习题课1—数列极限_大学数列极限习题课

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《数学分析I》第1次习题课教案

第一次习题课（数列极限）

一、内容提要

2n2121.数列极限定义，验证limn3n22n13.2.极限性质（唯一性、有界性、保号性、保不等式）.3.极限四则运算.求limn1nn

2n(n)，limn(1nn2)

4.收敛准则（迫敛准则、单调有界准则、柯西收敛准则）.二、客观题

1.设f(x)1,x

1x1，则ff(x)___________.0,2.若数列{xx

n}与{yn}发散，问数列{xnyn}，{xnyn}，{n

y}是否一定发散？

n

3.若数列xn收敛，列yn发散，则数列xnyn是否存在？

4、若单调数列{an}含有一个收敛的子数列，则数列{an}必收敛（）.5、若数列{an}发散，则{an}必为无界数列（）.6.当（）时，有lim(k

n1n)ne.三、计算题

1.一些重要结论：

lim(n1n

nn)e，limn(n1n)ne1，limnqn0,(|q|1)，limna1,(a0)，limnn21.2.计算下列极限

（1）limsinn

nn0（M）.（2）lim

1n(2n1n2n2n2)2（求和法）.（3）lim(1

nn21

2n2n

2n2n)（夹逼）.（4）limn(113n1nn2)，（4）limn(1n2).（5）.设f(x)axa0,a1，求lim1

nn2lnf(1)f(2)f(n).1limnn1，《数学分析I》第1次习题课教案 xn1ann!（6）设xn，求极限.limnnnxn

四、证明题

1.已知limana，证明极限limn[nan]a.nn1

cos1cos2cosn2n,（n1,2,，）是收敛数列.2222..应用柯西收敛准则，证明an

3.设x1a0，xn112(xn)，证明：数列{xn}收敛并求其极限（单调有界原理）.2xn

n4.按数列极限的N定义证明limn22n210.anbnn1,2,,试证明数列{an}，bn1anbn，25.给定两个正数a1与b1(a1b1)，我们令an1

与{bn}的极限皆存在，并且limanlimbn.nn

6.设an0,limana0，证明limn1.nn