第3讲数列极限存在条件_数列极限存在的条件

2020-02-28 其他范文下载本文

第3讲数列极限存在条件由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数列极限存在的条件”。

《数学分析I》第3教案

第3讲数列极限性质(续)与极限存在的条件

讲授内容

一、收敛数列的性质（续）

定理 2.6(迫敛性)设收敛数列an,bn都以a为极限，数列cn满足：存在正数N0，当nN0时有

ancnbn，则数列cn收敛，且limcna．

n

注：定理2．6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具．例1求lim

n

2sin(2n1)

例1求数列{解：记an

n}的极限．

n1hn，这里hn0n1，则有n1hn

2n

1nn1

2hn.2由上式得 0hn

n

1，从而有1an1hn1

2n1

.数列1

n

是收敛于1的，故由迫敛性证得limn1．nn12

定理2.7(四则运算法则)若an与bn为收敛数列，则anbn，{anbn}，an.bn也都是收敛数列，且有limanbnlimanlimbn，liman.bnliman.limbn.n

n

特别当bn为常数c时有limanclimanc,limcancliman.n

n

若再假设bn0及limbn0，则

n

anan

limlimanlimbn.也是收敛数列，且有

nnnbn

bn

证：设limana,limbnb,则对任给的0,分别存在正数N1与N2，使得

n

anbn,当nN1,bnb,当nN2.取NmaxN1,N2,则当nN时上述两不等式同时成立，从而有

1．anbnabanabnb2limanbnab.n

2． anbnabanabnabnbanabnabnb.由收敛数列的有界性定理，存在正数M，对一切n有bnM.于是，当nN时，可得 anbnabMa.由的任意性，得limanbnab.n

例2求lim

amn

am1n

m1k1

a1na0b1nb0

n

bknbk1n

mk，其中mk，am0,bk0．

解：lim

amnam1n

m1k1

a1na0b1nbn

bknbk1n

am,km,

bm 0,km.

例3求lim

n

a1a

nn,其中a1.解：若a1, 则显然有lim

n

a1



;

若a1, 则lim

n

a1

limanlimliman10，若a1, 则lim

n

nn



n

a1

lim

11

n



110

1.例4求lim

n



n1n.解：lim



n



n1nlim

n



1

1n1

.二、数列极限存在的条件

定理2.9(单调有界定理)在实数系中，有界的单调数列必有极限．

证：不妨设an为有上界的递增数列．由确界原理，数列an有上确界，记asupan．下面证明a就是an的极限．事实上，任给0，按上确界的定义，存在数列an中某一项aN，使得aan．又由

an的递增性，当n

N时有aaNan．

另一方面，由于a是an的一个上界，故对一切an都有anaa．所以当nN时有

aana，即limana．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．

n

例5 设an1





a,n1,2,,其中实数a2．证明数列an收敛．

证：显然an是递增的，下证an有上界．事实上，an1

121n





1

112



123



11111

11

223n1nn1n

2

（n1,2,.），于是由单调有界定理，an收敛．2，2,2

2,222,收敛，并求其极限．

n个根号

例6证明数列

证：记an显然a1有上界．

22

2，易见数列an是递增的．现用数学归纳法来证明an有上界．

22．假设an2，则有an12an

222，从而对一切n有an2，即an

由单调有界定理，数列an有极限，记为a．由于an12an，对上式两边取极限得a2a，即

有a1a20，解得a1或a2．a1是不可能的，故有：lim例7证明lim(1

n

n

2222．

1n)存在.n1

证：先建立一个不等式．设ba0，对任一正整数n有b整理后得不等式.a

以a1故有(1

1n1

1n1)

n1

a

n1

(n1)b(ba),n

n1

b[(n1)anb].（1）1n

n,b1(1

代入(1)式.由于(n1)anb(n1)(1

1n)}为递增数列.n

1n1)n(1

1n)1,).这就证明了{(112n

再以a1,b1代人(1)式，得(n1)anb(n1)n(1

12n)

.故有

111

111

2n22n

n2n

4.1

上式对一切正整数n都成立,即对一切偶数n有14.联系到该数列的单调性，可知对一切正整数

n

1n11

n都有14，即数列1有上界．于是由单调有界定理推知数列{(1)}是收敛的.nnn

通常用拉丁字母e代表该数列的极限，即lim(1

n

1n)

e,它是一个无理数，其前十三位数字

是.e2.7***.以e为底的对数称为自然对数，通常记 lnxlog

定理2.10(柯西(Cauchy)收敛准则)数列{an}收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N，使得当n,mN时有anam．

这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出．柯西收敛准则的条件

称为柯西条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数．或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起．另外，柯西收敛准则把N定义中an与a的关系换成了an与am的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收)敛(发)散性．

例5证明：数列an1222，n1,2,,是收敛的.23n

证：不妨设nm,则有

|anam|=

1(m1)



1(m2)





1m(m1)



1(n1)n

