高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)_高三数学数列一轮复习

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数列

一、知识梳理

数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列

通项公式，即anan的第n,那么这个公式叫做这个数列的，且任何一项an与它的前一项an1（或前几an的第一项（或前几项）f(n).3.递推公式：如果已知数列

f(an1)或anf(an1,an2)，那么这个式子叫做数

列an的递推公式.如数列an中，a11,an2an1，其中an2an1是数列an的递推项）间的关系可以用一个式子来表示，即an公式.4.数列的前n项和与通项的公式

S1(n1)①Sna1a2an；②an.SS(n2)n1n5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有an

1②递减数列:对于任何nN,均有an1

③摆动数列:例如: 1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,„„.⑤有界数列:存在正数M使an.an.anM,nN.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得anM.等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式ana1(n1)d，a1为首项，d

为公差.⑵前n项和公式Sn

3.等差中项 n(a1an)1或Snna1n(n1)d.2

2A叫做a与b的等差中项.如果a,A,b成等差数列，那么

即：A是a与b的等差中项2Aaba，A，b成等差数列.4.等差数列的判定方法

⑴定义法：an1and（nN，d是常数）an是等差数列；

⑵中项法：2an1

⑴数列anan2(nN)an是等差数列.5.等差数列的常用性质 an是等差数列，则数列anp、pan（p是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k,为等差数列，公差为kd.⑶anam(nm)d；ananb(a,b是常数)；Snan2bn(a,b是常数，a0)⑷若mn

pq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

1⑸若等差数列

Sn

an的前n项和Sn，则是等差数列；

n；

S偶an1

⑹当项数为2n(nN)，则S偶S奇nd,

S奇an

当项数为2n1(nN)，则S奇

S偶an,S偶n1

.

S奇n

等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q列，常数q称为等比数列的公比.0)，这个数列叫做等比数

2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式：an

a1qn1，a1为首项，q为公比.1时，Snna1

⑵前n项和公式：①当q

a1(1qn)a1anq

②当q1时，Sn.

1q1q

3.等比中项

如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项a，4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：

A，b成等差数列G2ab.an1

q（nN，q0是常数）an是等比数列； an

⑵中项法：an1⑴数列

anan2(nN)且an0an是等比数列.5.等比数列的常用性质

an是等比数列，则数列pan、pan（q0是常数）都是等比数列；

⑵在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,ank,an2k,an3k,为等

比数列，公比为q.k

amqnm(n,mN)

⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

⑶an

⑸若等比数列

an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.二、典型例题

A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）

1）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n；

2、等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20．

3、设an是公比为正数的等比数列，若a11,a516，求数列an前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a6100，则S11

2、设Sn、Tn分别是等差数列an、an的前n项和，3、设Sn是等差数列an的前n项和，若

Sn7n2a，则5.

Tnn3b

5a55S

,则9（）a39S5

Sa2n4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若n,则n=（）

Tn3n1bn5、已知Sn为等差数列an的前n项和，Snm,Smn(nm)，则Smn

6、在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a725，则a3a5_______。

7、已知数列an是等差数列，若

a4a7a1017,a4a5a6a12a13a1477且ak13,则k_________。

8、已知Sn为等比数列an前n项和，Sn54，S2n60，则S3n.9、在等差数列an中，若S41,S84，则a17a18a19a20的值为（）

10、在等比数列中，已知a9a10a(a0)，a19a20b，则a99a100.11、已知an为等差数列，a158,a6020，则a75

12、等差数列an中，已知

SS

41,求8.S83S16

B、求数列通项公式

1）给出前几项，求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15, 21,,3，-33,333，-3333,33333„„

2）给出前n项和求通项公式

1、⑴Sn2n23n；⑵Sn3n1.2、设数列an满足a13a23a3…+3an

n-

1n

(nN*)，求数列an的通项公式

33）给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式an1anf(n)，可利用迭加法或迭代法；

an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a

1例：已知数列an中，a12,anan12n1(n2)，求数列an的通项公式；

aaaaa

b、已知关系式an1anf(n)，可利用迭乘法.annn1n232a

1an1an2an3a2a1

an1

例、已知数列an满足：n(n2),a12，求求数列an的通项公式；

an1n

1c、构造新数列

1°递推关系形如“an1panq”，利用待定系数法求解

2°递推关系形如“，两边同除pn1或待定系数法求解

n，求数列an的通项公式.a1,a2a31n1n例、例、已知数列an中，a11,an12an3，求数列an的通项公式.3°递推已知数列an中，关系形如“an2pan1qan”，利用待定系数法求解 例、已知数列an中，a11,a22,an23an12an，求数列an的通项公式.4°递推关系形如“anpan1qanan（1p,q0),两边同除以anan1 例

2、数列an中，a12,an1

d、给出关于Sn和am的关系

例

1、设数列an的前n项和为Sn，已知a1a,an1Sn3n(nN)，设bnSn3n，求数列bn的通项公式．

2例

2、设Sn是数列an的前n项和，a11，SnanSn

例

1、已知数列an中，anan12anan（an的通项公式.1n2),a12，求数列

2an

(nN)，求数列an的通项公式.4an

⑴求an的通项； ⑵设bn



1

(n2).2

Sn，求数列bn的前n项和Tn.2n

1C、证明数列是等差或等比数列

1)证明数列等差

Sn

(nN).求证：数列bn是等差数列.n

例

2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.例

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，bn

}是等差数列； Sn

2）证明数列等比

求证：{

1

例

1、设{an}是等差数列，bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；

2

例

2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；

例

3、已知Sn为数列an的前n项和，a11，Sn4an2.⑴设数列bn中，bnan12an，求证：bn是等比数列； ⑵设数列cn中，cn

an

an，求证：cn是等差数列；⑶求数列an的通项公式及前2n

n

例

4、设Sn为数列an的前n项和，已知ban2b1Sn

n

1⑴证明：当b2时，ann2是等比数列；

n项和.

⑵求an的通项公式

例

5、已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).⑴证明：数列an1an是等比数列； ⑵求数列an的通项公式； ⑶若数列bn满足4b114b21...4n

b

1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列.D、求数列的前n项和

基本方法： 1）公式法，2）拆解求和法.例

1、求数列{22n3}的前n项和Sn.n

23，，(n例

2、求数列1，1214181)，的前n项和Sn.n

2例

3、求和：2×5+3×6+4×7+„+n（n+3）

2）裂项相消法，数列的常见拆项有：

1()；

n(nk)knnk

1nn1

n1n；

111 12123123n1111

例

2、求和：.2124n1n

例

1、求和：S=1+

3）倒序相加法，x

2例、设f(x)，求：

21x⑴f()f()f()f(2)f(3)f(4)；

⑵f()f()f()f(2010).)f()f(2)f(2009

4）错位相减法，例、若数列an的通项an(2n1)3n，求此数列的前n项和Sn.5）对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n，求数列{|an|}的前n项和Tn.E、数列单调性最值问题

例

1、数列an中，an2n49，当数列an的前n项和Sn取得最小值时，n例

2、已知Sn为等差数列an的前n项和，a125,a416.当n为何值时，Sn取得最大值；

例

3、数列an中，an3n228n1，求an取最小值时n的值.例

4、数列an中，annn2，求数列an的最大项和最小项.*

例

5、设数列an的前n项和为Sn．已知a1a，an1Sn3n，nN．

（Ⅰ）设bnSn3n，求数列bn的通项公式；

（Ⅱ）若an1≥an，nN，求a的取值范围．

例

6、已知Sn为数列an的前n项和，a13，SnSn12an(n2).*

⑴求数列an的通项公式；

⑵数列an中是否存在正整数k，使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.例

7、非等比数列{an}中，前n项和Sn(an1)2，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn

4(nN*)，Tnb1b2bn，是否存在最大的整数m，使得对任意

n(3an)的n均有Tn

m

总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。

32F、有关数列的实际问题

例

1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,„

依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?

例

2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为a1,经过n年后绿化的面积为an1,试用10

an表示an1；

⑵求数列an的第n1项an1；

⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:lg20.3010,lg30.4771)