算术几何平均值不等式_算术几何平均值不等式
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算术-几何平均值不等式
信息来源：维基百科
在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为
个正实数，它们的算术平均数是，总有：，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数
等号成立当且仅当。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子
在 的情况，设:，那么
.可见。
历史上的证明 历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]： 命题：对任意的个正实数，当
时，显然成立。假设
成立，那么
成立。证明：对于 个正实数，假设成立，那么成立。证明：对于 个正实数，设，那么由于但是 成立。，因此上式正好变成也就是说 综上可以得到结论：对任意的自然数 可以先找
使得，命题
都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题
成立了。
都成立。因此对任意的，再结合第三条就可以得到命题
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：
由对称性不妨设
是
中最大的，由于，设，则，并且有
根据二项式定理。
于是完成了从
到的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：
在的情况下有不等式
和
成立，于是：
所以，从而有。
基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数 实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
基于排序不等式的证明
令，于是有，再作代换，运用排序不等式得到：，于是得到，即原不等式成立。
此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 且，那么：。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
和
为正实数，并矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵
设，那么有：
也就是说：对
个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对
个横行取的个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式：对任意在区间
上可积的正值函数，都有
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后得到的形式。
后，将两边的黎曼和中的趋于无穷大参考来源
1.^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821.p457.2.^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter XXIV.p46.3.^ P.H.Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol.67, No.10(Dec., 1960), pp.1007 匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。 李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。
