数列极限存在的条件_数列极限的存在准则

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§1.3 数列极限是否存在的条件

在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考察该数列是否有极限(极限的存在性问题)；

若极限存在，再考虑如何计算此极限(极限值的计算问题)。这是极限理论的两个基本问题。

在实际应用中，解决了数列{an}极限的存在性问题之后，即使极限的计算较为困难，但由于当n充分大时，an能充分接近其极

限a，故可用an作为a的近似值。

为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每一个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。

若数列{an}的各项满足关系户式anan1(anan1)则称{an}为递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。

定理1（单调有界定理）单调有界数列必收敛（必有极限）。证明：不妨设{an}为有上界的递增数列。

由确界原理，数列{an}有上确界，记asup{an}。下面证明limana。事实上，0，按上确界的定义，存在{an}中某一项aN，n

使得aaN。又由{an}的递增性，当nN时有aaNan。

另一方面，由于a是{an}的一个上界，故对一切an都有

anaa。从而当nN时有aaNana。

ana。这就证明了limn

同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限为它的下确界。

aimxn.例1 a0,x10.xn11xn.求ln2xn

a

解：由均值不等式, 得xn11xn

2

xn

xn

a

a.{xn}有下xn

界;

不偿失注意到对n,有xna, 并且

xn11a1an

111.x↘···, 22xn2xn2(a)

故

例2

limxna.n

n

1数列1单调有界性.n

证明: 设

1

xn1.应用二项式展开，得

n

1n(n1)1n(n1)(n2)1n(n1)321123nn2!3!n!nnn

n

xn1n

11

11112112n1

111111，2!n3!nnn!nnn

xn111

11112111 2!n13!n1n1

+

注意到

11n

11;(n1)!n1n1

11

11, nn1

22

11, nn1

n1n1

,11.nn1

且xn1比xn多一项

0xn11

11n110, xn1xn,(n1)!n1n1

即xn↗.11111111 2!3!n!1223(n1)n

111111

1111113.xn有界.n223n1n

综上, 数列{xn}单调有界.单调有界定理只是数列收敛的充分条件。下面给出在实数系

中数列收敛的充分必要条件。

定理2（柯西Cauchy收敛准则）数列{an}收敛的充要条件是：

0,N0，使得当n,mN时有|anam|。

这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在问题。柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。

柯西收敛准则把N定义中an与a的关系换成了an与am的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其收敛性。

例3：证明任一无限十进小数a0.bb12bn的n位不足近似所组成的数列

bb1b1b2bb,2,,122nn, 101010101010

(2)

满足柯西条件(从而收敛)，其中bk为0,1,2,,9中的一个数，k1,2,。

证明： 记an

|anam|

bb1b2

2nn101010

。不妨nm，则有

bm1bm2bn911

1m1m2nm1nm11010101010101111

1mnmm

101010m



对任给的0，取N

，则对一切nmN有|anam|。这就证

明了数列(2)满足柯西条件。

利用Cauchy收敛准则求极限的例子。

例3：设x1y11，xn1xn2yn，yn1xnyn，求lim

n

xnyn；

解： 设an由于an1

xnyn，显然an1., 则

xn1xn2yn1

1yn1xnyn1an

an1an



1an1an1

anan1



anan1n1a2a144

于是

1an1an1.anpananpanp1anp1anp2an1an

anpanp1anp1anp2an1an

1

np2414n1

1p11n1a2a1n1a2a1144

14

1



a2a10(n).3

xn存在，把它记为a.由Cauchy收敛准则知：limn

由极限的四则运算，在an11

a22．

11an

两端同时取极限n，得

注意到an1，故lim

n

xn

liman2． ynn

注：Cauchy收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性.