等差、等比数列子数列性质的探究_等差等比数列性质表

等差、等比数列子数列性质的探究由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“等差等比数列性质表”。

等差、等比数列的子数列探究

【教学目标】

经历等差数列与等比数列子数列的性质的研究过程，体验“归纳——猜想——论证”的数学发现的科学方法；体会从特殊到一般、类比等数学思想，获得数学发现与研究的乐趣。

【教学重点】

归纳-猜想-论证、从特殊到一般、类比等数学思想方法的体验与认识。

【教学难点】

“归纳——猜想——论证”等数学数学思想方法的习得。

【教材分析】

前段时间，高三学生已经进行了数列的系统复习，掌握了等差、等比数列的定义与应用；学习了解决数列问题的“基本量法”、“类比”、“归纳、猜想、论证”等数学思想方法，本课主要通过等差、等比子数列的研究，强化数学的学习过程，加深对于数学本质的理解，规范解决数学问题的基本方法与要求，获得数学概念学习的新的体会。

【学情分析】

从学生的认知基础看，学生已经对于等差、等比数列有了较好的理解与认识，也能够开展对于数学新问题的学习与研究能力；从学生的思维发展看，高三学生已经具备了一定的研究与学习有关新概念与新问题的能力。

【问题提出】

在数列研究的过程中，等差数列与等比数列是两个十分重要的数列；我们已经研究了等差数列与等比数列的一些性质，这两节课，我们将研究了从等差及等比数列中取出部分的项，按原来的顺序组成的一个“子数列”所具有的性质；研究这些数列的的一般特征与规律。

观察下列数列，试写出一个符合前4项的通项公式，指出它们具有什么性质？

（1）1,2,3,4,...；

（2）2,4,6,8,...；

（3）1,3,5,7,...；

（4）1,2,4,8,...（4）5,9,13,17,...（5）2,5,8,11,...（6）1,4,16,64,...（7）5,20,80,320,...（设计意图：学生通过从特殊到一般的归纳与猜测，获得各数列的通项公式；指出其一般特性；体验通项公式的猁过程，逐步获得子数列的概念。）

【问题探究】

1）教师提问：观察上述数列，从数列的项来看，他们间存在什么联系吗？

2）形成子数列定义：给定无穷数列an，数列an中任取无穷多项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到新的数列ak1,ak2,ak3,...,ak,...(k...1k2k3 n

kn...,k1,k2,k3,knN)称为数列an的一个子数列。

3）指出上述数列中子数列关系。

结论：任何一个无穷数列都存在无穷多个子数列。

问题

一、数列an是无穷等差数列，问：数列an是否存在等差的子数列？ 研究：

1、设ana(a为常数），则任取一些项组成的数列都是等差子数列。

2、ann中有子数列bn2n1,bn2n,bn5n等。

3、an

1n1中有子数列bn3n1,bnn等 2224、数列an是等差数列，若k1k2k3...kn...，k1,k2,k3,knN)，当ak1t，且m的等差数列时，ak1,ak2,ak3,...,ak是数列an的一个首项为t，k1,k2,k3,...nk,是公差为,...,...n公差为md的等差子数列。证明：略。

方法小结：

（1）只要首项不同，公差不同就可以确定不同的等差子数列。

（2）从具体的例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列的公差和原数列的公差之间的关系，从而得出结论：

1）2）

等差数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等差数列。新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍。

（设计意图：研究问题的1以及2，在前面已经解决过，只是让学生通过复习，加深对于子数列的理

解；问题3的解决，是为归纳猜想作必要的准备；问题的证明，是为了规范学生的表达形式。）

问题

二、数列an是等比数列，问：数列an是否存在等比的子数列？

1、设ana(a为常数），则任取一些项组成的数列都是等比子数列。

2、an2n中有子数列bn22n1和bn25n等。

3、an2()

n

1中有子数列bn2()等。

n4、数列an是等比数列，若k1k2k3...kn...，k1,k2,k3,knN)，当ak1t，且m的等差数列时，ak1,ak2,ak3,...,akn,...是数列an的一个首项为t，k1,k2,k3,...nk,是公差为,...公比为qk的等比子数列。

证明结论：设an是等比数列，q是公比，若am,an为常数时，an

qnm，当nmkam

an

qnmqk也是常数。am

方法小结：

（1）只要首项不同，公比不同就可以确定不同的等比子数列。

（2）从具体的例子中小结出如何寻找等比子数列，以及子数列的公比和原数列的公比之间的关系，从而得出结论： 1）

等比数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等比数列。

2）法。）

新的等比数列的公比等于qk。

（设计意图：学习类比的数学思想方法；进一步体会从特殊到一般，归纳——猜想——论证的数学思想方问题

三、数列an是等差数列，问：数列an是否存在等比的子数列？

1、若an=n，求数列an的等比子数列？ 子数列bn=

2n

1和bn=

3n1

等。

（自然数列是学生最容易想到的，除了自然数列之外，其他的数列不容易想到）

2、给出一个例子一起研究。

例题1：已知：等差数列an，且an3n1。问：等差数列an中是否存在等比子数列cn？（1）写出an的一些项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，„，学生尝试后找出结果有：

①2，8，32，128，512，„，24n1;②2,14,98,686,4802, „，27

n

1;③2,20,200,2000, „，210n1;④5,20,80,320, „，54n1;⑤2,26,338, „，213n1

（2）猜想：①cn24n1；②cn27n1；③cn210n1；④cn54n1；⑤

cn213n1

（3）提问：这些猜想是否正确呢？

我们可以从两个方面进行思考：通过演绎推理证明猜想为真，或者找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。（4）学生分组证明猜想

分析：24∵2

4n1

n1的项被3除余2，从而得出利用二项式定理证明的方法。

证1：（用二项式定理）

2(31)n12(3k1)6k2(kN)，即24n1除以3余2，∴cn是an的子数列。

分析 ：由前面几项符合推广到无穷项都符合，从而得出利用数学归纳法证明的方法。证2：（数学归纳法）

① 当n=1时，c12311a1

② 假设当n=k时，ck22k13m1am(mN)，那么当n=k+1时，ck1

22(k1)122k1422k14(3m1)3(4m1)1a4m1.由①、②得cn是an的子数列。

n1n

1c272(61)3k2,kN;n（5）同理证明

cn210n12(91)n13k2,kN,cn54n15(31)n13k2，kN;cn213n12(121)n13k2,kN.（6）引申：让学生找规律——以an中任一项为首项，以3k1(kN)为公比的等比数列均是该等差

数列的等比子数列

（7）小结：归纳法是从特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要进一步证明的。从归纳猜

想到论证的思维方法是我们研究数学问题常用的方法。

（8）思考：对给定的等差数列可以构造出等比数列，不确定的等差数列中是否存在等比数列？

【方法总结】

1、“归纳——猜想——论证”是数学发现的方法，从特殊到一般的数学思想方法，是研究数学问题的常用方法；

2、研究性学习，是数学思维培养的重要手段；

3、合作学习方式，是研究性学习的有效途径。

【方法应用】

思考

1、等比数列是否存在等差子数列？请举例说明，并研究一般规律。

思考2： 已知：数列an是首项a12,公差是d的等差数列。数列bn是等比数列，且

b1a1,b2a2。问：是否存在自然数d，使得数列bn是数列an的子数列？如存在，试求出d的一

切可能值。

思考

3、数列an是等比数列，问：数列an是否存在等差的子数列？ 分析：先取d=1，2，3，4，5，6。发现当d是奇数时，不可能。∵a2是奇数，∴公比

a2an

1为分数，则bn2(2)从第三项开始就不是自然数

2取d=2，an：2，4，6，8，„，bn：2，4，8，16，„，an2n,bn2n,2n是偶数，∴d=2时，数列bn是数列an的子数列，取d=4，an：2，6，10，14，18，„，bn：2，6，18，54，„，an4n2,bn23n12(41)n12(4k1)42k2(kN)，∴d=4时，数列bn是数列an的子数列。同理d=6时，数列bn也是数列an的子数列。由此猜想当d2m(mN)时，数列bn是数列an的子数列。可以用二项式定理或数学归纳法证明。

证1：（用二项式定理）在an中，a12,d2m,an2(n1)2m.在bn中，b1=2，b222m,q

则2(m1)

k1

22m

1m,bn2(1m)n1。令bkan(k3), 2

1k2

=2(n1)2m.(m1)k11(n1)m,mk1Ck 1m

2k21k32

an中的CkkCkCkk1m11(n1)m，可解出n1m1m1N,即bk为

某一项。

证2：（数学归纳法）①当n=1时，b1a1；②假设bk是an的第p项，即

2(m1)k122m(p1),则bk1bk(m1)22m(p1)(m1)=2+

2mm(p1)p11即bk1是an中的第m（p-1）+p+1项。由①、②得，数列bn是数列an的子

数列。