当且仅当对存在自然数N，当n,mN时有xnxm

内容小结

1.数列极限的 “  – N ” 定义及应用 2.收敛数列的性质:

唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限 3.极限存在准则:

夹逼准则;单调有界准则;柯西准则

练习题 1）a

0,求2）求）已知a1求lim

n，4）已知0求an

lim

lgn

n

1)提示 当a

1时，故可设1n

n0于是a1n1nn，从而有

n

0n

a1a1,又lim0，由夹逼定理得limn

0,故lim1n1 nn

当0a

1时，1

n(n1)2n(n1)2n

nnn1n，2)提示

1n，n1n1nn

故0n

n

n(n1)2n

nnn得.思考：为什么不由n1n1nn

3)

提

示

设

n1n1nn

a1

0,则有

an1

n

1n

n(n

212)n(n1)2n2n，故an，故0n 2

2a(n1)

nk

类似得lin0a1,kR，若设a10,a

an11n

n

n(n1)(nk)k1

n故

k1!

k1!nkn(n1)(nk)k1

a，0n

ak1!k1(1)(1)(nk)nn

n

k1k

提示 对n1,有kN使得2n2，故lgnklg2k，从而



n2k12

k



02，lgnk

2

kn

2