数列极限_数列和极限

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§2.1 数列极限概念

第二章数列极限

§1 数列极限概念

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 数列极限概念.难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅲ.讲授内容

若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称

f:NR或f(n), nN

为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作

a1,a2,,an,,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．

例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)： 第一天截下111，第二天截下2，„„，第n天截下n，„„这样就得到一个数列 22

21111,2,,n,．或n.2222

不难看出，数列{11}的通项随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数2n2n

列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．

收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”．这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N

时有|ana|则称数列

n

{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作

limana，或ana(n).读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列．

定义1常称为数列极限的—N定义．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

例2证明lim证由于

|

0，这里为正数

nn

110|, nn



1故对任给的>0，只要取N=1



这就证明了lim



1，则当nN时，便有 

111|0|.即nNn

0.nn

例3证明

3n2

3.lim2

nn

3分析由于

3n299

|2(n3).(1)|2

n3n3n

因此，对任给的>o，只要

9，便有 n

3n2

3|,(2)|2

n3

即当n



时，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取

Nmax{3,9



证任给0,取Nmax{3,据分析，当nN时有（2）式成立.于是本题得证.9



注本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N．又(3)式给出的N不一定是正整

数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可．例4证明limq=0，这里|q|

n

n

证若q=0，则结果是显然的．现设0

|q0||q|

n

n

1，则h>0． |q|, n

(1h)

并由(1h)n1+nh得到

.(4)

1nhnh1,则当nN时，由（4）式得|qn0|.这对任给的0,只要取Nh

|q|

n

就证明了limq0.n

n

注本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：

对任给的>0(不妨设

lg

（这里也假定0|q|1).lg|q|

于是，只要取N

lg

即可。lg|q|

例5证明lima1=1，其中a>0．

n

证(ⅰ)当a1时，结论显然成立.(ⅱ)当a1时，记a1，则0.由

a(1)1n1n(a1)

1n

1n

n

1n

得a1

a1

(5)n.1n

任给0，由(5)式可见，当n

a1



N时，就有a1，即|a1|.所以

1n

lima1.n

(ⅲ)当0a1时，,1n

１

a

－１则0.由

11

(1)n1n1n1aa

a111a1

得1a（6）1

na1.1n1a1n1a

任给0，由（6）式可见，当n１所以lima1.n

a11



N时，就有1a，即|a1|.1n1n

关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性定义1中正数的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度．然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既时任意小的正数，那么

,3或2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式



|ana|中的可用,3或2等来代替．同时，正由于是任意小正数，我们可限定

小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定

|ana｜＜也可改写成|ana|.2．N的相应性一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的，因为对给定的，比如当N=100时，能使得当•n>N时有|ana|，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成nN．3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．反之，任给>0，若在U(a;)之外数列{an}中

N，n

则当n>N时有anU(a,)，即当n>N时有|ana|

定义1任给>0，若在U(a,)之外数列an中的项至多只有有限个，则称数列an

'

收敛于极限a．

由定义1，可知，若存在某０0，使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a,0)之外，则{an}一定不以a为极限．

例6证明{n2}和{(1)n}都是发散数列．

证对任何aR，取01，则数列{n}中所有满足na1的项(有无穷多个)显然

都落在U(a;0)之外，故知{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列.至于数列{(1)n}，当a1时取01，则在U(a;0)之外有{(1)n}中的所有奇数项；当a1时取0

|a1|,则在U（a;0)之外有{(1)n}中的所有偶数项．所以2

{(1)n}不以任何数a为极限，即{(1)n}为发散数列．例7设limxnlimyna，做数列{zn}如下：

n

n

{zn}:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,.证明limzna.n

证，因limxnlimyna,故对任给的0，数列{xn}和{yn}中落在U(a;)之外

n

n的项都至少只有有限个.所以数列{zn}中落在U(a;)之外的项也至多只有有限个．故由定义1'，证得limzna．

n

例8设{an}为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{bn}与{an}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．

'

证设{an}为收敛数列，且limana．按定义1，对任给的>0，数列{an}中落在n

U(a;)之外的项至多只有有限个．而数列{bn}是对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，所以{bn}中落在U(a;)之{bn}中的每一项都是{an}中确定的一项，外的项也至多只有有限个．这就证得limbna．

n

现设{an}发散．倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变有限项之

后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散．在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若liman0，则称{an}为无穷小数列．

n

由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出limana和liman不存在的“—N”定义.n

n

Ⅴ 课外作业: P２７2、3、4、6、7、8.