待定系数法化归辅助数列为等差或等比数列求通项公式_数列通项公式等差等比

待定系数法化归辅助数列为等差或等比数列求通项公式由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数列通项公式等差等比”。

“待定系数法”化归辅助数列为等差或等比数列求通项公式

直接求数列的通项公式较难时，可挖掘题设关系，整体变形探求相邻项之间的关系，构造一个辅助数列为等差或等比数列，从而使问题获解.如何探求这个整体辅助数列？常常用“待定系数法”化归.本文就此分类解析之.由一般数列ak1

Sk1Sk

切入，化归含Sn的代数式为等差数列求解.例1 各项非零的数列an，首项

a11

且

2S

2n

2anSnan,n2，求数列的通项an

.简析：由一般数列的切入点，“n1时，a1S1;n2时，anSnSn1”和题设易化归辅助数列为等差数列求解.由

2S

2n

2anSnan,n2

和一般数列的切入点有，2S

n

2SnSn1SnSnSn1，整理有，2SnSn1Sn1Sn，易知SnSn1

0，整体把握等差数

1S

12(n2).则数列1

为首

n

Sn1

S

n

项

1S1，2为公差的等差数列，1S1n122n1，S1n

n

2n1

.故所求通项公式（n1）

an2

2n12n3n2.相邻两项满足一阶线性递推关系，待定系数法可化归辅助数列为等比数列求解.例2 已知数列｛an｝的项满足a1=b,且an+1=can+d，其中c0,c1.证明这个数列的通项公式是abc

n

(db)c

n1

d

n

c1

.简析：an+1=can+d，揭示了相邻两项满足一阶线性递推关系，用待定系数法化归辅助数列为等比数列求通项公式.① 化归辅助数列“公比为c的等比数列”,用方程观念求通项.由a1=b,且an+1=can+d知，可探索用“待定系数法”构建辅助数列为等比数列求解.由an+1=can+d，假设｛an+t｝为等比数列，则有

adt

n+1+t=can+d+t=c(an+c).故｛an+t｝是以c为公比的等比数列.必有 t=dtc.解得t=d

c1

.于是，数列｛a+dt

nc｝是公比为c的等比数列，首项为

b+

ddtdn-1

c1

.故 an+c

=(b+

c1)c.解方程有，dn1

a)cn-1

n=(b+

c1

dt

bc

n

(db)cd

c

c1

.② 归辅助数列“公比为c的等比数列”，用累加法求通项.由an+1=can+d和an=can-1+d,作差有，an1anaan1｝为公比为c的等比

nac,则｛ann1

数列，其首项为a2-a1=(c-1)b.由等比数列的通项公式得，an-2nan1=(a2-a1)c=(cc-1)bcn-2.故｛an｝为等差型数列，其通项可用“累加法”求解.对

anan-2

n1=(a2-a1)c=(c-1)bcn-2，令

n=2,3,4,„,n.对这n-1个等式累加有，(anan1)+(an1an2)+(an2an3)„+(a2-a1)

=(c-1)b〔1+c+c2

+„+cn-2

〕=(c-1)b1c

n1

.整理化

1c简有，abc

n

(db)c

n1

d

n

c1

.相邻三项满足线性递推关系，待定系数法可化归辅助数列为等比数列求解.例3 数列an满足：

a1

02,a11,an12

an

an1，求数列an的通项公

式.简析：若注意到相邻三项满足线性递推关系，可待定系数法化为辅助数列为等比数列求解.由

a02,a11,an1

anan1知，若

a1n1ankanan1，则对照系数有，k12,k

12,故k

12，于是有，ak1ak

ak

ak1，即

an

a

1n1是首项为1-2=-1，公比为2的等比数列，n1

则 ana11

n1



.其实质a2

n为等差型数列

n1

求通项用“累加法”.由anan111取个等

2



式

累

加

有，ana1a0a2a1a3a2anan1a0

2

n1



11

111

a



222

0

n

11



n1

2

22141n1

1

131221

2

32

陕西洋县中学（723300）刘大鸣电话 0916-82156762004.5.8.