数列1_数列问题1

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数列

一.知识理解

１．数列:一些数(可以是有限个,这种数列叫有穷数列;也可是无限多个,这种数列叫无穷数列)按照一定的顺序(如数列1,2,3与数列3,2,1为两个不同的数列)排成一行(或一列),称为一个数列(数列的灵魂是其有序性)。其中的每一个数叫这个数列的项(即第某一项的数值),其各项依次为第1项(首项,每一个数列都是从第1项开始的),第2项,…,第n项….数列的一般形式写成a1,a2,…,an,…。简记为{an}({an}为一个整体,但不是集合。an为数列中的第n项,是一个个体)。数列也可看成是一个定义域为N*(或其有限子集{1,2,…,n})的函数（由ｆ（１），ｆ（２），…，f（ｎ），…这些函数值依次排列）。数列的表示法有三:一般形式,公式法(通项公式与递推公式),图象法。

２．数列的通项公式:数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫这个数列的通项公式(是一个能代表这个数列中的每一项的公式,通项公式即一个函数式,只是定义域为N*或其子集{1,2,…,n}。通项公式也可是一个分段函数式。并不是每个数列都有通项公式的,如)。

３．数列的图象为坐标平面上的一串孤立的点(课本上111页说，在画图时，为方便起见，x轴、y轴上的单位可以不统一)，横坐标分别为1，2，…，n；纵坐标分别为a1，a2，…，an.（此即数列的意义）

４．递推公式:知数列的{an}的首项(或前几项),后项an(第2项起的任一项)用它的前一项an—1（或前几项）来表示的一个公式称为这个数列的递推公式（这是一种给出数列的一种方法,根据数列的递推关系可写出该数列）．如已知an+1＝３an＋２，a1＝１，写出该数列．又如：已知a1=2，a2=3，an+2=5an+1-4an，写出该数列。近年来高考在递推方面出题情况较多.5.递增数列:数列{an}满足an+1>an对n∈N+或n ∈ {1,2,…,n}均成立,称此数列递增数列.(这里含不等式恒成立问题)

6.递减数列:数列{an}满足an+1

7．等差数列定义：一个数列从第２项起，满足a2－ａ1＝a3－ａ2＝…=ａn－ａn—1＝┅=ｄ（常数）(对指定的正整数都成立),这个数列称为等差数列（可简化为ａn+1－ａn ＝ｄ对ｎ∈Ｎ*或n∈｛１，２，…，ｎ｝均成立。证明一个数列为等差数列，就是要证明an+1-an=d对给定的n均成立，需知道通项公式）。这个常数d叫做等差数列的公差（d>0时,为递增数列;d=0时为常数列;d

8．等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d，这是一个以n为自变量，an为函数的一次函数型(可写为an=An+B,A、B为常数)，定义域为N*或{1，2，…，n}；其图象为直线上的孤立点。

9.等差中项:如果a,A,b三数成等差数列,A叫做a与b的等差中项(A为a,b的平均值),A=（a+b）／2.证明等差数列的另一种方法:证2an=an-1+an+1对给定的所有n值均成立(找任意连续三项之间的关系).等差数列{an}中,ａm,an,ap满足m+p=2n时,ａm为ａn与ａ

1p的等差中项.三个数成等差数列,通常设这三数为a-d,a,a+d;

四个数成等差数列时,通常设为a-3d,a-d,a+d,a+3d(此时公差为2d).10.等差数列前n项的和公式:Sn=(1/2)(a1＋ａn)n[知首项,末项];Sn=na1+（1/2）n(n-1)d[知首项,公差].此公式的推导方法:倒序相加法(两个Sn的式子相加，其顺序相反).11n(a1+an)可化为 =(ap+aq)n,其中1+n=p+q.2

21Sn=na1+n(n-1)d为关于n的二次函数型（也可写为Sn=An2+Bn，其中A，B为常2Sn=

数）。d=0时,其图象为直线上的孤立点;d≠0时,其图象为抛物线上的孤立点,可从函数方面进行研究最值等问题,注意n ∈ N*.11.等差数列通项公式和前n项和公式中共有五个量:a1、an、n、d、Sn,任意知道三个,通过解方程组可求得另外两个量(知三求二).12.等差数列的性质:(d为公差,Sn为前n项和)

如果m+n=p+q,则a m+a n=a p+aq[反之亦成立](下标和性质).an=am+(n-m)d(通项公式推论),d=（an-am）/（n-m）=（an-a1）/（n-1）.（a1+an）/2=Sn/n=（a1+a2+…+an）/n=a1+（n-1）·d/2 ；an= S2n-1/（2n-1）。

数列ak,ak+m,ak+2m, ak+3m，…也成等差数列,公差为md.数列{akn}也成等差数列,公差为kd.Sk,S2k-Sk,S3k–S2k,S4k–S3k…也成等差数列(连续等长片断和成等差),公差为kd.通项公式an=An+B是一次函数的形式，前n项和公式Sn=an2+bn(a≠0);A=0时,Sn=bn.若a1>0,d

若a10,Sn有最小值时,可由不等式组an≤0且an+1≥0来确定n值.13.等比数列的定义:一个数列从第2项起满足:a2/a1=ａ3/a2=…＝ａn/an-1=…=q（q为常数）(对指定的正整数都成立),这个数列称为等比数列(可简化为an+1/an=q对n∈N*或n∈{1,2,…,n}均成立.证明数列成等比数列就是用此式子,需知通项公式).a1>0,q>1;与a10,01时为递减数列.14.等比数列的通项公式:an=a1qn-1.其图象为指数函数的图象进行伸缩变换后的图象中的孤立点(定义域为N*或{1,2,…,n}).（其中ａ1≠０，ｑ≠０）

15.等比中项:a,G,b三数成等比数列时,G叫做a与b的等比中项.G2=ab,G=±√ab.等比数列中a2是a1与a3、a3是 a2与 a4、a4是 a3与 a5、…、an是 an-1与 an+

1、…的等比中项.证明数列{an}成等比数列的另一种方法:证an2=an—1an+1，对给定的所有n值均成立,且这些项均不为0。等比数列{an}中,如果am,an,ap满足m+p=2n时,an为am与ap的等比中项.三个数成等比数列时,这三数设为a/q,a,aq;四数成等比时,设为a/q3,a/q,aq,aq3.15.等比数列的前n项和公式:Sn=na1(q=1)

a1(1qn1)a1anq(q≠0,q≠1)1q1q

(推导此公式的方法为q倍减)

16.最特殊的数列:数值不为零的常数列,既是等差数列,又是等比数列.17.等比数列的性质(q为公比,Sn为前n项和)

如果m+n=p+r,则aman= apar［反之亦成立］(下标和性质)；当m+n=2p时,aman=ap2.an=amqn-m(通项公式推论),q=n.数列ak,a k+m,ak+2m, ak+3m，…也成等比数列,公比为qm.Sk,S2k-Sk,S3k–S2k,S4k–S3k…也成等比数列,公比为qk.（等比数列中连续等长片段和成等比,且Sk不等于0）

16.数列通项an与Sn的关系:an= S1，n=

1Ｓn－Ｓn-1，ｎ≥２

二.思想方法

(一).思想

1.函数思想:用函数观点来研究数列问题.如求最值,讨论递增、递减,图象,周期.2.方程思想:解方程,解方程组.3.分类讨论思想:对各种情况进行讨论(通项公式为分段函数,等比数列前n项和公式,an与Sn间关系,单调性中讨论d或q等).4．转化思想:数列问题转化为函数问题进行研究.实际问题转化为数学问题.需引入数列{an},说明其含义,体现其有序性.将题中条件用数学语言进行表示,判断、推导为何种数列(最好是等差或等比),结合已知与所求进行运算,得到结论,回到实际问题中去(数学语言回归到文字语言。

(二).方法

1．定义法:证明数列成等差或等比.2．消元法:解方程组,化简式子,求通项an等.3．观察、猜想法:由几项归纳数列的通项公式问题.4．数列求和方法:（1）公式法(等差或等比数列的前n项和公式);（2）裂项法(也叫拆项相消法,将an化为bn-bn-1,则Sn=bn-b1);（3）q倍减法(也叫错项相减法,形如an=bncn,其中{bn}成等差,{cn}成等比,{ cn }的公比为q.先写出sn的和式([1]式),在这个和式的两边乘上公比q([2]式),[1]式-[2]式,所得式子中的右式可得一个等比数列(至少有一项不在那个等比数列中,最多两项),右式可求和,左式Sn 前的系数1-q(q=1为简单问题,不需此法)除到右式，即得Sn.（4）并项法:在和式sn中相邻的两项或多项可化简合并使其简单,将两项或多项看成一组合并后(看成一项),再求和.如an=(-1)n-1(4n-3),求前100项的和.5．累加法:如果an–an-1=f(n)[f(n)能求和],求an.如:已知数列{an }满足a1=1, an=3n-1+ an-1(n≥2).求a2,a3;求证an=(3n-1)/2.an=(an–an-1)+(an-1–an-2)+…+(a2–a1)+a1=f(n)+f(n-1)+…+f(2)+a1.6．累乘法:如果an/an-1=f(n)[f(n)相乘可化简单],求an.an＝(an/an-1)·（an-1/an-2）…（a2/a1）·a1=f（n）·f（n-1）…f（2）·a

1如: a1=1, an= an-12n3，求an 2n1

三．常规问题

１．由数列的前几项归纳出通项公式问题：从数值ａ与序号ｎ之间的对应中发现规律．（１）仔细观察哪些因素（符号，数字，字母及运算符号）与序号无关，哪些因素随序号变化而改变．（２）分析变化的因素与序号ｎ的联系．（３）写出通项公式，并进行验证．

２．给通项公式，判断某数是否是此数列的项或为第几项(相当于存在性问题)．

３．给数列的递推式，写出此数列中的某一项或几项：由第一项及关系式就能求出第二项，依此类推，任意项均可求．关键在于从前几项的书写中看出上标、下标间的关系.如果项数较大,又不存在着技巧性,那么它一定有规律性（有周期）．

４．给通项公式，判断数列的单调性或知数列为递增（减）数列，研究某参数：依据于递增（减）的定义，或与不等式恒成立结合进行研究．

５．证明数列为（或不为）等差或等比数列问题．

为：依据定义或等差（比）中项性质证明．不为：通常由特殊三项关系不满足即可．

6．等差、等比数列中的计算问题：依据于通项公式、前n项和公式(五个量a1、d[或q]、n、an、Sn中知三求另二),或等差、等比数列的性质,通过化简及解方程组进行.7.数列的求和问题:从题设或和式Sn中找出通项公式(检验是否能代表此数列中的每一项),对通项进行辩认或拆分,选择方法求和.(1)如果通项能拆为几个等差或等比数列的和,由各自的前n项和公式求和.(2)如果数列的相邻几项并成一组可以化简,用并项法求和.(3)如果通项是由一个等差和一个等比数列相乘构成,用q倍减法求和.(4)不属于上述三种类型的通项,用裂项法求和.8.an与Sn间 的关系问题:运用其关系,消去an或Sn(依据所求或消去某一量后易计算的程度选择究竟消哪一个量).消去一量后,一般能出现一个等差或等比数列,或由得到的式子,依据题目的要求进行变形、运算后能达到题目要求.9.求数列的最值问题:依据数列对应的函数的单调性或数列的递增(减),结合图象及n∈N+解决.以及一.中12.之(7)(8)进行.10.数列应用问题:参看二.(一).4:转化思想.先引入数列及记号，将文字转化为式子或得到等关数列或等比数列或关系式，转化为数学问题进行求解并作答。

11.分期付款的计算问题.弄清该问题中的有关情况的规定:⑴在分期付款中,每月的利息均按复利计算.⑵分期付款中,规定每期所付款额相同;分期付款时,商品售价和每期所付款额全部付清前会随时间推移而不断增值.⑶各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息之和,等于商品售价及从最后一次付款时的利息之和.(参看课本)

x[1r1]A(1+r)n=x(1+r)n-1+x+(1+r)n-2+……+x(1+r)+x即A(1+r)n = rn