高等数学中几个常见不等式及其应用_高等数学常用不等式

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本科毕业论文（设计）

题 目：高等数学中几个常见不等式及其应用 学 生： 学号： 学 院： 专业：

入学时间： 年 月 日 指导教师： 职称：

完成日期： 年 0 月 日 高等数学中几个常见不等式及其应用

摘要：在高等数学中，不等式的证实和应用是我们学习高等数学知识常见难题之一。本文将的介绍这些不等式，并讨论它们的证明、变形及应用。

关键词：均值不等式；柯西不等式；施瓦茨不等式；Hlder不等式；Minkowski不等式

..A few common inequality in the application of higher mathematics

Abstract: In higher mathematics, the proof of inequality and application is one of the common problems we study higher mathematics knowledge.This article will introduce these inequalities, and the proofs are discued, deformation and applications.Key words: Average inequality;Cauchy inequality;Holder inequality;Minkowski inequality

目 录

0 引言（绪论）................................................4 1.1 平均值不等式...............................................4 1.2 平均值不等式应用...........................................5 1.3 平均值不等式的推广...........................................5 2 柯西不等式..................................................6 2.1 柯西不等式定理及证明.......................................6 3 施瓦茨等式..................................................8 3.1施瓦茨不等式定理...........................................8 3.2 施瓦茨不等式应用..........................................9 3 4 H..lder不等式..............................................10 4.1 H..lder不等式定理形式及证明...............................10 4.2 H..lder不等式的应用.......................................11 5 Minkowski不等式.............................................12 5.1 Minkowski不等式定理及证明.............................12 6 结束语......................................................13 参考文献.......................................................13 致谢...........................................................14

0 引 言不等式是高等数学知识研究的基本工具之一，具有非常重要的地位。同时，不等式本身非常抽象，逻辑性很高，证明方法多种多样，应用变化万千。本文将主要介绍柯西不等式、施瓦茨不等式和平均值不等式的定义，定理，及应用。

1.1 平均值不等式基本概念

定理1 对任意n个实数ai0i1,2,,n恒有

na1a2ana1a2an（1）

n（即几何平均值算术平均值）,其中当且仅当a1a2an时成立。证 i 首先有

aa2aa2a1a2a1a21（2）122222（相等当且仅当a1a2）类似的，任意的kN,重复上面方法k次2ka1a2a2ka1a2a2ka1a2a3a4a2k1a2k 2222k（等号当且仅当a1a2a2k时成立）。

ii记A立，则

AnAAa1a2anAn1a1a2anA n1n1a1a2an,则nAa1a2an.假设不等式对n1也成n故 An1a1a2anA,Ana1a2an，Aa1a2an

1n因此不等式对任意n成立，等号当且仅当a1a2an时成立。1.2 均值不等式的应用

下面通过例题说明均值不等式的应用 例1 设正值函数fx在0,1上连续，试证：

1lnfxdx0efxdx.01证：由已知条件得fx,lnfx在0,1上可积。将闭区间0,1分成n等分，利用积分定义得，10fxdxlim1nnnfi，i1n11nnfxdxlim1n0lnnnlnfilimlni1nnfii1n，1n1lnfxdxlimlnfinn得 e10eni1nlimnnfi.i1n再由定理1，得

1nfin1ni1nnfii1n，故

e10lnfxdx10fxdx.1.3 均值不等式的推广

定义1 设ai0 i1,2,,n，记

1nMa1arrrni r0，i1称Mra为a1,a2,an的r次幂平均.它与算术平均的关系为

M1aa1a2annAa，MraAar1r

定义 2（加权平均）,pi0, i1,2,,n, 6 rpiai记Mra,pi1npii1n，1n1rn1Ga,papiipip1ppnpni1a1a22an2p.i1p1Mra,p和Ga,p分别称为a1,a2,,an的（r次幂）算数平均。

定理2 设a1,a2,,an不全相等，则有Ga,pM1a,p，即：appp11a22annp1a1pnan pi0,pi1.亦即：

ap1pp1pnan1a22annp1p2ppn1a1ppp

12n只有a1,a2,,an全相等时“

柯西不等式

2.1 柯西不等式定理及证明

定理3 设ai,bi为任意数i1,2,,n则

n2an2nibii1aib2i，（3）

i1i1等号当且仅当ai与bi成比例时成立。（3）式称为柯西不等式。

证法Ⅰ（判别式法）

n0aixbi2i1na22nn2ix2aibixi1bi.i1i1关于x的二次三项式保持非负，b24ac0故判别式

2nnna2ibii1a2i1bi0.ii1 证法Ⅱ（配方法）因

2nnnn2222aibiaibiaibjaibiajbji1i1i1j1i1j1i1 nnnnn12ai2b2abababab0,jiijjijji2i,j1i1j1i1j1nn2故（1）式获证.当且仅当aibjajbii,j1,2,...,n时成立，上式可以等于0。

证法Ⅲ（利用二次型）

0aixbiyi1n2n22nn22aix2aibixybiy, i1i1i1即关于x,y的二次型非负定，因此

ai1ni1n2iabi1nnii0,ab此即式（1）.iibi12i 注 用方法Ⅲ，可以将结果进行推广.因

0ai1x1ai2x2aimxmi1n2aikaijxkxji1k,j1mnm

naikaijxkxj,k,j1i1此式右边为x1,x2,,xm的二次的型，此式表明该二次的型非负定，因此系数行列式

anDetaikaiji1n2i1ai1nni1ai1ni1ni1i22i2aaai1ni1i1nni1imai2ai1ai1ai2aim0.（4）

2imimai1ai1nimai2a等号当且仅当a11,a21,,an1,a12,a22,,an2,,a1m,a2m,,anm线性相关【即：存在不全为零的常数x1,xm使得ai1x1ai2x2aimxm0 i1,2,,n】成 8 立.施瓦茨不等式

柯西不等式的积分形式被称为施瓦兹不等式，它可以通过积分的定义，得到柯西不等式直接推动，因此柯西不等式的证明可以模拟类似的证法。3.1 施瓦茨不等式

定理4 若fx、gx在a,b上可积，则

bbfxgxdxfaa22xdxag2xdx.（5）

b若fx、gx在a,b连续，当且仅当存在常数,,使得fxgx时成立，等号相等(,不同时为零).证法I 将a,bn等分，令xia2iba,应用柯西不等式，n21n1nfxigxifni1ni11n2xigxi，ni1令n取极限，即得式（1）证法II

bfxgxdxafxdxagxdxabbbb1b21b222fxdxgydyfydygxdxfxgxdxfygydyaaaa2a2a

b1bdyf2xg2yf2yg2x2fxgxfygydxa2ab1b2dyfxgygxfydx0,a2a22bb2这就证明了式（5）.因此，如果fx、gx连续，当且仅当存在常数,不同时为零，使得fxgx时成立.类似可以推广到一般情况.若函数fix,gix i1,2,,m在a,b上可积，则

bDetafixfjxdx0.如果fix在a,b连续的，当且仅当fix i1,2,,m线性相关，等式时成立 9 的。（即存在不全为零的常数1,2,,m使得1f1x2f2xmfmx0时成立。）

3.2施瓦茨不等式的应用

应用施瓦茨不等式，可证明一些不等式，但使用时应注意一些技巧，下面介绍一些例题，说明施瓦茨不等式的应用。

例1 已知fx0,在a,b连续，bafxdx1,k任意实数，证：

22bbafxcoskxdxafxsinkxdx1.（6）证(1)式左端第一项应用施瓦茨不等式

b2afxcoskxdxfxfxcoskx2dxbfxdxbaafxcos2kxdx（7）

bafxcos2kxdx.同理bafxsinkxdxbafxsin2kxdx.（8）式（7）+（8）即得式(9).例2 假设函数fx在闭区间a,bab上有连续n阶fnx，并且fka0,k0,1,,n1.求证：

mkbk112212afxdx2bamkbfmx2dx2a，（9）

这里，0kmn.分析 i先设法证明n1 此时k0,m1，我们只要证明的结论是：

假若x在a,b上有连续导数，a0,则必有

212'fxdx.(10)axdxbaa2bb121212为把与'联系起来，用公式

x'xdx.ax应用施瓦茨公式

x2xxxx2'2''2tdt.(11)tdt1dttdtxaaaaa2两边同时积分

122'2'2xdxxatdtdxtdxaaaaaabbxbx2'2ba112'2'2xa2atdtaxaxdxxa222xxbb2.tdtab两边同时开方，变得（10）式。

ii回到一般情况，令xfkx，重复利用上述证明方法，即可证（9）式。Hlder不等式

4.1 Hlder不等式基本形式及证明

定理5 设ai,bi1in是2n个正实数，0,0,1, 则：

....aibii1nnnaibi.i1i1证： 令Aa,Bbii1i1ni1nni 那么

ABaibiaibi i1ABnlgaialgiABlgaiaaalgiiiABlgAB1  11（利用Jensen不等式）

aaaibiii

ABABnnaibiaibi1 Ai1Bi1i1ABn即

abABabiiii, i1i1i1得证。

Holder不等式还有另一种表示形式，令nnn1111pq,,1及aixi,xiai,biyi,yibipqpqpqxiyiaibiaibixiyi i1i1i1i1i1i1则：

1212nnnnn1pn1q22xiyixiyi i1i1i14.2 Hlder不等式的应用..nnnpqfxp,qR,x0，例3 设的最小值。求函数

2sinxcosx解：取4525,5,于是，1.由

4511Holder不等式有

45pq 4545psinxsinx25q4525cosxcosx25qpsin2xcos2xcosxsinx15pqfxpqsinxcosx4545, 54 12 p22p5sinxsinx当且仅当，tanx时，等号成立。所以，fx的最小值是2qcosxqcosx445pq5。54Minkowski不等式

5.1 Minkowski不等式基本形式及证明

定理6 设ak,bkmk1kn均为实数，p1则

1pn1pakbkmkk1nppppabakkkk1k1k1nn1p1p特别地，当p2及n2时，nnaibii1i1n22a1b1a2b2anbn

222222证： 由Holder不等式可知：

(ii)(ik)(ik1)i1i1i1n1kn1k1

由上述不等式可得：

(ii)i(ii)ki1i1n1kn1k1i1i1nnk1i(ii)k1i11knn

1k1(ik)[(ii)(k1)k1](ik)[(ii)(k1)k1]i1i1n

其中k1,111,(k1)k1k,所以 kk1k()ii[()()][(ii)]i1i1i1i1nn1kkin1kkin1kk1

即：

上述不等式称为明可夫斯基不等式．当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和．结束语

i1i1i1[(ii)]()()n1kkn1kkin1kki以上介绍了几类常见的不等式。由上述实例可以看出，柯西不等式和施瓦茨不等式在高等数学知识的应用非常广泛，还有均值不等式的定理及推广，应用到许多高等数学证明题中，可以做到深入浅出，使问题的解决更加简单。也突显了不等式证明方法灵活多样。但在数学的学习中，应具体问题具体分析，对待不同的问题，思维要灵活，思路要清晰，找出问题的关键所在，把握问题本质，快速而准确地应用这几个常见的不等式取解决高等数学中的证明问题。

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