数列极限的运算法则_数列的极限及运算法则

数列极限的运算法则由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数列的极限及运算法则”。

数列极限的运算法则（9月13日）

教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。

教学重点：运用数列极限的运算法则求极限

教学难点：数列极限法则的运用

教学过程：

一、复习回顾：什么是数列极限的定义？一般地，在n无限增大的变化过程时，如果无穷数列an中的项an无限趋近于某一个常数a，那么a叫做数列an的极限.常用的数列极限的几个结论（1）对于数列qn，当q1时，有limq0（2）对于数列，有limnn

（3）对于无穷常数列C，有limCC nn1n10 n

mB,那么li(am

二、数列极限的运算法则,如果liamnA,libnnbn)ABnnn

aAlim(anbn)ABlim(an.bn)A.Blin(B0)nnnbBn

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若an．．，bn，cn有极限，则

nnnlim(anbncn)limanlimbnlimcn特别地，如果C是常数，那么lim(C.an)limC.limanCA nnnn

1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。

3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

1.“limanA,limbnB”是“lim(anbn)AB”成立的什么条件？为什么？ nnn

2.已知liman3,limbn2，求limnnan2bn nbn

二.例题：

例1.已知liman5,limbn3，求lim(3an4bn).nnn

例2.求下列极限：

（1）lim(5n412n1n)；（2）lim(1)2（1）lim（2）lim2 nnnnn3n1n

1分析：（1）（2）当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求下列极限：

3572n11242n

122)（2）lim()（1）lim(2nn1n1393n1n1n21n1

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。

1.已知liman2,limbn

n

n

abn1，求下列极限（1）lim(2an3bn)；（2）limn

nn3an

35

n。

2.求下列极限：（1）lim(4

n)；（2）lim

nn

n1n3n25n2n

23.求下列极限（1）lim；（2）lim；（3）lim；（4）lim。

nn3n2n1n2n3n21n

4.求下列极限

已知liman3,limbn5,求下列极限：（1）.lim(3an4bn).（2）.lim

n

n

n

anbn

nabnn

1

2113

5.求下列极限:（1）.lim(7);（2）.lim(25)（3）.lim(4)(4).lim

nnnn1nnnn

1n123n75nn1214n2

(5).lim(6).lim(7).lim2（8）lim()22nnn6n112nn91nnn

n24（10）.已知lima2,求limnan（9）limn

nnnan111n1n

393

3n1

【题目】已知lim，则实数a的取值范围是_________.

n3n1a1n3

1

【解答】lim

3n

3n1a1

n

n

lim

11a1

, 由1解得a4,2

na1n333()

4bn

.【解答】－4 【题目】设0ab，则limn

nabn

n

n

【题目】已知a0, 则lim

3an3n1an1

1

,a33aa

【解答】原式＝lim n33naan

1,0a33

n

n

【题目】若lim(a1)0,则a的取值范围是.【解答】(2,0)

n

n

【题目】已知lim(2x1)存在, 则2xx1的取值范围.n

n

n2

因为lim(2x1)存在，所以12x11,即0x1,2x2x11,4

n

Cn1

【题目】计算：lim3＝．【解答】

nn16

【题目】

若n1,则常数a.【解答】2

23n)1, 则x的取值范围是【解答】3,3 【题目】若lim(1n

nx3n【题目】下列数列中，极限存在的数列是()【解答】C

248239273(1)n1,(B),2,3,,n,(C)，,,()n,(D)，,,()n,(A)0,1,0,1,,3927324822

1

1n20092n

【题目】数列an中，an，则数列an的极限()2

nn2009n22n

(A)等于0(B)等于1(C)等于0或等于1(D)不存在【解答】B

n

1a

【题目】若lim0，则a的取值范围是（）

n

2a

A．a1B．a1或a

n

C．1aD．a或a1 333

由lima0（a为常数），知a1，所以由已知可得

n

1a

1，解这个不等式就可求得a的取值范围． 2a

1a1a

由lim1，所以a2a，两边平方，得：(1a)24a2，0，得n2a2a

3a22a10,(3a1)(a1)0，所以a1或a．选 B

n

1



【题目】已知数列an的通项公式为an，填写下表，并判断这个数列是否有极限.n

该数列有极限，极限为0

【题目】已知数列an的通项公式为an

n2，填写下表，并判断这个数列是否有极限.【解答】

4n1

【题目】 已知limn2，求实数m的取值范围． 

n4(m2)n16

4n

【解答】limn2lim

n4(m2)nn

1m2

16

4

n



1m2

于是1，即4m24,6m2．

416

n

1m2n

说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由lim可知，的极限必为0，而q0的nn164m2

16

4

充要条件是q1，于是解不等式

m2

1．

4例1：（1）lim(7

n

23n4(n1)(2n1))；（2）lim；（3）lim

nnnn6n2

1473n23n24n3)（2）limn（1）lim(222

nnn43n1nnn2

说明：例1（2）（3）中，当n无限增大时，分式中的分子，分母的极限都不存在，因式极限的运算性质不能直接运用，为此，可将公式中的分子，分母同时除以n的最高次幂，再运用极限的运算性质求出极限；

2、极限的运算性质可由两个数列的和、差、积、商推广到有限项的和、差、积、商.n123n3(n2)

2)；lim()

四、计算：（1）lim(2（2）lim；（3）22222nnnn3n1n1n1n1(2n1)

5n13n2an1bn

（4）limn1（2）思考题：设a0,b0，求limn nn2n3n5ab

【题目】计算：

lim

nn

3n12n

19

3n12n1

【题目】计算：lim

13(2n1)1

________.【解答】

222nn1

1＋a＋

n(1＋a)n＋1(1＋a)n＋1

【题目】lim2，则a＝________.【解答】lim＝lim＝1＋a＝2.∴a＝1.an＋an＋annn

1＋nan－bn52*

【题目】在数列{an}中，an＝4na1＋a2＋„＋an＝an＋bn，n∈N，其中a，b为常数，则lim 的值为

2n→∞a＋b5n(n－1)5

534(n－1)－＝4知该数列为等差数列，a1＝4－＝又Sn＝na1＋________．【解答】由an－an－1＝4n22222

1nn－1na＝2，－2－1－nn24a－b212

d＝2n－n＝an＋bn，得故lim＝lim1.lim121nn1nna＋bnnb＝－2＋－21＋－42

【题目】“limanA,limbnB”是“lim(anbn)AB”成立的（）

n

n

n

（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；

（C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件；【解答】A 【题目】

10、下列四个命题中正确的是（）【解答】C A、若limanA,则limanAB、若an0,limanA则A0

n

n

n

C、若limanA,则limanAD、若lim(anbn)0,则limanlimbn

n

n

n

n

n

22n－

1【题目】计算：lim＝()A．0B．1C．2D．

3n2＋11

21－02－1

【解答】lim＝lim1.故选B

11＋0n2＋1n

1＋2

n

1－

【题目】n等于（）【解答】B（A）0（B）

（C）（D）1 42

D．

4(a＋2b)n2＋2n＋11

【题目】若lima＋b为()A．－2B．2C．－4

2bn＋3n

a＋2b＝0，1

n的一次式，分子是n的二次式，∴21得b＝4，a＝－8，∴a＋b＝－4.故选C

2b2【题目】若lim2nan1，且liman存在，则lim(1n)an________.A．0B．

n

nn

C．D．不存在 22

【解答】根据题设知nan和an均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．

lim2nan1,limnan存在,

n

n

liman

n

lim2nan

n

n

lim

0liman0又lim2nan1,limnan

nnn2nn2

n

∴lim(1n)anlim(annan)limanlimnan0

n

n

n

n

n

即lim(1n)an.选C． 22n2

说明：liman是关键，不能错误地认为liman0，lim(1n)an0．

两个数列an、bn的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但

an

的极限不一定存在． bn

【题目】求极限

lim

n

n2n1n2n

1【解答】limlim2

22n12n1nn

1



n21 1222

n

1an

(a0)【解答】当a的值在不同范围内变化时，分子、分母的极限或变化趋势不同，【题目】 求极限：lim

n1an

1an11

因此要分各种情形进行讨论．当0a1时，linli0，当a1时，n1an11

11

1limlim1

nan1an01alimlim1.nnn1ann01111lim1limnn

aa

【题目】求极限

nn

lim

n

n(n1n)

【解答】原式=

lim

n

n(n1)(n1n)

n1n

lim

n

nn1n

lim

n

111n



【题目】求极限

lim

n

n1nn2n

【解答】原式=

lim（n

(n1n)(n1n)(n2n)n2n)(n2n)(n1n)

1 2

－

lim

n

n2n2(n1n)

【题目】已知数列{an}是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lg an＝lg an－1＋lg c，其中n是大于1的整数，c是正2n1－a数．(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)求lim

n→∞2＋an＋1

【解答】(1)由已知得an＝c·an－1，∴{an}是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·cn1.－

3n(c＝1)，

∴Sn＝3(1－cn)

(c>0且c≠1).1－c2n1－an2n1－3cn1

(2)lim lim n→∞2＋an＋1n→∞2＋3c－

－

－

2n－1－3

c11

①当c＝2；②当c>2时，原式＝lim ；

42cn→∞－n1＋3cccn－1

1－3

12

③当0

cn－12

2＋3c·

2