第一讲 数列极限(数学分析)_数学分析数列极限

第一讲 数列极限(数学分析)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学分析数列极限”。

第一讲 数列极限

一、上、下确界

1、定义：

1）设SR，若MR:xS,xM，则称M是数集S的一个上界，这时称S上有界；若LR:xS,xL，则称L是数集S的一个下界，这时称S下有界；当S既有上界又有下界时就称S为有界数集。

2）设SR，若MR:xS,xM，且0,xS:xM，则称M是数集S的上确界，记MsupS；若LR:xS,xL，且0,xS:xL，则称L是数集S的下确界，记LinfS。

2、性质：

1）（确界原理）设SR，S，若S有上界，则S有上确界；若S有下界，则S有下确界。

2）当S无上界时，记supS；当S无下界时，记infS。

3）sup(AB)max{supA,supB};inf(AB)min{infA,infB}。

4）supSinf(S);infSsup(S)。

5）sup(AB)supAsupB;inf(AB)infAinfB。

6）sup(AB)supAinfB。（武大93）

7）设f(x),g(x)是D上的有界函数，则

inff(D)infg(D)inf{f(x)g(x)}supf(D)infg(D)xD

sup{f(x)g(x)}supf(D)supg(D)

xD3、应用研究

1）设{xn}为一个正无穷大数列，E为{xn}的一切项组成的数集，试证必存在自然数p，使得xpinfE。（武大94）

二、数列极限

1、定义：

1）limana0,NN():nN,|ana|，称{an}为收敛数列； n

2）limanM0,N:nN,anM，称{an}为数列； n

3）limanM0,N:nN,anM，称{an}为数列； n

4）limanM0,N:nN,|an|M，称{an}为数列；

n

5）liman0，称{an}为无穷小数列；

n

2、性质

1）唯一性：若limana,limanbab。

n

n

2）有界性：若{an}为收敛数列，则{an}为有界数列。3）保号性：limana0N,nN,an0.n

4）保不等式性：若limana,limbnb,anbn(nN0)ab.n

n

5）迫敛性：若ancnbn(nN0),limanlimbnclimcnc.n

n

n

6）四则运算：若limana,limbnb,则

n

n

lim(anbn)ab;lim(anbn)ab;lim

n

n

bnb

(a0)。

naan

xnxn1xxxn

1存在，则limnlimn。

nnynyn1ynynyn1

7）Stolz定理：设{yn}为严格增的数列，若lim

n

证明：（1）Sn明）

aaaana1a

2（用归纳法证，,nbk0,k1,2,,n，则minSn12maxSn。

b1b2bnb1b2bn

acaacc

,b0,d0a(bd)b(ac),(ac)d(bd)c，bdbbdd

minSn1minSn

an1a1anan1a1anan1

； 

bn1b1bnbn1b1bnbn1an1a1anan1a1anan1

。

bn1b1bnbn1b1bnbn1

maxSn1maxSn

（2）设lim

n

xnxn1xxxx

r0,k,nk:|nn1r|，由（1）得|nkr|，又

ynyn1ynyn12ynyk2

xk

y

rkyxx

nrk，又|因为ynyk

xnxrykyxxkx

rk(1knr)，所以|nr|ynynynynykynlim

n

xkrykxrykx

0Nk,nN:|k|，从而|nr|(nN)

nynyn2yn3、极限存在条件：

1）（Cauchy收敛准则）{an}收敛的充要条件是0,N:n,mN|anam|；

2）（单调有界收敛原理）若{an}单调增上有界，则{an}收敛，且limansupan；若{an}单调减下有界，n

n

则{an}收敛，且limaninfan；

n

n

3）（致密性定理）有界数列必有收敛子列。4）{an}收敛的充要条件是limsup(amak)0

nm.kn4、子列：n1n2,{ank}称为{an}的子列： 1）{an}收敛的充要条件是{an}的任何子列都收敛；

2）liman存在lima2n,lima2n1都存在，且lima2nlima2n1；

n

n

n

n

n

3）limanA0,满足anA至多有限项，满足anA有无穷多项，称A为{an}的上极

n

限；limanB0,满足anB至多有限项，满足anA有无穷多项，称B为{an}的下极

n

限；liman存在limanliman。

n

n

n

（1）limanlimsupxk;limanlimsupxk；

n

nkn

n

nkn

（2）anbn(nn0)limanlimbnanbn；

n

n

n

n

（3）limanlim(an)；

n

n

（4）n

anbnanbn)anlimbn

n

n

n

n

lim(anbn)limanlimbn

n

n

n

三、应用研究

11lnn，证明liman存在。

n2n

1n1dn111nxdx

b1ln,nln(1证：令n

nn2n12n1x1、设an1从而liman．

n

nd11x), an1an,bn1bn，nnn

ccxn,n1,2,，证明limxn存在并求其值。２、c[3,0),x1,xn1

n22

2c|c||c|2cxnc|c|2,xn|c|,xn10，证明：显然xn，x10。若xn0，则|xn|

224222

x2k1x2k1l

xi2k

121222

(x2kx2),xx(x2k1x2k22k22kk1)x2k1x2k1,x2k2x2k22，从而

k

cx2cx2cb2ca2nn

1maxkb,，由xl2n1i,x2n,n1,2,得a,b，1k22222222

从而ab

(ba2),(ab)(ab2)0，2

ca22

若ab20，由b，得a2a4c0，则c3，总之有ab1，即limxn1.n223、yn1yn(2yn),0y01，求证： limyn1。（武大00）

n

证明：若y0yn1，则1yn1yny0，f(x)x(2x)1(0x1)，y0y1y0(2y0)1，从而limyn(a)存在，在yn1yn(2yn)取极限，得aa(2a),0y0a1，所以a1。

n

4、设a13,a23述极限。（武大99）证明：由an13

4,a3,，如果数列{an}收敛，计算其极限，并证明数列{an} 收敛于上

3333

11111，a2n1a2n14(),a2n2a2n4()，可归纳证得：ana2na2n2a2n1a2n

1n

n

n

n

a2n,liam3an5,a2n1a2n1,a2n2a2n,从而lim2n1都存在，令lima2na,lima2n1b，由

a2n13

1,aa2n

n2

23

1a2n，取极限得a3

11ab,b3,3a,b5,abab，baab

所以数列{an} 收敛，且liman4

n

5、设数列{an}有一子列{ank}收敛，且{ank}{a2n}及{ank}{a2n1}都有无穷个元，而{a2n}及{a2n1}都为单调数列，问{an}上否收敛？为什么？（武大98）证明：1）单调数列若有收敛子列，则本身收敛：

2）由1）知{a2n}及{a2n1}都收敛，又因为lima2nlimanklima2n1，故{an}收敛。

n

k

n

6、设an0，且an（武大97），证明数列{an}中存在一子序列{ank}是收敛的子序列。



7、设ana(n)，令anmax{an,0},amax{a,0}，证明an（武大96）a(n)。





8、设{an}无上界，证明存在子序列{ank}，使得ank(k)。（武大95）9、设a0,x1

xn1n1,2,,证明极限limxn存在并求极限.（北大02）

n

xn2a，当x1a时，{xn}单调增；当x1a时，{xn}单调减，从而极限limxn存

n

在，令limxn

x，在xn1

n

x22xx2x1，xn2a得

limxn2。

n

a2n10、求极限lim.（北大01）

n1a2n

a2na2na2n1222n

a1(a)0lim0lim解：当a1时，0，；当时，；当a12n2n2nn1an1a1a

2a2n

1lim1。时，lim

n1a2nn1

12n

a

1f(a)11、设f(x)在点a右导，f(a)0，求极限lim.（北大01）n

f(a)

解：

12、a0).（北大98）

nn13、证明：（1）

11nn1n

（用ba[(n1)bna],ba0）(1)为递减数列：

n

1ln(1),n1,2（华东师大00）n1nn

（2）

14、设R中数列{an}，{bn}满足an1bnqan,n1,2,其中0q1,证明：

（1）若{bn}有界，则{an}有界；

（2）若{bn}收敛，则{an}收敛。（清华01）

证明：（1）设|bn|M,|a1|M，由于an1bnqanbnqbn1qan1从而|an1|



n

1kn

(q)b(q)a1，nkk0

k0qkMqnM

n1

M。1q

（2）设limbnb，|an1

n

bn1

||k0(q)kbnk(q)na1k0(q)kb| 1q



|k0(q)k(bnkb)(q)n(a1b)||kn1(q)kb|

n1

|k0(q)(bnkb)||km1(q)(bnk

k

k

mn1

qn

b)(q)(a1b)||b|

1q

n

|knm(q)

n

nk

qmqn

(bkb)|2M|b|

1q1q

1。x1x15、（1）用语言证明：lim

（2）设函数f在点a可导，且f(a)0。求：

f(a)

n。lim

nf(a)

n

（3）求极限

1p2pnp

lim，其中p0。（清华00）

nn1p16、求极限lim[n(e1)]（清华99）

n

1n

n17、设limana，证明 lim

n

a12a2nana

。（上海交大04）

nn2

2证明 由Stolz公式lim

a12a2nan(n1)an1a

lim。

nn(n1)2n2n2218、设xn1

3(1xn),(x10为已知)求limxn.（南京大学00）

n3xn19、求limsin(。（浙大01）

n

20、试证：单调数列{xn}收敛到a的充要条件是存在子列{xnk}收敛到a。（武汉所00）