黑龙江省大庆实验中学届高三上学期期中考试数学(文)试题 含解析_大庆高三上学期数学

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大庆实验中学2016-2017学年度下学期期中考试

高三数学（文）试题

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A.B.，C.D.，则

=()【答案】C 【解析】集合 则故答案为C.2.已知向量，则向量

与的夹角为（）。，A.135° B.60° C.45° D.30° 【答案】C 【解析】由题意可得：则：且，，设所求解的向量的夹角为，由题意可得：则：向量与的夹角为45°.本题选择C选项.3.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则＋的最大值为()A.2 B.3 C.4 D.log23 【答案】B 【解析】由 ,，即所以，故，当且仅当，故选B.得，又，即

时取等号，【易错点晴】本题主要考查对数的运算、利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.是等差数列的前项和，则，则A.66 B.55 C.44 D.33 【答案】D 【解析】由等差数列的性质有

.故选D.5.对于任意实数，不等式A.B.(-∞,2］ C.D.恒成立，则实数的取值范围是(),所以,则

=

（）4.已知【答案】D 【解析】首先讨论当二次项系数为0时，即a=2时，原不等式为-4

两种情况并到一起，得到a的范围为，且。

时，点睛：此题考查了不等式恒成立求参的问题，对于二次函数中的二次项系数含参的可以先考虑二次项系数等于0，然后再讨论不等于0，按函数最值来做。还有常见方法是变量分离，转化为函数最值问题，还可以直接含参讨论求函数最值。6.已知函数的图象，只需把函数的图象的一条对称轴为直线的图象（）

倍 倍 倍 倍，则要得到函数A.向右平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的B.向右平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的C.向左平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的D.向左平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的【答案】B 【解析】∵函数∴∴又∴∴将函数，∴，,的图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的对应的解析式为

。故选B。

倍，所得图象，的图象的一条对称轴为直线，7.设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.B.C.2

D.10 【答案】B 【解析】∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，∴x＝2.由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.因此a＋b＝(2,1)＋(1，－2)＝(3，－1)，则|a＋b|＝

.8.某几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为（）

A.B.C.【答案】D D.【解析】由三视图知，该几何体是一个一条侧棱与底面垂直，底面是边长为的正方形的四棱锥，其中两个侧面面积为，两个侧面面积为D.9.下列命题错误的是（）A.对于命题B.命题“若C.若为假命题，则，则

＜0，则

均有，则

”，底面积为，所以表面积为，故选

”的逆否命题为“若

均为假命题

＞0”的充分不必要条件.D.“x＞2”是“【答案】C 【解析】特称命题的否定是换量词否结论，不变条件的；故A选项为正确的。逆否命题是条件和结论互换，并且既否条件又否结论。故B选项正确。C．若D．为假命题，则两者有一个为假即可。

＞0 或，根据小范围推大范围，x＞2”是“

＞0”的充分不必要条件，是正确的。故答案为C。

10.已知实数满足条件，则的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】 由 ；由 ；由；由约束条件做出 的可行域如图所示，的值为可行域中的点与原点 的连线的斜率，观察图形可知小，所以【点睛】.故选A.的斜率最在平面区域的相关问题中，若目标函数不是线性目标函数，可利用其几何意义进行求解，例如的几何意义是点11.已知函数A.【答案】D 【解析】因为，所以函数，即，应选答案D。

12.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得的单调递减函数，又因为，所以由函数的单调性可得： B.与原点的连线的低利率；，且 C.D.几何意义 是点

与原点的距离等.，则以下结论正确的是（）

成立，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C 【解析】原式变形为以的值域是，在区间

是单调递增，总存在唯一的，解得：

是单调递减，所，使得，当，故选C.，的的子集，对任意的，且成立，所以时，存在两个不同的实根，因此舍去，所以的取值范围是【点睛】本题考查了函数的单调性，不等式的恒成立和存在问题，属于中档题型，使最小值大于函数，即函数的值域是

值域的子集，若使，即说明的最小值，就转化求两个函数最值的问题.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13.设为函数的导数，,则

________.【答案】3 【解析】由条件知故故结果为3。14.已知【答案】，则

________.，【解析】由两角和差公式得到

因为，代入上式得到：故得结果为..，，点睛：这个题目考查的是三角函数的诱导公式的应用；给了几个角的三角函数值，要求未知角，常用方法是用已知角表示未知角；其中要注意应用诱导公式时注意角的范围，根据三角函数值缩小角的范围。15.四面体

【答案】 的四个顶点都在球 的表面上，平面，，则球的表面积为________.【解析】如图：

∵BC=CD=1，∠BCD=60° ∴底面△BCD为等边三角形 取CD中点为E，连接BE，∴△BCD的外心G在BE上，设为G，取BC中点F，连接GF，在Rt△BCE中，由CE=，∠CBE=30°，得BF=又在Rt△BFG中，得BG=，过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O，则O为四面体ABCD的外接球的球心，即R=OB，∵AB⊥平面BCD，∴OG⊥BG，在Rt△BGO中，求得OB=∴球O的表面积为故结果为16.设数列。的前项和为，已知，则【答案】510 【解析】由an+2+（﹣1）n﹣1

=，．，_______.an=1，当n为奇数时，有an+2+an=1，连续两项的奇数项的和是1，当n为偶数时，an+2﹣an=1，∴数列{an}的偶数项构成以2为首项，以1为公差的等差数列，..................=15*1+30*2+故结果为510.三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数（1）求函数

.的解析式及其最小正周期；（2）当x∈【答案】（1）时，求函数的值域和增区间．,（2），得到，【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式和三角函数的化一公式得到由周期的定义知道；（2）由第一问知道函数表达式，根据x∈再求函数的值域，和单调区间。（1）（2）x∈所以，解得

,；

函数f（x）的值域为x∈，的增区间为，所以 所以函数18.在如图所示的五面体中，面，（1）证明： 平面

为直角梯形，平面 平面，△ADE是边长为2的正三角形． ；

（2）求点B到平面ACF的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）做辅助线，构造线面垂直，取面得到，再通过相似证得

平面的中点，连接，先证

平，故得到线面垂直，再推线线垂直。（2）承接第一问的结论，因为形的边长求出即可。（1）取平面，故直接由B点做AF的垂线即可，垂线就是BE，再根据梯的中点，连接平面

平面，依题意易知

.，又在因为和 中，平面，所以平面，所以

...平面，所以平面（2）由第一问知道，故点B到平面ACF的距离，直接连BE交AF于点M，则BM就是要求的距离，在梯形ABFE中，求得BE=。

点睛：这个题目主要考查了线面垂直的判定定理，可以证线垂直于面中的两条相交线，也可以建系证明直线的方向向量和面的法向量平行，这是常用方法；第二问考查了点到面的距离，一种方法是直接做出点到面的投影，求出垂线段长度，还可以建系通过公式求点面距离。19.已知（1）求（2）若【答案】（1）的三个内角的值； 的面积，求

.，再根据

所对应的边分别为，若

.（2）【解析】试题分析：（1）由余弦定理得到

得到a和c的关系，三边关系都已知了，就可以分别求，（1）由余弦定理，得又∴（2）由∴

.，得，∴，∴，∴，.，；（2）根据面积公式得到，再根据第一问的三边关系可以得到三边长。，20.已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求三棱锥S-BPD的体积。

【答案】.（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）要证线面平行，在题目中构造平行四边形AECQ，证得线线平行，再得线面平行。（2）根据三棱锥的体积公式，换顶点为Ｖ公式求出体积。

证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ=AS，PC=AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．（2）设AC,BD交于点O，Ｖ

21.设数列的前项和为，已知，是数列＝。

＝，再根据的前项和.（1）求数列（2）求满足【答案】（1）（2）

..的通项公式；的最大正整数的值.【解析】试题分析：（1）已知前n项和的关系，求通项，将式子转化为，从而得到数列是等比数列，根据等比数列的公式求通向即可。（2）根居第一问得到数列是等比数列，根据再消去公共部分即可。（1）∵当∴时，.，再根据等差数列求和公式得到，在乘积时∴∵∴数列∴，.，∴

.是以为首项，公比为的等比数列..，（2）由（1）得： ∴.令，解得：

..的单调区间；

上恒成立，求的取值范围．，无减区间；（2）

.故满足条件的最大正整数的值为22.已知函数（1）当（2）若【答案】（1）时，求在 的增区间为【解析】试题分析：（1）给定函数表达式研究函数的单调区间，直接求导g（x）=f′（x）=2（ex﹣x﹣1），研究导函数的正负即可；（2）恒成立求参的问题，变量分离左端小于等于右端的最小值即可，而右端的最值是通过求导研究函数单调性得到的。（1）当a=1时，设g（x）=f′（x）=2（ex﹣x﹣1），g′（x）=2（ex﹣1）≥0，（x≥1）∴f′（x）在[1，+∞）上递增，即x≥1时f′（x）≥f′（0）=0，∴f（x）的增区间为[1，+∞），无减区间.（2）设设,g(x)增，，增。,，让点睛：此题考查了函数的单调性，单调区间的求法：对于复杂函数一般是求导研究导函数的正负；还考查到了不等式恒成立求参的问题，常用方法是变量分离转化为求函数最值的题；还有可以直接转化为函数最值的问题，含参讨论即可。